（人教A版）必修一高一数学上册同步重点通关练习卷14 函数单调性的应用（解析版）

第页通关练14函数单调性的应用eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,关)eq\o\ac(○,练)一、单选题1．已知函数是定义在上的偶函数，在上有单调性，且，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【解析】因为函数是定义在上的偶函数，所以，由可得，因为在上有单调性，所以在上有单调性，因为，所以在上单调递增，对于A：，故选项A不正确；对于B：，故选项B正确；对于C：，故选项C不正确；对于D：，，，所以，故选项D不正确；故选：B.2．已知是上的偶函数，在上单调递增，且，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【解析】因为是上的偶函数，在上单调递增，所以在上单调递减，.又因为，因为，在上单调递减,所以，即.故选：B.3．已知函数，给出下面四个结论：①的定义域是；②是偶函数；③在区间上单调递增；④的图像与的图像有4个不同的交点.其中正确的结论是（

）A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④【解析】函数，不难判断函数的定义域为R，故①选项是正确的；②选项，因为，所以，故②选项也是正确的；选项③，在区间时，，而函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，此时函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故选项不正确，排除选项；选项④，可通过画出的图像与的图像，通过观察不难得到，两个函数图像有4个交点，因此，选项④正确.故选：D.4．定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则的解集是（

）A． B．C． D．【解析】因为为的偶函数，又，在上单调递增，所以，函数在在上单调递减，所以当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，又当或或时，，所以的解集为，故选：A.5．已知偶函数的定义域为，当时，，若，则的解集为（

）A． B． C． D．【解析】因为为偶函数，所以，解得.在上单调递减，且.因为，所以，解得或.故选：D6．已知函数为定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】函数为定义在上的奇函数，所以关于对称，所以，由得，又函数在上单调递增，所以在上单调递增，所以是定义在上单调递增函数，所以，解得.故选：A.7．设为实数，定义在上的偶函数满足：①在上为增函数；②，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【解析】因为为定义在上的偶函数，在上为增函数，由可得，∴，解得.故选：B.8．已知函数是定义在R上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【解析】令，因为函数是定义在R上的偶函数，所以，即是定义在R上奇函数．又，，且，都有成立，所以在上单调递减，又是定义在R上奇函数，所以在R上单调递减，所以，即，所以，解得．故A，B，D错误.故选：C．9．已知函数那么“a=0”是“函数是增函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】当时，，函数是增函数，故充分；当函数是增函数时，则，故不必要；故选：A10．定义域为R的函数满足:对任意的，有，则有（

）A． B．C． D．【解析】定义域在上的函数满足：对任意的，，有，可得函数是定义域在上的增函数，所以（1）（3）．故选：．11．设函数的定义域为．则“在上严格递增”是“在上严格递增”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要【解析】若函数在上严格递增，对任意的、且，，由不等式的性质可得，即，所以，在上严格递增，所以，“在上严格递增”“在上严格递增”；若在上严格递增，不妨取，则函数在上严格递增，但函数在上严格递减，所以，“在上严格递增”“在上严格递增”.因此，“在上严格递增”是“在上严格递增”的充分不必要条件.故选：A.二、多选题12．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则（

）A．的最小值为 B．在上单调递减C．的解集为 D．存在实数满足【解析】函数是定义在上的偶函数，当时，，设，则，所以，因为是偶函数，所以，所以，所以，函数图象如下所示：可得时，在时取得最小值，由偶函数的图象关于轴对称，可得在上取得最小值，故A正确；在上单调递减，在上单调递增，故B错误；由或，解得或，综上可得的解集为，故C正确；由，，即存在实数满足，故D正确；故选：ACD．13．已知函数，则（

）A． B．若，则或C．函数在上单调递减 D．函数在的值域为【解析】函数的图象如左图所示．，故A错误；当时，，此时方程无解；当时，或，故B正确；由图象可得，在上单调递增，故C错误；由图象可知当时，，，故在的值域为，D正确．故选：BD．14．已知函数则（

）A．的单调递减区间为 B．的解集为C．若有三个不同的根，则实数 D．存在最大值3和最小值2【解析】作出函数的图象，如图所示，∴的单调递减区间为，A正确；的解集为，B错误；与图象有三个不同的交点，实数，C正确；的值域为全体实数，没有最值，D错误.故选：AC.15．对任意两个实数，定义若，，下列关于函数的说法正确的是（

）A．函数是偶函数B．方程有三个解C．函数在区间上单调递增D．函数有4个单调区间【解析】根据函数与，，画出函数的图象，如图．由图象可知，函数关于y轴对称，所以A项正确；函数的图象与x轴有三个交点，所以方程有三个解，所以B项正确；函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以C项错误，D项正确．故选：ABD三、填空题16．函数的单调递减区间为__．【解析】由，得或，令，该函数在上单调递减，而y＝是定义域内的增函数，∴函数的单调递减区间为．故答案为：．17．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________.【解析】当时，函数在R上单调递增，即在上递增，则，当时，函数是二次函数，又在上单调递增，由二次函数性质知，，则有，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：18．已知函数在区间是单调递增函数，则实数的取值范围是______．【解析】函数的对称轴是，开口向上，若函数在区间是单调递增函数，则，故答案为：．19．设偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是___________．【解析】因为是偶函数，所以等价于，又在上单调递减，所以在上单调递增．由得，或，又，所以，由得，由得，故解集为.故答案为：.20．若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是____________.【解析】因为偶函数在上单调递减，所以在上单调递增，又，所以，所以当时，则不等式等价于，解得，所以原不等式的解集为.故答案为：21．设是定义在区间上的严格增函数．若，则a的取值范围是______．【解析】由题意，函数是定义在区间上的严格增函数，因为，可得，解得，所以实数a的取值范围是.故答案为：.22．已知是定义在上的奇函数，对任意，都有，且对于任意的，都有恒成立，则实数的取值范围是___________.【解析】不妨设，则，为R上减函数，又是定义在R上的奇函数，故可变形为，即，根据函数在R上为减函数可得，，在为减函数，为增函数，所以在为增函数，为减函数，所以在恒成立，当时，有最小值，所以．故答案为：．四、解答题23．已知定义在上的奇函数，当时，.(1)求函数在上的解析式；(2)在给出的直角坐标系中作出的图像，并写出函数的单调区间.【解析】(1)设，则，所以，又为奇函数，所以，又为定义在上的奇函数，所以，所以(2)作出函数的图像，如图所示：函数的单调递增区间为，单调递减区间为.24．已知函数是定义在上的奇函数，且.(1)求，的值；(2)判断在上的单调性，并用定义证明；(3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.【解析】(1)因为函数是定义在，上的奇函数，且（1），则，解得，，所以函数，经检验，函数为奇函数，所以，；(2)在，上单调递增.证明如下：设，则，其中，，所以，即，故函数在，上单调递增；(3)因为对任意的，，总存在，，使得成立，所以，因为在，上单调递增，所以，当时，；所以恒成立，符合题意；当时，在，上单调递增，则（1），所以，解得；当时，函数在，上单调递减，则，所以，解得.综上所述，实数的取值范围为.25．已知函数是定义在上的奇函数，且.(1)确定函数的解析式并用定义证明在上是增函数．(2)解不等式：.【解析】(1)因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，得，所以，因为，所以，解得，所以，证明：任取，且，则，因为，所以，，，所以，即，所以在上是增函数．(2)因为在上为奇函数，所以转化为，因为在上是增函数，所以，解得，所以不等式的解集为26．已知函数为偶函数，当时，，（a为常数).（1）当x<0时，求的解析式：(2)设函数在[0，5]上的最大值为,求的表达式；(3)对于（2)中的，试求满足的所有实数成的取值集合.【解析】（1）设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝(－x)2＋2a(－x)＋1＝x2－2ax＋1.又因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以当x<0时，f(x)＝x2－2ax＋1.（2）当x[0，5]，f(x)＝x2＋2ax＋1，对称轴x＝－a，①当－a≥，即a≤－时，g(a)＝f(0)＝1；②当－a＜，即a＞－时，g(a)＝f(5)＝10a＋26．综合以上.（3）由（2）知，当a≤－时，g(a)为常函数，当a＞－时，g(a)为一次函数且为增函数．因为g(8m)＝g()，所以有或，解得或，即m的取值集合为{m|或}．27．已知函数是定义在R上的增函数，并且满足，．(1)求的值；(2)若，求的取值范围．【解析】（1）因为，令，得，即；（2）由题意知，，∴由，可得，又在R上单调递增，∴，即，∴的取值范围是．28．已知函数(1)证明：为偶函数；(2)判断的单调性并用定义证明；(3)解不等式【解析】（1）证明：的定义域为，又，故为偶函数；（2）解：，所以为上的增函数，证明：任取，，且，∵，∴，又，∴，即，∴为上的增函数；（3）解：不等式，等价于即，∵为上的增函数，∴，解得，故不等式的解集为.29．已知函数是上的偶函数，当时，.(1)用单调性定义证明函数在上单调递增；(2)求当时，函数的解析式.【解析】(1)，且，则，∵，且，∴，∴，即，∴函数在上单调递增；(2)当时，，∴，又函数是上的偶函数，∴，即当时，.30．设函数，且．(1)作出函数的大致图像，并指出它的单调区间；(2)当实数a变化时，讨论关于x的方程的解的个数．【解析】(1)函数的图象可视为函数的图象向下平移1个单位而得，而函数的图象是二次函数的图象在x轴上方的不动，把x轴下方图象沿x轴向上翻折而得，的大致