（人教A版）必修一高一数学上册同步重点通关练习卷16 函数性质的综合应用（解析版）

第页通关练16函数性质的综合应用eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,关)eq\o\ac(○,练)一、单选题1．已知函数，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【解析】函数的定义域为R，，则是R上的偶函数，当时，在上单调递减，而，于是得，则，解得或，所以不等式的解集是.故选：D2．已知对于任意都有，且在区间上是单调递增的，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【解析】对于任意都有，周期为，偶函数在区间上是单调递增，，，，即故选：D3．定义在上的奇函数满足，若当时，，则（

）A． B．6 C． D．8【解析】因为，所以，又，所以，所以，所以是周期为4的函数，因此．故选：C．4．已知函数，的定义域均为R，若为奇函数，为偶函数，则（

）A．的图象关于直线对称B．的图象关于直线对称C．的图象关于点对称D．的图象关于点对称【解析】因为为奇函数，所以，所以函数的图象关于点对称，则的图象关于直线对称.因为为偶函数，所以，所以函数的图象关于直线对称，所以的图象关于直线对称.故选：A.5．函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（

）A． B．C． D．【解析】［法一］：特殊函数法由题意，不妨设，因为，所以，化简得．故选：D.［法二］：【最优解】（特殊值法）假设可取，则有，又因为，所以与矛盾，故不是不等式的解，于是排除A、B、C．故选：D.［法三］：（直接法）根据题意，为奇函数，若，则，因为在单调递减，且，所以，即有：，解可得：.故选：D.6．若函数为奇函数，且在上单调递增，则下列函数在上一定单调递增的是（

）A． B．C． D．【解析】因为函数为奇函数，且在上单调递增，所以在上单调递增，将的图象向右平移2个单位可得函数的图象，故函数在上单调递增，函数在上单调性不确定，故A错误；因为函数的图象与函数的图象关于轴对称，所以函数在上单调递减，故B错误；将的图象上的点的横坐标变为原来的，纵坐标不变可得到函数的图象，所以在上单调递增，故C正确；因为函数的图象与函数的图象关于轴对称，所以函数在上单调递减，故D错误.故选：C.7．设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，.若，则（

）A． B． C． D．【解析】因为为偶函数，则的图像关于轴对称，所以关于对称，则，因为为奇函数，则的图像关于原点对称，且，所以关于对称，则，因为当时，，所以，，因为，所以，故，从而当时，，故.故选：A.8．设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（

）A． B． C． D．【解析】图象向右平移2个单位，可得的图象，且是奇函数，的图象关于点成中心对称，，图象向右平移1个单位，可得的图象，且是偶函数，的图象关于直线成轴对称，由对称性，对称轴直线关于成中心对称的直线为，对称中心关于直线成轴对称的点为，即.故选：A.9．已知函数，都是定义域为R的函数，函数为奇函数，，，则（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【解析】由函数为奇函数，得的图象关于点对称，所以，而，所以，又，可得，令，得，则，故选：B．10．设函数定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（

）A． B．为奇函数C．在上为减函数 D．的一个周期为8【解析】由题设，，则关于对称，所以，即，则，即，由，则关于对称，所以，即，综上，，则，故，即易知的周期为8，D正确；，A正确；由，而为奇函数，故为奇函数，B正确；由时递增，则时递增，显然C错误.故选：C11．已知是定义在R上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法一定正确的是（

）．A．函数的图象关于直线对称 B．函数的周期为2C．函数关于点中心对称 D．【解析】因为为偶函数，所以，所以，，所以函数关于直线对称，不能确定是否关于直线对称，A错误；因为为奇函数，所以，所以，所以，所以函数关于点中心对称，故C错误，由与得，即，故，所以函数的周期为4，故B错误；，故D正确．故选：D．二、多选题12．设函数的定义域为，则下列说法正确的是（

）A．若是奇函数，则也是奇函数B．若是周期函数，则也是周期函攺C．若是减函数，则也是减函数D．若方程有实根，则可能没有实根【解析】对于A，由是奇函数，则，故，则为奇函数，故正确；对于B，由为周期函数，则，故，故正确；对于C，由是减函数，则，，，则为增函数，故错误；对于D，由方程有实根，设为，则，即，故方程有实根，故错误；故选：AB.13．若定义域为R的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（

）A． B．C． D．【解析】因为是偶函数，所以的图像关于直线对称，即当时，单调递增，当时，单调递减，在处取得最大值；对于A，，错误；对于B，，正确；对于C，，正确；对于D，，正确；故选：BCD.14．已知偶函数满足，则下列说法正确的是（

）A．函数是以2为周期的周期函数 B．函数是以4为周期的周期函数C．函数为偶函数 D．函数为奇函数【解析】由题意知偶函数满足，则，即，故，故函数是以4为周期的周期函数，故A错误，B正确；令，则，故函数是奇函数，由于此函数的函数值不一定恒为零，故一般情况下不是偶函数，C错误；令，则，由于，故，即，所以，即函数为奇函数，D正确，故选：BD15．若，当时，，则下列说法错误的是（

）A．函数为奇函数B．函数在上单调递增C．D．函数在上单调递减【解析】由可知，可知关于直线对称，当时，，当时，，，所以，作出的图象，所以在，上单调递增，在，上单调递减，，不是奇函数，故ABD错误，C正确；故选：ABD16．设函数的定义域为R，且满足，当时，，则下列说法正确的是（

）A．B．函数的图象关于点对称C．D．若，则有【解析】由可知的图象关于对称，由的图象关于对称，故，所以是周期函数且周期为8，结合函数的性质以及时，，有：，故A错误；由且周期为8，有，可知B正确；由函数的性质可得函数图象（如图），由图象可知，，故C正确；由在一个周期内的图象可知，在有且仅有，1，3，5这几个零点，结合函数周期为8，可知，函数在R上的所有零点为全体奇数，即，故D正确，故选：BCD．17．已知是定义在上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的是（

）A．函数的周期为2B．函数的周期为4C．函数关于点中心对称D．【解析】因为为偶函数，所以，所以，则，所以函数关于直线对称，因为为奇函数，所以，所以，所以，所以函数关于点中心对称，故C正确，由与得，即，故，所以函数的周期为4，故不正确，B正确；，故D正确.故选：BCD.18．已知函数为上的奇函数，为偶函数，下列说法正确的有（

）A．图象关于对称 B．C．的最小正周期为4 D．对任意都有【解析】为上的奇函数，则，.为偶函数，即关于轴对称，则.所以，则，故，则最小正周期为4；对A，，故图象不关于对称，A错；对B，，B对；对C，最小正周期为4，，的最小正周期为4，C对；对D，，D对；故选：BCD19．已知函数是奇函数，是偶函数，并且当，则下列结论正确的是（

）A．在上为减函数B．在上C．在上为增函数D．关于对称【解析】因为是奇函数，是偶函数，所以，，所以，又，所以，所以函数的周期为，其图象关于轴对称，当时，，则函数在上递减，根据对称性可得在单调递增，再结合周期性可得在上为增函数，故A错误，因为当时，，在小于0，根据对称性可得在小于0，故B正确；的图象关于轴对称，所以，，所以不可能在上为增函数，故C错误；因为，，所以所以的图象关于轴对称，因为的周期为，所以关于对称，故D正确.故选：BD.20．设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列说法正确的是（

）A． B．函数是以2为周期的周期函数C．函数的图像关于直线对称 D．函数为奇函数【解析】因为是奇函数，所以，则所以关于点对称，，故A正确；且是偶函数，所以故，所以函数是以4为周期的周期函数．故B错误；函数的图像关于直线对称，C正确；令，则，由于故，即所以，即函数为奇函数，D正确．故选：ACD21．已知函数的图像关于直线对称，函数关于点对称，则下列说法正确的是（

）A． B．的周期为4C． D．【解析】的图像关于直线对称，的图像关于对称，又关于点中心对称，所以周期为4，所以正确而D错误；又，其中换得，再将换得，但无法得到所以正确C错误.故选：AB.三、填空题22．定义在上的奇函数满足，，则___________．【解析】∵是奇函数，∴，又，∴∴，∴函数f(x)的周期为3．∴，则，∴，故答案为：．23．已知函数f(x)满足，且对于都有，请写出满足上述条件的一个函数解析式为_________________________（答案不唯一)【解析】由可得的对称轴为，由对于都有，可知：在单调递增，故，故答案为：24．已知定义在上的函数满足为奇函数，为偶函数，且，则_________．【解析】因为为奇函数，为偶函数，所以，，即，，所以，，即，故，所以，即周期为12；令，由得，又，得，所以．故答案为：.25．定义在上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式的解集是______．【解析】因为对任意的，有，且偶函数，所以在上单调递减，在上单调递增，由，整理得，则或，又，故或，解得或，故得所求解集为．故答案为：26．关于函数的性质，有如下说法：①若函数的定义域为，则一定是偶函数；②已知是定义域内的增函数，且，则是减函数；③若是定义域为的奇函数，则函数的图像关于点对称；④已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是.其中正确说法的序号有___________.【解析】对于①，由题意，的定义域为，，所以为偶函数，故①正确；对于②，由题意，，，则，即，由于与零的大小无法确定，故错误；对于③，由题意，函数的图象关于原点对称，而的图象是由函数的图象向右平移个单位得到的，由原点向右平移个单位得到，故正确；对于④，为偶函数，，则，即，由在上单调递增，则，，解得，故正确；故答案为：①③④.27．已知函数满足，函数与图象的交点分别为，，，，，则______．【解析】因为，所以的图象关于点对称，又的图象也经过，则五个交点也关于点对称，所以．故答案为：.28．已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则___________.【解析】因为是定义在上的奇函数，且，所以，，所以，即是周期为2的周期函数.所以.故答案为：四、解答题29．已知函数是定义在上的奇函数，且它的图象关于直线对称.(1)求证：是周期为4的周期函数；(2)若，求时，函数的解析式.【解析】（1）证明：由函数的图象关于直线对称，有，即有，又函数是定义在上的奇函数，有，