（人教A版）必修一高一数学上册同步重点通关练习卷24 指数和对数型函数单调性和奇偶性的综合（解析版）

第页通关练24指数和对数型函数单调性和奇偶性的综合eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,关)eq\o\ac(○,练)一、单选题1．设函数，则（

）A．是偶函数，且在单调递增 B．是偶函数，且在单调递减C．是奇函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减【解析】函数的定义域为，，所以函数为奇函数.而，可知函数为定义域上的减函数，因此，函数为奇函数，且是上的减函数.故选：D.2．已知函数，则使成立的x的取值范围是（

）A． B．C． D．【解析】，是偶函数；当时，由于增函数，是增函数，所以是增函数，是关于y轴对称的，当时，是减函数，作图如下：欲使得，只需，两边取平方，得，解得；故选：C.3．已知是定义在R上的奇函数，在区间上为增函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【解析】由题意知：，又在区间上为增函数，当时，，当时，，由可得，解得.故选：C.4．函数是定义在R上的偶函数，且在单调递增，若，，，则（

）A． B．C． D．【解析】由偶函数知，又，，，显然，又在单调递增，则.故选：C.5．已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是减函数，令，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【解析】因为是定义在R上的奇函数且满足，，所以的图象关于直线对称，在上是减函数，则在上是增函数，又是奇函数，所以在上是增函数，所以在上是增函数，在上是减函数，结合奇函数得，所以，，，，所以，即，故选：C．6．已知奇函数对任意，都满足，且当时，若，则（

）A． B． C． D．【解析】根据题意因为是奇函数，即所以，即故是以周期为4的周期函数，所以，当时，，所以，解得.故选：C.7．定义在上的函数在区间上单调递增，且的图象关于直线对称，则下列结论不正确的是（

）A．是偶函数 B．若，则C． D．【解析】因为的图象关于直线对称，而的图象是由的图象向右平移一个单位得到的，所以的图象关于轴对称，所以是偶函数，所以A正确，因为函数在区间上单调递增，且是偶函数，，所以，所以，得，所以B正确，，，因为在上为增函数，，所以，即，因为在上为增函数，，所以，即，所以，所以，即，所以C正确，因为为偶函数，且函数在区间上单调递增，所以，所以，所以D错误，故选：D8．若函数为定义在上的奇函数，且在为增函数，又，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【解析】因为函数为定义在上的奇函数，且在为增函数，则该函数在上也为增函数，且，由可得.当时，则，解得；当时，则，解得.综上所述，不等式的解集为.故选：A.9．设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数（且）在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【解析】函数是定义在上的奇函数，当时，，当时，，所以，即当时，又对任意，都有，则关于对称，且，，即函数的周期为，又由函数且在上恰有个不同的零点，得函数与的图像在上有个不同的交点，又，当时，由图可得，解得；当时，由图可得，解得．综上可得.故选：C．二、多选题10．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则（

）A．的最小值为 B．在上单调递减C．的解集为 D．存在实数满足【解析】函数是定义在上的偶函数，当时，，设，则，所以，因为是偶函数，所以，所以，所以，函数图象如下所示：可得时，在时取得最小值，由偶函数的图象关于轴对称，可得在上取得最小值，故A正确；在上单调递减，在上单调递增，故B错误；由或，解得或，综上可得的解集为，故C正确；由，，即存在实数满足，故D正确；故选：ACD．11．已知是定义在R上的偶函数，且，若当时，，则下列结论正确的是（

）A．当时， B．C．的图象关于点（2，0）对称 D．函数有3个零点【解析】设，则，又∵当时，，∴，∵函数是定义在R上的偶函数，∴，故A正确；∵，∴，∴函数是以4为周期的周期函数，∴，故B不正确；∵，∴，∴的图象不关于点（2，0）对称，故C错误；函数的零点个数就是函数图象与函数图象的交点个数同一坐标系内作函数与的图象如下：观察图象知与有3个交点，故D正确.故选：AD.12．已知函数（，），则下列说法正确的是（

）A．函数图象关于轴对称B．函数的图像关于中心对称C．当时，函数在上单调递增D．当时，函数有最大值，且最大值为【解析】的定义域为，当时，则，故是偶函数，因此图象关于轴对称，故A正确，B错误，当时，，令，则，当时，单调递增，在上单调递减，在上单调递增，由复合函数的单调性可知:在上单调递减，在上单调递增，故C错误，当时，当时，由于单调递减，在上单调递减，在上单调递增，故在上单调递增，在上单调递减，故当时，取最大值，且最大值为，当时，由于是偶函数，故最大值为，故D正确，故选：AD13．设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（

）A．B．为奇函数C．在上为减函数D．方程仅有6个实数解【解析】对于选项A：为偶函数，故，令得：，又为奇函数，故，令得：，其中，所以，故选项A正确；对于选项B：因为为奇函数，所以关于对称，又为偶函数，则关于对称，所以周期为，故，所以，从而为奇函数，故选项B正确；对于选项C：在上单调递增，又关于对称，所以在上单调递增，且周期为8，故在上单调递增，故选项C错误；对于选项D：根据题目条件画出与的函数图象，如图所示：其中单调递减且，所以两函数有6个交点，故方程仅有6个实数解，故选项D正确.故选：ABD14．设函数的定义域为，且满足，，当时，，则下列说法正确的是（

）A． B．当时，的取值范围为C．为奇函数 D．方程仅有5个不同实数解【解析】依题意，当时，，当时，，函数的定义域为，有，又，即，因此有，即，于是有，从而得函数的周期，对于A，，A不正确；对于B，当时，，有，则，当时，，，有，，当时，的取值范围为，B正确；对于C，，函数为奇函数，C正确；对于D，在同一坐标平面内作出函数、的部分图象，如图：方程的实根，即是函数与的图象交点的横坐标，观察图象知，函数与的图象有5个交点，因此方程仅有5个不同实数解，D正确.故选：BCD三、填空题15．对于函数，有以下四个命题：（1）对于任意实数，为偶函数；（2）有两个零点的充要条件是；（3）的最小值为；（4）存在实数，使得方程有且仅有一个实数解.其中正确的命题的序号有__________________.【解析】（1）函数，定义域由为偶函数，该命题正确；（2）时，.设，则，，即故即，在上单调递增，由（1）知为偶函数，故在上单调递减，故时，函数取得最小值，故存在时有两个零点，该命题错误；（3）由（2）知，最小值时，函数取得最小值，该命题正确；（4）由（2）知，存在实数，使得有且仅有一个实数解，也是正确的.故答案为：（1）（3）（4）.16．设函数，若函数在上的最大值为M，最小值为m，则______．【解析】设，定义域为,则，所以，即，所以为奇函数，所以在的最大值和最小值之和为0，令，则因为，所以函数的最大值为，最小值为，则，．∴．故答案为：2.17．已知函数的图象关于原点对称，若，则的取值范围为________．【解析】定义在R上函数的图象关于原点对称，则，解之得，经检验符合题意均为R上增函数，则为R上增函数，又，则不等式等价于，解之得故答案为：18．已知函数，则使得成立的的取值范围是__________.【解析】由且，所以为偶函数，若时，，而，所以，故在上递增，则上递减，要使成立，即，可得.故答案为：19．已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集是______．【解析】因为是奇函数，且，所以．因为，所以．因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递减．因为，所以，则．故答案为：.20．已知定义域为R的偶函数满足，当时，，则方程在区间上所有的解的和为___________.【解析】当时，，则函数在上单调递减，函数值从减到0，而是R上的偶函数，则函数在上单调递增，函数值从0增到，因，有，则函数的周期是2，且有，即图象关于直线对称，令，则函数在上递增，在上递减，值域为，且图象关于直线对称，在同一坐标系内作出函数和的图象，如图，观察图象得，函数和在上的图象有8个交点，且两两关于直线对称，所以方程在区间上所有解的和为.故答案为：四、解答题21．已知函数是定义在上的奇函数.(1)若，求的值；(2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】(1)解：因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，解得，所以，即，则，符合题意，又，即，即，即，即，解得(2)解：因为，所以在定义域上单调递增，又是定义在上的奇函数，所以在恒成立，等价于在上恒成立，即在上恒成立，即，恒成立，令，，所以在上单调递增，在上单调递减，、，所以，所以，即；22．设a为实数，已知函数是奇函数．(1)求a的值；(2)若对任意实数x，恒成立，求实数m的取值范围．【解析】（1）因为是奇函数，所以对任意实数x，，即．所以，即，所以．（2）由（1）得，设，为上的任意两个实数，且，则，因为，所以，，所以，即，所以函数f(x)在上单调递增．由，得，因为f(x)为奇函数，所以，所以，即，所以对任意实数x，恒成立，所以，解得，所以实数m的取值范围为（8，＋∞）23．已知函数，．(1)试判断在其定义域上是否具有奇偶性，若有，请加以证明；(2)若函数在上只有一个零点，求实数a的取值范围．【解析】(1)偶函数，证明如下：证明：函数，定义域为，关于原点对称，所以函数为上的偶函数．(2)解：因为函数在上只有一个零点，所以关于x的方程有唯一的实数解，即方程有唯一的实数解，即有唯一的实数解，化简得，令，下面研究关于t的方程何时仅有一个正根.①当时，，符合题意；②当时，则，当时，，当时，（舍）当，即时，，方程有异号的两个实根，符合题意；综上所述，实数a的取值范围为或.24．设函数（且）是定义域为的奇函数.(1)求实数的值；(2)若，，且在上的最小值为，求实数的值.【解析】（1）解：因为是定义域为的奇函数，所以，即，当时，，，此时函数为奇函数，故.（2）解：因为，所以，解得或（舍）.故，令，因为函数、均为上的增函数，故函数在上为增函数，由，故，所以，，函数图象的对称轴为，①当时，，解得（舍去）；②当时，函数在上为增函数，则，解得，合乎题意.综上所述，.25．已知函数（a为常数，且，）．请在下面三个函数：①；②；③中，选择一个函数作为，使得具有奇偶性．(1)请写出表达式，并求a的值；(2)当为奇函数时，若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围．【解析】（1）若选①：，则，定义域为，若函数为奇函数，则，故函数不能是奇函数，若函数为偶函数，则，由，可得，化简可得，则不为常数，即函数不可能为偶函数，不合乎题意；若选②，，则.若函数为奇函数，则，不合乎题意；若函数为偶函数，则，由，可得，整理可得，则不为常数，不合乎题意.选③，，则，，当为奇函数，则，即，可得；当为偶函数，则，则，可得；（2）由（1）知，当为奇函数时，，，因为，所以，由于函数在上为增函数，函数在为减函数，所以，函数在上为增函数，则，若对于任意的，都有成立，所以，设，，任取、，且，即，则，，则，，可得，即，所以，函数在上为增函数，所以，，即.所以的取值范围是；26．已知函数，(1)若是偶函数，求实数a的值；(2)设函数，若关于x的方程有且只有一个实数根，求实数a的取值范围.【解析】(1)因为是偶函数，所以，解得.(2)，当时，不符合题意，舍去当时，显然单调递增，，；，，故时一定有且只有一个实数根.当时，，当且仅当时“=”成立.综上，或.27．已知，(1)若函数满足，求实数的值；(2)（i）在（1）的条件下，判断函数在上是否有零点，并说明理由：（ii）若函数在R上有零点，求的取值范围.【解析】（1）因为，所以.而，所以，解得：.（2）（i）由（1）可得：.因为在上为减函数，所以在上为减函数，所以在上为增函数，所以在上为增函数.又，所以在上有唯一的零点0.（ii）.函数在R上有零点，即方程有根.因为在R上为减函数，，所以.由此可得：若函数在R上有零点，则的取值范围为.28．已知实数大于0，定义域为的函数是偶函数.(1)求实数的值并判断并证明函数在上的单调性；(2)对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）因为为偶函数，且，所以，解得，又，所以,；设，则，因为，所以，，所以，所以在上单调递增.（2）因为为定义在上的偶函数，且在上单调递增，，所以，平方得，又因为对任意不等式恒成立，所以，解得.29．设函数（且）是定义域为的奇函数．(1)求实数k的值；(2)若，，且当时，恒成立，求实数m的取值范围．【解析】（1）函数（且）是定义域为的奇函数,则，所以，又时，，对任意的，