漳州一中2025学年度高一下学期数学第18周末作业-教师版

第页漳州一中2025学年度高一下学期数学第18周周末作业一、选择题1.空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A．空间四边形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】B【解析】易证四边形EFGH为平行四边形．∵E，F分别为AB，BC的中点．∴EF∥AC，又FG∥BD，∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°，∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．2.若直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的范围是()A．[0°，90°)B．[0°，180°)C．[90°，180°)D．(90°，180°)【答案】D【解析】若直线l经过第二、四象限，结合图象分析，直线的倾斜角α为钝角，故选D.3.如图，圆柱形纸筒(无底)的两端有A，B两点，AC是圆柱的高，BC是底面圆的直径，在沿纸筒表面(正前方)标有一条从A到B的最短路径．若过A，C把纸筒剪开成矩形，则沿纸筒表面从A到B的最短路径表示正确的是(图中粗线部分)()A．B．C．D．【答案】B【解析】因为AB表示“从A到B的最短路径”，根据“两点之间，线段最短”，AB应该是线段，可以排除A、C选项；又因为“过A，C把纸筒剪开成矩形”，所以A，C两点应该位于矩形的外侧，B点位于中间，又可排除D.故选B.4.若直线xa＋yb＝1与圆x2＋yA．a2＋b2≤1B．a2＋b2≥1C．1a2＋1b2≤1D．【答案】D【解析】由于直线与单位圆有公共点，所以圆心到直线的距离d小于等于半径r，即d＝-11a2＋1b25.将正三棱柱截去三个角(如图1所示，A，B，C分别是△GHI三边的中点)得到几何体如图2所示，则该几何体按图2所示方向的侧视图为选项图中的()A．B．C．D．【答案】A【解析】解题时在图2的右边放面墙(心中有墙)，可得答案A.6.两条直线mx＋2y＋3＝0与2x－my＋2＝0(m≠0)的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交且不垂直D．不确定，与m的取值有关【答案】B【解析】两条直线mx＋2y＋3＝0与2x－my＋2＝0的斜率分别为－m2、2故选B.7.已知直线l的倾斜角为60°，且l在y轴上的截距为－1，则直线l的方程为()A．y＝-33x－1B．y＝-C．y＝3x－1D．y＝3x＋1【答案】C【解析】由于直线的倾斜角为60°，故斜率为tan60°＝3，由斜截式求得直线l的方程为y＝3x－1，故选C.8.ac＜0，bc＜0，则直线ax＋by＋c＝0的图形只能是()【答案】C【解析】由ac＜0，bc＜0，∴abc2＞0，∴ab＞0，∴斜率k＝－ab＜0，又纵截距－c9.直线x＋2ay－1＝0与(a－1)x＋ay＋1＝0平行，则a的值为()A．32B．32或0C．0【答案】A【解析】代入验证．10.对于任意的实数a，点P(2－a，a)与圆C：x2＋y2＝1的位置关系的所有可能是()A．在圆内B．在圆外C．在圆上、圆外D．在圆上、圆内、圆外【答案】B【解析】将点P(2－a，a)代入圆的方程的左边，可得x2＋y2＝(2－a)2＋a2＝2(a－1)2＋2＞1，即点P(2－a，a)到圆心C的距离大于半径，∴点P(2－a，a)在圆外，故选B.11.若平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行C．存在无数多条直线与a平行D．存在唯一一条直线与a平行【答案】D【解析】设点B与a确定一平面为γ，γ∩β＝b，∴a∥b.12.已知直线a⊂α，给出以下三个命题：①若平面α∥平面β，则直线a∥平面β；②若直线a∥平面β，则平面α∥平面β；③若直线a不平行于平面β，则平面α不平行于平面β.其中正确的命题是()A．②B．③C．①②D．①③【答案】D【解析】①因为直线a⊂α，平面α∥平面β，则α内的每一条直线都平行于平面β.显然①正确．②因为当平面α与平面β相交时，仍然可以存在直线a⊂α，使直线a∥平面β.故②错误．③平面内有一条直线不平行于另一个平面，两平面就不会平行．故显然③正确．故选D.13.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()A．平行B．垂直相交C．垂直但不相交D．相交但不垂直【答案】C【解析】连接AC，因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．14.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1上的动点，则直线NO、AM的位置关系是()A．平行B．相交C．异面垂直D．异面不垂直【答案】C【解析】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1上的动点，连接A1O，B1O，不难证明AM⊥平面A1B1O，所以直线NO⊥AM，因为它们不相交．故选C.15.某几何体的正视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()A．B．C．D．【答案】C【解析】从组合体看出上面是一个球，下面是一个四棱柱或是一个圆柱且球的直径与四棱柱的底面上的边长差别不大，从上面向下看，一定看到一个圆，再看到或者是看不到一个矩形，如果正方形的边长大于球的直径，则看到B选项图，如果下面是一个圆柱，且圆柱的底面直径与球的直径相等，看到A选项图，如果下面是一个矩形，且矩形的边长比球的直径大，看到D选项图，C选项的图形不可能看到，矩形应是虚线，故选C.二、填空题(共5小题)16.若过P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的斜率不存在，则a＝________.【答案】－2【解析】由题意得1－a＝3，∴a＝－2.17.直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是________．【答案】－2或1【解析】根据题意a≠0，由直线l：ax＋y－2－a＝0，令y＝0，得到直线在x轴上的截距是2+aa，令x＝0得到直线在y轴上的截距是2＋a根据题意得2+aa＝2＋a，即a2＋a分解因式得(a＋2)(a－1)＝0，解得a＝－2或a＝1.18.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C,C1B1，C1D1的中点，点H在四边形A1ADD1的边及其内部运动，则H满足条件________时，有BH∥平面MNP.【答案】H∈线段A1D【解析】H∈线段A1D.理由如下，连接A1B，A1D，BD，CB1,因为M，N分别是C1C,C1B1的中点，所以MN∥CB1，因为CD∥A1B1，且CD＝A1B1，所以四边形CDA1B1是平行四边形，所以CB1∥DA1，所以MN∥DA1，又MN⊄平面A1BD，DA1⊂平面A1BD，所以MN∥平面A1BD.同理可证PN∥平面A1BD，又MN⊂平面MNP，PN⊂平面MNP，MN∩PN＝N，所以平面A1BD∥平面MNP.又因为BH⊂平面A1BD，所以BH∥平面MNP.19.给出下列四个命题：①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面；②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面；③若直线l∥平面α，直线m∥平面α，则l∥m；④若直线a∥直线b，且直线l⊥a，则l⊥b.其中正确命题的序号是________．【答案】②④【解析】①若两条直线不相交，则直线不一定垂直于这个平面，所以①错误；②根据线面垂直的定义可知，②正确；③平行于同一个平面的两条直线不一定平行，所以③错误；④若直线a∥直线b，且l⊥a，所以必有l⊥b，所以④正确．故答案为②④.20.已知直线l的方程为y－m＝(m－1)(x＋1)，若l在y轴上的截距为7，则m＝________.【答案】4【解析】直线l的方程可化为y＝(m－1)x＋2m－1，∴2m－1＝7，得m＝4.三、解答题21.在底面半径为R，高为h的圆锥内有一内接圆柱，求内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高，并求此时侧面积的最大值．【答案】如图，设圆柱的高为x，其底面半径为r，则rR＝h-x∴r＝Rh-x圆柱的侧面积S侧＝2πrx＝2πRh·x(h＝－2πRh(x2＝－2＝－2πRh(x－h2)当x＝h2时，S侧最大值＝π即内接圆柱的侧面积最大时，圆柱的高为h2，此时侧面积的最大值为12π22.如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，点C∈α，点B∈β，点D∈β，点E、F分别在线段AB、CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.求证：EF∥β，EF∥α.【答案】证明①当AB，CD在同一平面内时，由α∥β，α∩平面ABDC＝AC，β∩平面ABDC＝BD，∴AC∥BD，∵AE∶EB＝CF∶FD，∴EF∥BD，又EF⊄β，BD⊂β，∴EF∥β.②当AB与CD异面时，设平面ACD∩β＝l，在l上取一点H，使DH＝AC.∵α∥β，α∩平面ACDH＝AC，∴AC∥DH，∴四边形ACDH是平行四边形．在AH上取一点G，使AG∶GH＝CF∶FD，又∵AE∶EB＝CF∶FD，∴GF∥HD，EG∥BH，又EG∩GF＝G，BH∩HD＝H，∴平面EFG∥平面β.∵EF⊂平面EFG，∴EF∥β.综上，EF∥β.∵α∥β，EF∥β且EF⊄α，∴EF∥α.23.求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比.【答案】如图等边△ABC为圆锥的轴截面，截球面得圆O.设球的半径OE＝R，OA＝OEsin30°＝2OE＝2∴AD＝OA＋OD＝2R＋R＝3R，BD＝AD·tan30°＝3R，∴V球＝43πR3，V圆锥＝13π·BD2×AD＝13π(3R)2×3R＝3π则V球∶V圆锥＝4∶9.24.b为何值时，直线x－3y＋b＝0与圆x2＋y2－6mx－2(m－1)y＋10m2－2m－24＝0相交，相切，相离？【答案】将圆的方程配方，得(x－3m)2＋[y－(m－1)]2＝25，则圆心(3m，m－1)，半径r＝5，则圆心到直线的距离d＝3m-3m-1+b10∵圆的半径r＝5，∴当d＜r，即－510－3＜b＜510－3时，直线与圆相交；当d＝r，即b＝±510－3时，直线与圆相切；当d＞r，即b＜－510－3或b＞510－3时，直线与圆相离．25.已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(3,3)，圆心C在直线l：2x－y－2＝0上，求圆心为C的圆的标准方程．【答案】因为A(1,1)，B(3,3)，所以线段AB的中点D的坐标为(2,2)，直线AB的斜率kAB＝1，因此线段AB的垂直平分线l′的方程是y－2＝－(x－2)，即x＋y－4＝0.圆心C的坐标是方程组x+y-4=0,2x-y-2=0的解．解此方程组，得所以圆心C的坐标是(2,2)．圆心为C的圆的半径长r＝|AC|＝(1-2)2+(1-2)所以圆心为C的圆的标准方程是(x－2)2＋(y－2)2＝2.26.在同一空间直角坐标系中作出点P(2，－2,3)及Q(3,2，－1)．【答案】如图所示，可按下列顺序作图：(1)(0,0,0)沿x轴向前移动2个单位(2,0,0)沿平行y(2)(0,0,0)沿x轴向前移动3个单位(3,0,0)沿平行y27.如图，设E，F，G，H分别是四面体A－BCD的棱AB，BC，CD，DA上的点，且AEAB＝AHAD＝λ，CFCB＝CG(1)当λ＝μ时，四边形EFGH是平行四边形；(2)当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形．【答案】证明在△ABD中，∵AEAB＝AHAD＝∴EH∥BD，且EH＝λBD.在△CBD中，∵CFCB＝CGCD＝∴FG∥BD，且FG＝μBD，所以EH∥FG.故顶点E，F，G，H在由EH和FG确定的平面内．(1)当λ＝μ时，EH＝FG，故四边形EFGH为平行四边形；(2)当λ≠μ时，EH≠FG，故四边形EFGH是梯形．28.讨论直线l1：ax＋8y－a－4＝0与直线l2：x＋2ay－2a＋1＝0的位置关系．【答案】①当a＝0时，直线l1：8y－4＝0，直线l2：x＋1＝0，两直线垂直．②当a≠0时，两直线的斜率分别为-a8，若-a8＝-1当a＝2时，直