专题23“不动点法”处理迭代数列（教师版）

专题23：“不动点法”处理迭代数列<<<专题综述>>><<<专题综述>>>对于一个函数f(x)，我们把满足fm=m的值x=m称为函数<<<专题探究>>><<<专题探究>>>题型一：用题型一：用“不动点”求数列通项迭代原理：函数的迭代图象，简称蛛网图或者折线图，函数y=f(x)和直线y=x共同决定．其步骤如下：1．在同一坐标系中作出y=f(x)和y=x的图像（草图），并确定不动点．（如图1所示）图1图22．在找出不动点之后，确定范围，将不动点之间的图像放大，并找出起始点a13．由a1向y=f(x)作垂直于x轴的直线与y=f(x)相交，并确定交点a4．由a1,a2向y=x作平行于x轴的直线与5．由a2,a2向y=f(x)作垂直于x轴的直线与重复4，5，直至找到点an,例1（1）设数列an满足a1=1,an+1（2）已知数列an满足a1=3,【思路点拨】（1）若fx=ax+b(a≠0,1)，p是f(x)的不动点．数列an则an+1−p=a(an−p)（2）设fx=ax+bcx+d(c≠0,ad－bc≠0)，数列an满足an+1=fan,a1【规范解析】（1）如上图1、图2可得，函数y=2x+1的不动点为1，故y=2x+1满足y−(−1)=2[x−(−1)]即y+1=2x+1由数列an,a故可知a∴an+1是公比为2∴an（2）由方程x=7x−2x+4，得数列an的不动点为1an+1所以an−1an−2所以an解得an=1练1已知数列an满足an+1=−13【规范解析】

设fx=−13x－2，由f又a1=4，∴an+32∴an∴an+3练2设数列an满足8an+1an−16an+1+2an+5=0n≥1,n∈N∗,且a1=1,

记bn=又a1−12a1−54=1−121−54=−2，题型二：用题型二：用“不动点”研究数列单调性蛛网图与数列的单调性1：y=f(x)的单调增区间存在两个不动点x1,x2(x1<x2：y=f(x)的单调增区间存在两个不动点x1,x2(x1<x图3图4例2已知数列an满足：0<a1A．0<a2025C．2<a2025<【思路点拨】构造函数f(x)=x+ln(3−x),x∈(0,3)，利用导数判断函数的单调性，可得an<2，再用蜘网图【规范解析】令fx由f'x=1−13−x由f'x<0可得fx在可得an≤2，又f2=2恒成立，若an所以an<2，所以数列

且f0=ln由图象可得0<a所以1<a故选：B．练3已知数列an满足，an+1=aA．存在n∈NB．存在n∈NC．存在n∈ND．存在n∈N【规范解析】因为an+1=所以an,a因为y=x+1−x2−x+1与y如图所示：可知当a1<0时，数列递减，∴当0<a1<1当a1>1时，数列递减，并且an趋向1又当x>1时，y=x+1−x则当a1>1时，a2一定小于32，则之后均小于对于C，可取a1=32，得所以a1−故选：C.练4已知数列an满足an+1=ean−2+1（n∈N∗，e为自然对数的底数），且对任意的A．a1≤1 B．1≤a1≤2 规范解析：设f(x)=ex−x−1，令f当x∈(−∞,0)时，f'(x)<0，f(x)当x∈(0,+∞)时，f'(x)>0，故f(x)≥f(0)=0，即ex≥x+1（当且仅当时故an+1=e即an+1要使对任意的M>0都存在n∈N∗，使得显然a1=2时，当a1>2时，当a1<2时，综上，a1故选：C.<<<专题训练>>><<<专题训练>>>1.已知数列an满足a1=2，a【解析】解方程x=x+2化简得2x2−2=0则an−1−1又a1∴数列an−1an+1∴an−1an2.已知数列{an}满足a1=1,anA．存在n0∈NB．存在n0∈C．存在n0∈D．存在n0∈【解析】设fx=lnx−x可知当x∈(0,2)时，f(x)单调递增，当x∈(2,+∞)时，f(x)单调递减，令gx由于g1=因此，fx=x在可知an<2,an故选：D.3.已知无穷项数列an，满足a1>0，且aA．当且仅当a1>e时，数列aB．存在a1∈1C．当a1<e时，存在n0D．当a1>1e【解析】设函数fx=x∙lnx可得函数y=xlnx在0,1且当x=1e时，y=−1且f1an为无穷项数列，则a1选项A.当a1∈0,1ean+1an=选项B.(1)当a1∈1,x0由a2(2)当a1∈x0,a3=a根据上面对选项A的分析可知，数列从第3项起单调递增.（3）当a1∈x如图，过点a1,a2作x轴的平行线交直线过点a2,a2x过点a2,a3作x轴的平行线交直线过点a3,a3x依此作下去，可得在开始阶段数列an是递减的，如图，其值一定会递减至0,若am是第一个满足0<am由前面的证明可得，从数列an从第m所以a1∈1选项C.当a1∈0,当a1∈1e,e显然满足条件.所以C正确.选项D.由对选项B的判断过程可知，当a1∈1e,e时，数列a故选：C4.设数列an满足a1=aa>0,an+1=2【解析】令y=2x,当y=x时，函数的不动点有x0=2x0（1）如图1所示，当0<a<4时，通过蛛网图发现4>a故an<4，故当4≤M时，一定有（2）当a=4时，总有an=4，故当4≤M时，一定有（3）如图2所示，当a>4时，通过蛛网图发现4<a故只需a≤M，一定有an综上，存在常数M，使得对于任意的n∈N∗，都有图1图25.ann∈【解析】令，当y=x时，函数的不动点有x（1）如图4所示，当1<a1<3故与题意要求不符合；（2）如图5所示，当0<a1<1（3）如图6所示，当a1>3时，通过蛛网图发现综上，a1>3或者0<a图3