（人教A版）必修一高一数学上册同步考点通关练习14 函数零点问题（解析版）

第页考点14函数零点问题1、确定函数的零点（方程的根）所在的区间确定函数的零点（方程的根）所在的区间时，可以利用函数的零点存在性定理确定零点所在的位置，是零点问题中最常见的一类题型，其要点是要保证函数在某个区间内是连续的，且在这个区间两端点处的函数值为异号，也可以利用数形结合法，通过画函数图象与轴的交点来确定．2、函数零点个数的判断方法（1）解方程法：令f（x）=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）·f（b）<0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．（3）数形结合法：一种是转化成函数图像与轴的交点个数，另一种是转化成两个函数的交点个数。如判断型函数的零点个数问题时，可采用数形结合的方法．转化为两个函数和的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．3、已知函数零点所在区间求参数的取值范围根据函数零点所在的区间求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用．4、已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.4、已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围一般情况下，常利用数形结合法，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两函数图象的交点问题，画出函数的图象以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果．考点一确定零点所在的区间1．函数的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．【解析】∵，∴，，，，∴根据零点存在性定理：的零点所在的区间是：.故选：C.2．函数的零点所在区间为（

）A． B． C． D．【解析】因为与在定义域上单调递增，所以在定义域上单调递增，又，，，即，所以的零点位于内；故选：C3．已知实数满足，则函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．【解析】由已知得，所以，又，，，，，所以零点所在区间为，故选：B.4．方程的解所在的区间为（

）A． B． C． D．【解析】都是上的增函数，故是上的增函数，又由，，，因为，所以，，所以，故A错误；，故B错误；，故C正确；，故D错误；故选：C.5．方程的解所在的区间为（

）A． B． C． D．【解析】设，易知在定义域内是增函数，又，，所以的零点在上，即题中方程的根属于．故选：B．6．设函数在区间(k，k+1)()内有零点，则k的值为（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【解析】由解析式知：在定义域上递增，又，，所以在内存在零点，结合题设知：.故选：C7．已知函数的零点位于区间（）内，则（

）A．1 B．2C． D．4【解析】∵在定义域上单调递增，，，∴，，且是唯一的，所以整数，∴.故选：D．8．已知均为上连续不断的曲线，根据下表能判断方程有实数解的区间是（

）x01233.0115.4325.9807.6513.4514.8905.2416.892A． B． C． D．【解析】由表可知，，，令，则均为上连续不断的曲线，所以在上连续不断的曲线，所以，，；所以函数有零点的区间为，即方程有实数解的区间是.故选：C.9．表示不超过x的最大整数，例如，，，．若是函数的零点，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】在上递增，，所以，所以.故选：B考点二判断函数零点个数解方程法10．函数的零点个数为（

）A．个 B．个 C．个 D．个【解析】由得：，即，解得，即，所以函数的零点个数为2.故选：C11．设函数则函数的零点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】由函数解析式，令，则：当时，，解得或（舍）；当时，，解得.所以函数有2个零点.故选：B12．函数的零点个数为___．【解析】当x≤0时，，∵，故此时零点为；当x＞0时，在上单调递增，当x＝1时，y＜0，当x＝2时，y＞0，故在(1,2)之间有唯一零点；综上，函数y在R上共有2个零点.故答案为：2.13．已知函数.(1)若在上单调递增，求的取值范围；(2)讨论函数的零点个数.【解析】(1)当时，单调递增，当时，单调递增，若在上单调递增，只需，.(2)当时，，此时，即，有一个零点；当时，，此时在上单调递增，，若，即，此时有一个零点；若，即，此时无零点，故当时，有两个零点，当时，有一个零点．（二）零点存在性定理法14．已知奇函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线．若，则函数在区间内的零点个数至少为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】奇函数的定义域为R，其图象为一条连续不断的曲线，得，由得，所以，故函数在之间至少存在一个零点，由奇函数的性质可知函数在之间至少存在一个零点，所以函数在之间至少存在3个零点.故选：C（三）数形结合法15．已知函数，则方程的解的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【解析】令，得，则方程的解的个数即函数与函数的图象的交点的个数．作出函数与函数的图象，可知两个函数图象的交点的个数为2，故方程的解的个数为2个．故选：C16．函数的零点个数为（

）A．个 B．个 C．个 D．个【解析】函数的定义域为，且，故函数为偶函数，当时，，考虑函数在内的零点个数，令，可得，作出函数、在上的图象如下图所示，由图可知，函数、在上的交点个数为，故函数在上的零点个数为，因此，函数的零点个数为.故选：D.17．已知函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，则在区间上零点的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【解析】因为，所以函数的周期为，当时，，即，因为函数是偶函数且周期为，所以有，所以在区间上零点的个数为，故选：C18．已知函数是定义在上的奇函数，满足，且当时，，则函数的零点个数是______．【解析】由可得关于对称，由函数是定义在R上的奇函数，所以，所以的周期为4，把函数的零点问题即的解，即函数和的图像交点问题，根据的性质可得函数图像，结合的图像，由图像可得共有2个交点，故共有2个零点，故答案为：2.19．若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点的个数为__________.【解析】因为，所以，所以函数是以2为周期的周期函数，令，则，在同一平面直角坐标系中作出函数的图像，如图所示，由图可知函数有10个交点，所以函数在区间内的零点有10个.故答案为：10.20．已知函数，则方程的实数根的个数为（

）A． B． C． D．【解析】令，则，①当时，，，，即，②当时，，，画出函数的图象，如图所示，若，即，无解；若，直线与的图象有3个交点，即有3个不同实根；若，直线与的图象有2个交点，即有2个不同实根；综上所述，方程的实数根的个数为5个，故选：．21．已知函数，则函数的零点个数为（

）A．3 B．4 C．2 D．1【解析】令，令，则,当时，则，所以，，当时，，则，作出函数的图象如下图所示，直线与函数的图象只有1个交点，线，与函数的图象只有2个交点，因此，函数只有3个零点，故选：．22．已知函数，则函数的零点个数是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【解析】令，，则，即，分别作出函数和直线的图象，如图所示，由图象可得有两个交点，横坐标设为，，则，，对于，分别作出函数和直线的图象，如图所示，由图象可得，当时，即方程有两个不相等的根，当时，函数和直线有三个交点，即方程有三个不相等的根，综上可得的实根个数为，即函数的零点个数是5.故选：B.23．【多选】设函数则下列命题正确的是（

）A．当时，方程有1个实数解B．当时，方程有7个实数解C．当时，方程有8个实数解D．当时，方程有6个实数解【解析】的图象如图所示，可化为，当时可得，在有1个解，A正确；当可得，，，在有1个解，在有3个解，在有3个解，则有7个实数解，B正确；当时可得，，，在有1个解，有4个解，有2个解，则有7个实数解；当时可得，，，，在时，有1个解；在时，有1个解；在时，有4个解；在时，有2个解；综上，有8个实数解，C错误；当时可得，，在时有4个解，在时，有2个解，则有6个实数解，D正确.故选：ABD.考点三根据零点所在的区间求参数的取值范围24．已知函数f（x）=ax-3（a>0，且a≠1），f（x0）=0，若x0∈（0，1），则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+）【解析】因为函数f（x）=ax-3（a>0，且a≠1）单调，所以函数在区间（0，1）上至多有一个零点，因为f（x0）=0，且x0∈（0，1），所以，解得，所以实数a的取值范围是（3，+），故选：D25．设为实数，函数在上有零点，则实数的取值范围为________．【解析】因为在单调递增，且有零点，所以，解得，故答案为：26．若函数的零点所在的区间为，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】易知函数在上单调递增，且函数零点所在的区间为，所以，解得．故选：C考点四根据函数零点的个数求参数的取值范围27．已知函数，若方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【解析】方程恰有两个不等的实根，等价于与的图象有两个交点，的图象如图所示，平移水平直线可得，故选：B.28．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】因为函数有三个零点，所以函数的图象与直线有三个不同的交点，函数的图象如图所示，由图可知，，故选：A29．已知函数f(x)=有两不同的零点，则的取值范围是（

）A．(−∞，0) B．(0，+∞)C．(−1，0) D．(0，1)【解析】由题可知方程有两个不同的实数根，则直线与函数的图象有两个不同的交点，作出与的大致图象如下：不妨设，由图可知，，整理得，由基本不等式得，（当且仅当时等号成立）又，所以，解得，故选：A．30．已知函数若关于x的方程恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（

）A． B．C． D．【解析】函数的图像如下图所示：若关于x的方程恰有三个不相等的实数解，则函数的图像与直线有三个交点，若直线经过原点时，m＝0，若直线与函数的图像相切，令，令.故.故选：D．31．【多选】已知函数fx=2x−1,x≤1,x−22,x>1,函数有四个不同的零点，，，，且A．的取值范围是 B．的取值范围是C． D．【解析】有四个不同的零点，，，，即方程有四个不同的解．的图象如图所示，由图可知，，，所以，即的取值范围是，由二次函数的对称性，可得．因为，所以，故．故选：AC.32．已知函数，若方程有三个实数根，，，且，则下列结论不正确的为（

）A． B．的取值范围为C．的取值范围为 D．不等式的解集为【解析】可得方程的根，即为函数的图象与直线的交点的横坐标作出函数的图象和直线，①如图，由图可知：，，，A正确；②又由得，∴，又①可知∴，故B正确；③结合图象可知，，故C错误；④由，当时，，可得，当时，，可得综上，故D正确.故选：C.33．已知，若方程有四个不同的实数根，，，，则的取值范围是（

）A．（3，4） B．（2，4） C．[0，4） D．[3，4）【解析】由方程有四个不同的实数根，得函数的图象与直线有四个不同的交点，分别作出函数的图象与直线．由函数的图象可知，当两图象有四个不同的交点时，．设与交点的横坐标为，，设，则，，由得，所以，即．设与的交点的横坐标为，，设，则，，且，所以，则．故选：D.34．已知函数，，若关于的方程有6个实根，则实数的取值范围为______.【解析】当或时不合题意，当时，，当时，函数的图像如下：，设方程，当时方程有3根，，，其中，，所以当分别有2根，有6根.当或时，不合题意.故答案为:35．已知函数是偶函数.当时，.(1)求函数在上的解析式；(2)若函数在区间上单调，求实数a的取值范围；(3)已知，试讨论的零点个数，并求对应的m的取值范围.【解析】（1）设，则∴∵为偶函数∴综上，有（2）由（1）作出的图像如图：因为函数在区间上具有单调性，由图可得或，解得或；故实数的取值范围是或.（3）由（1）作出的图像如图：由图像可知：当时，有两个零点；当时，有四个零点；当时，有六个零点；当时，有三个零点；当时，没有零点.36．已知函数是偶函数.(1)当，函数存在零点，求实数的取值范围；(2)设函数，若函数与的图象只有一个公共点，求实数的取值范围.【解析】（1）解：是偶函数，，即对任意恒成立，，．即，因为当，函数有零点，即方程有实数根．令，则函数与直线有交点，，又，，所以的取值范围是．（2）解：因为，又函数与的图象只有一个公共点，则关于的方程只有一个解，所以，令，得，①当，即时，此方程的解为，不满足题意，②当，即时，此时，又，，所以此方程有一正一负根，故满足题意，③当，即时，由方程只有一正根，则需，解得，综合①②③得，实数的取值范围为：．37．已知函数为偶函数.(1)求实数的值;(2)解关于的不等式;(3)设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围.【解析】（1）函数的定义或为，函数为偶函数.，即，，；（2），当时，，单调递增，在上单调递增，又函数为偶函数，所以函数在上单调递增，在上单调递减；，，解得或，所以所求不等式的解集为；（3）函数与图象有个公共点，，即，，设，则，即，又在上单调递增，所以方程有两个不等的正根；，解得，即的取值范围为.考点五比较零点的大小关系38．已知函数，，且，则____（填>，<，≥，≤）.【解析】由得，.由得，.画出的图象如下图所示，由图可知,.所以，故答案为：39．已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（

）A． B．C． D．【解析】依题意令，即，同理可得，，则函数的零点转化为、、与的交点的横坐标，在平面直角坐标系上画出函数图象如下：由图可得，，，即.故选：D40．已知方程、、的根分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（

）．A． B． C． D．【解析】由得，，由方程得的根为a，由方程得的根为b.在同一平面直角坐标系中画出、、的图象，由图象知，，，.故选：B41．已知函数的零点为，若，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【解析】函数的定义域为，由在上均为增函数，则在上均为增函数，，由，，所以所以函数的零点为则，所以故选：C42．已知实数满足，函数有两个零点，则关于函数的零点的下列关系式一定正确的是（

）A． B．C． D．【解析】方程即为，令，，，，.根据零点存在性定理得出在上函数各有一个零点，所以.故选：D.43．【多选】已知实数为函数|的两个零点，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【解析】令则，分别作图与如图所示：由图可得，所以成立，故A正确；由于所以故B正确，C、D错误；故选：AB考点六求零点的和44．已知函数的零点依次为a，b，c，则＝________【解析】因为函数与的图象关于对称，函数的图象关于对称，所以，又，所以.故答案为：45．已知函数的表达式为，则函数的所有零点之和为______．【解析】或，或，由或，由或，为函数的零点，函数的零点之和为3，故答案为：346．已知定义域为R的偶函数满足，当时，，则方程在区间上所有的解的和为___________.【解析】当时，，则函数在上单调递减，函数值从减到0，而是R上的偶函数，则函数在上单调递增，函数值从0增到，因，有，则函数的周期是2，且有，即图象关于直线对称，令，则函数在上递增，在上递减，值域为，且图象关于直线对称，在同一坐标系内作出函数和的图象，如图，观察图象得，函数和在上的图象有8个交点，且两两关于直线对称，所以方程在区间上所有解的和为.故答案为：47．定义在上的函数满足，，且当时，，则方程在上所有根的和为（

）A． B． C． D．【解析】，即，，所以，函数是以为周期的周期函数.又，则函数的图象关于直线对称.，，则函数的图象关于点对称，易知函数的图象也关于点对称，如下图所示：函数的图象与函数在上没有交点，并且函数在上的图象关于点对称，且函数在区间上的图象也关于点对称，两个函数在区间上共有个公共点，且这些公共点呈现对关于点对称，因此，方程在上所有根的和为.故选C.48．已知函数，若存在，使得，则的取值范围是___________.【解析】作出函数的图象，由图知当时，，在上单调递减，在上单调递增，令，若存在，使得，由图可得，由即，所以，因为函数的对称轴为，所以，所以，故答案为：.49．【多选】已知函数的定义域为，，，且当时，，则以下结论正确的是（

）A． B．在内零点