《概率论与数理统计》课件第7章

第7章参数估计7.1点估计7.2区间估计7.3单侧置信区间7.4估计量的评选标准习题７

参数估计问题是数理统计中重要的统计推断问题之一。我们知道：服从参数为λ的Poisson分布的随机变量，其概率分布由一个参数

λ确定；服从参数为μ、σ2

的正态分布的随机变量，其概率分布由一对参数μ、σ2

确定。这就是说，对所要研究的随机变量X

，当它的概率分布类型为已知时，还需要确定分布中的参数值，这样随机变量的分布才能完全确定，这就是参数估计问题。

7.1点估计

1.点估计的定义设总体X

的分布形式已知，但它含有一个或多个未知参数，通过来自总体X的一个样本来估计总体分布中未知参数值的问题就为参数的点估计问题。

例7－1设某信息台在上午八点至九点接到的呼叫次数服从参数为λ

的Poisson分布，其中参数λ>0为未知参数，现收集了如下的42个数据：

试估计参数λ。

解设接到的呼叫次数为X

，则X~P(λ)，从而λ=EX，自然想到用样本均值来估计总体的均值EX。现由已知数据计算得

即参数λ

的估计值为1.9。

一般地，我们有以下定义。

2.点估计的求法

1)矩估计法

从Khintchine大数定律可知，若总体X的数学期望

EX有限，则样本均值X依概率收敛于EX

。这就启发我们，在利用样本所提供的信息来对总体X的分布函数中未知参数作估计时，可以用样本矩作为总体矩的估计量，而以样本矩的连续函数作为相应的总体矩的连续函数的估计量，这种方法称为矩估计法。

定义2设总体X

的分布函数为F

(x;θ1

，

θ2

，…，

θk)，其中θ1

，

θ2，…，

θk为未知参数，假设总体X的k阶原点矩μk

=EXk

存在，由下列方程组

例7－2求事件A发生的概率p的矩估计量。

解

设X表示事件A在一次试验中是否发生这样的一个随机变量，即

则P(X=1)=P(A)=p，

P(X=0)=1-p

，由于EX=p

，因此p

的矩估计量为

其中nA

为事件A

在n

次独立试验中发生的次数。也就是说，在n

次独立试验中，用事件A发生的频率nA

/n作为事件A

发生的概率p的矩估计量。

例7－3设总体X~U(a，

b)，其中a、b为未知参数，

X1

，

X2

，…，

Xn

为来自总体X的一个样本，试求a、b的矩估计量。

解由于X~U(a，

b)，因此

由矩估计法得

即

例7－9设总体X的概率密度为

7.2区间估计

图7－1

例7－14就得到了μ

的一个置信水平为1-α的置信区间

这样的置信区间常写成

再将α=0.05，

n=100，

x=32000，

σ=4000代入，则得到μ的一个置信水平为0.95的区间为

这个区间已经不是随机区间了，但我们仍称它为置信区间。其含义是:若反复抽样多次，每组样本容量为100的样本值就可以确定一个区间，在这么多的区间中，包含μ的约占95%，不包含μ的约占5%。现在抽样所得到的区间为(31216，

32784)，该区间属于包含μ的区间的可信程度为95%，或“该区间包含μ”这一陈述的可信程度为95%。

置信水平为1-α的置信区间并不是唯一的。以例7－14来说，若给定α=0.05，则

也是μ的置信水平为0.95的置信区间，我们将它与(7.2.2)式中令α=0.05所得到的置信水平为0.95的置信区间相比较可知，由(7.2.2)式所确定的区间长度为

这一长度要比由(7.2.3)式所确定的区间的长度置信区间短表示估计的精度高，故由(7.2.2)式给出的区间较(7.2.3)式给出的区间为优。

综上所述，求参数θ的置信水平为1-α的置信区间有以下的步骤:

2.正态总体参数的置信区间

1)单正态总体均值μ的置信水平为1-α的置信区间图7－3图7－5

图7－6

3.0-1分布总体参数的置信区间

定理9设总体X~B(1，

p)，即总体X服从参数为p的0-1分布，

X1

，

X2

，…，Xn(n>50，此时也称该样本为大样本)为来自总体X的一个样本，则参数p的置信水平为1-α

的置信区间为

例7－24从一大批产品中抽取容量为100的一个样本，得到一级品为60件，求这批产品的一级品率p的置信水平为0.95的置信区间。解由于一级品率p是0-1分布总体X的参数，因此参数p的置信水平为1-α的置信区间为

7.3单侧置信区间