（人教A版）必修一高一数学上册同步考点通关练习16 任意角和弧度制（解析版）

第页考点16任意角和弧度制1、象限角的2种判断方法图象法在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角转化法先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角2、求eq\f(θ,n)或nθ(n∈N*)所在象限的步骤(1)将θ的范围用不等式(含有k，且k∈Z)表示；(2)两边同除以n或乘以n；(3)对k进行讨论，得到eq\f(θ,n)或nθ(n∈N*)所在的象限．3、利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．注意“顺转减，逆转加”的应用如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角。5、有关弧长及扇形面积问题的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决；(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．6、三角函数的定义中常见的四种题型及解决方法求已知角三角函数值，一般求已知角的终边与单位圆的交点坐标，再利用三角函数的定义求解．已知角α终边上一点P的坐标，求角α的三角函数值，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．，，.（注：利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值时，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r．）(3)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求角α的三角函数值．先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题；（注：(4)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：①②注意到角的终边为直线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a，b)(a≠0)，则对应角的正弦值sinα＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，余弦值cosα＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，正切值tanα＝eq\f(b,a).（注：若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意“在终边上任取一点”应分两种情况（点所在象限不同）进行分析．）7、三角函数值符号及角所在象限的判断三角函数值在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关．sinα在一、二象限为正，cosα在一、四象限为正，tanα在一、三象限为正．学习时首先把取正值的象限记清楚，其余的象限就是负的，如sinα在一、二象限为正，那么在三、四象限就是负的．值得一提的是：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角，如sineq\f(π,2)＝1>0，cosπ＝－1<0．考点一象限角与终边相同的角终边相同的角1．下列各对角中，终边相同的是（

）A．和B．和 C．和 D．和【解析】若终边相同，则两角差，A.

，故A选项错误；B.

，故B选项错误；C.

，故C选项正确；D.

，故D选项错误.故选：C.2．下列与的终边相同的角的集合中正确的是（

）A． B．C． D．【解析】，故与其终边相同的角的集合为或角度制和弧度制不能混用，只有C符合题意故选：C3．在到范围内，与终边相同的角为___________.【解析】因为，所以在到范围内，与终边相同的角为，故答案为：4．与-2022°终边相同的最小正角是（

）A．138° B．132° C．58° D．42°【解析】由-2022°，所以与-2022°终边相同的最小正角是138°.故选：A5．将轴正半轴绕原点逆时针旋转，得到角，则下列与终边相同的角是（

）A． B． C． D．【解析】由题意得：，当时，，B正确，其他选项经过验证均不正确.故选：B6．【多选】若角与角的终边相同，角与角的终边相同，则角的值可能是（

）A． B． C． D．【解析】；；，故角为与角终边相同的角．故选：AC象限角7．角所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解析】，角位于第三象限.故选：C.8．若角的终边在轴的负半轴上，则角的终边在（

）A．第一象限 B．第二象限C．轴的正半轴上 D．轴的负半轴上【解析】由角的终边在轴的负半轴上可知，,故，而在第一象限内，故角的终边在第一象限，故选：A9．“是钝角”是“是第二象限角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】因为是钝角，所以，因此是第二象限角，当是第二象限角时，例如是第二象限角，但是显然不成立，所以“是钝角”是“是第二象限角”的充分不必要条件，故选：A10．设是第三象限的角，则的终边在第_________象限.【解析】因为是第三象限角，所以，，所以，，当为偶数时，为第二象限角，当为奇数时，为第四象限角.故答案为：二或四.11．“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】当是第四象限角时，，则，即是第二或第四象限角.当为第二象限角，但不是第四象限角，故“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的充分不必要条件．故选：A12．【多选】若是第二象限角，则（

）A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角【解析】因为与关于x轴对称，而是第二象限角，所以是第三象限角，所以是第一象限角，故A选项正确；因为是第二象限角，所以，，所以，，故是第一或第三象限角，故B选项正确；因为是第二象限角，所以是第一象限角，故C选项错误；因为是第二象限角，所以，，所以，，所以的终边可能在y轴负半轴上，故D选项错误．故选：AB.（三）区域角的表示13．末）集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°,k∈Z}中的角α的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是（

）A． B． C． D．【解析】当k＝2n，n∈Z时,n360°＋45°≤α≤n360°＋90°，n∈Z；当k＝2n＋1，n∈Z时，n360°＋225°≤α≤n360°＋270°，n∈Z.故选：C14．已知集合则角α的终边落在阴影处(包括边界)的区域是（）A．B．C．D．【解析】令，则，故B选项符合.故选：B15．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).（1）；（2）【解析】如题图①，以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z)，所以阴影部分内的角的集合为；如题图②，以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z).不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，则M1=，M2=.所以阴影部分内的角的集合为或.考点二扇形的弧长及面积公式的应用弧长的有关计算16．已知一扇形的弧所对的圆心角为，半径，则扇形的弧长为___________.【解析】由弧长公式可得，弧长为.故答案为：.17．已知扇形的周长为15cm，圆心角为3rad，则此扇形的弧长为（

）A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm【解析】设扇形弧长为lcm，半径为rcm，则，即且，解得：（cm），故此扇形的弧长为9cm.故选：C18．如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为（

）A． B． C． D．【解析】设半径为，所以．所以，所以弧长．故选：A．19．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以有“怀袖雅物”的别号.当折扇所在扇形的圆心角为时，折扇的外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的弦长与弧长之比为（

）A． B． C． D．【解析】设扇形的弧长为，半径为，如图，取的中点圆心角为，则所以弦又弧长所以弦长与弧长之比为故选：C20．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（

）A．1.012米 B．1.768米 C．2.043米 D．2.945米【解析】由题得：弓所在的弧长为：；所以其所对的圆心角；两手之间的距离．故选：B．扇形面积的有关计算21．半径为2cm，圆心角为1rad的扇形的面积为（

）A． B． C． D．【解析】扇形的弧长，则扇形的面积.故选：D.22．已知扇形的周长为16cm，圆心角的弧度数为，则其面积为______cm2．【解析】设扇形半径为，弧长为，圆心角弧度数为，则，解得，∴（cm2）.故答案为：16．23．雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人．某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（

）A． B． C． D．【解析】易知该扇形玉雕壁画可看作由一个大扇形剪去一个小扇形得到，设大、小扇形所在圆的半径分别为，，相同的圆心角为，则，得，又因为，所以，，该扇形玉雕壁画面积（）．故选：D．24．如图，扇环ABCD中，弧，弧，，则扇环ABCD的面积__________．【解析】设,因为弧，弧，，所以，，所以，，又扇形的面积为，扇形的面积为，所以扇环ABCD的面积．故答案为：3扇形中的最值问题25．已知扇形的周长为30．(1)若该扇形的半径为10，求该扇形的圆心角，弧长及面积;(2)求该扇形面积的最大值及此时扇形的半径.【解析】（1）由题知扇形的半径，扇形的周长为30，∴，∴，，.（2）设扇形的圆心角，弧长，半径为，则，∴，∴当且仅当，即取等号，所以该扇形面积的最大值为，此时扇形的半径为.26．已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为.(1)若，，求扇形的弧长；(2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求出此时扇形面积的最大值.【解析】（1），扇形的弧长；（2）扇形的周长，，扇形面积，则当，，即当时，扇形面积最大值.27．某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度．(1)求关于的函数解析式；(2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大?并求出最大值．【解析】(1)根据题意，弧的长度为米，弧的长度米，，．(2)依据题意，可知，化简得：，，当，．∴当时，y的值最大，且最大值为．（四）扇形弧长公式与面积公式的应用28．一个扇形的半径为3，圆心角为，且周长为8，则（

）A． B． C． D．【解析】设扇形的弧长为l，则，则故选：B．29．已知扇形的圆心角为，扇形的弧长为，则该扇形所在圆的半径为___________.【解析】扇形的圆心角为，为，设半径为r，由弧长公式可得：，解得：.故答案为：430．一个扇形的弧长为6π，面积为27π，则此扇形的圆心角为____________度．【解析】设扇形的半径为，圆心角为，依题意可得，解得；故答案为：31．已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为．(1)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角；(2)若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积．【解析】（1）由题意得，解得(舍去)，．所以扇形圆心角．（2）由已知得，．所以，所以当时，取得最大值25，,解得.当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大为25.考点三三角函数的定义及其应用利用定义求角的三角函数值32．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值为（

）A． B． C． D．【解析】已知点，则，则.故选：B33．已知角的终边上有一点的坐标为，则的值为（

）A． B． C． D．【解析】因为角的终边上有一点的坐标为，所以，故A，B，C错误.故选：D.34．若点在角的终边上，则的值为（

）A． B． C． D．【解析】由三角函数定义可知：故选：B35．角的终边经过点，则的值为______．【解析】由角的终边经过点，可知则，，所以．故答案为：36．【多选】已知函数的图象经过定点，且点在角的终边上，则的值可能是（

）A．2 B．3 C． D．【解析】由题意，可知或，当点是时，由三角函数的定义有，所以；当点是时，由三角函数的定义有，所以.故选：AC由三角函数值求终边上的点或参数37．已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点，若，则的值为（

）．A． B． C． D．【解析】因为角终边经过点，且，所以，解得，故选：C38．已知角的终边经过点，且，则（

）A． B．1 C．2 D．【解析】由题意，解得．故选：C．39．已知是角终边上一点，且，则的值是（

）A． B． C． D．【解析】因为是角终边上一点，，故点位于第二象限，所以，，整理得：，因为，所以.故选：D.40．已知角的终边经过点，且，则实数的a值是（

）A． B． C．或 D．1【解析】由题设，且，即，∴，则，解得或，综上，.故选：B.41．已知角的终边上有一点，且，则实数m取值为______．【解析】因为角的终边上有一点，所以，解得或.故答案为：0或.由单位圆求三角函数值42．已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（

）A． B． C． D．【解析】因为角的终边与单位圆交于点，所以根据三角函数的定义可知，．故选：C．43．角的终边与单位圆的交点A位于第一象限，其横坐标为，则________，若点A沿单位圆顺时针运动到点B，所经过的弧长为，则点B的纵坐标为________．【解析】的终边与单位圆的交点A位于第一象限，其横坐标为可得：，且则有：点A沿单位圆顺时针运动到点B，所经过的弧长为可得：故点B的纵坐标为：故答案为：；44．已知角的终边与单位圆交于点，则（

）A． B． C． D．【解析】的终边与单位圆交于点,故，故，所以，故选：B.45．已知角的终边与单位圆的交点为，则______.【解析】角α的终边与单位圆的交点为，则，，则故答案为：（四）已知角α的终边在直线上求三角函数值46．已知角的终边在射线上，则角的正弦值为______，余弦值为______．【解析】设角的终边与单位圆的交点为，则，又，∴,于是，,故答案为：；4