《概率论与数理统计》课件第3章

第3章多维随机变量及其分布3.1二维随机变量及其联合分布函数3.2二维离散型随机变量及其联合分布律3.3二维连续型随机变量及其联合概率密度3.4边缘分布3.5条件分布3.6随机变量的独立性3.7二维随机变量函数及其分布习题３

3.1二维随机变量及其联合分布函数

在实际问题中，许多随机试验的结果需要用两个或两个以上的随机变量来描述。例如：炮弹的弹着点就需要由它的横坐标X和纵坐标Y来确定，而X、Y是定义在同一样本空间上的两个随机变量；某钢材的质量需要由钢材的硬度X、钢材的含碳量Y和钢材的含硫量Z来确定，而X、Y、Z是定义在同一样本空间上的三个随机变量。一般地，有如下的定义。

定义1设随机试验的样本空间为Ω，

X、Y是定义在Ω上的随机变量，则称由X、Y构成的向量(X，

Y)为二维随机变量。

类似地，有n维随机变量的定义，因为n维随机变量和二维随机变量没有本质的区别，所以以下仅讨论二维随机变量的情形，所得结果不难推广到n维随机变量的情况。在定义了多维随机变量后，我们也称单个随机变量为一维随机变量。

二维随机变量(X，

Y)的性质不仅与X及Y有关，而且还依赖于这两个随机变量的相互关系，因此逐个研究随机变量X及Y是不够的，需要将X及Y作为一个整体(X，

Y)来讨论。像一维随机变量一样，可以用分布函数来讨论二维随机变量，此时的分布函数称为联合分布函数。

定义2设(X，

Y)是二维随机变量，称二元函数

为二维随机变量(X，

Y)的联合分布函数。

从几何上来看，如果把二维随机变量(X，

Y)看成是平面上随机点的坐标，那么联合分布函数F(x

，

y)在(x，

y)处的函数值就是随机点(X，

Y)落在以(x，

y)为右上顶点的左下无界区域内的概率，如图3－1所示。图3－1

定理设二维随机变量(X，

Y)的联合分布函数为F(

x，

y)，则∀x1<x2，

y1<y2，有P

(x1<X≤x2，

y1<Y≤y2)=F(x2，

y2)-F(x1，

y2)-F(x2，

y1)+F(x1，

y1)

证明由联合分布函数的定义，得

图3－2

二维随机变量的联合分布函数具有以下的性质。

性质10≤F

(x

，

y)≤1，

x、y∈R

，且F(-∞，

y)=F(x，

-∞)=F(-∞，

-∞)=0，

F(+∞，

+∞)=1。

证明由于∀x、y∈R，

0≤P(X≤x，

Y≤y)≤1，因此

0≤F(x，

y)≤1

且对于任意固定的对于任意固定的x

，

在几何上可以作如下解释:在图3－1中固定上边边界，将无穷矩形的右边边界向左无限平移，即x→-∞，则“随机点(X，

Y)落在以(x，

y)为右上顶点的左下无界区域内”这一事件趋于不可能事件，从而其概率趋于零，即F(-∞，

y)=0，类似地，

F(x，

-∞)=0;在图3－1中将无穷矩形的右边边界向左无限平移，同时将上边边界向下无限平移，即(x，

y)→(-∞，-∞)，则“随机点(X，

Y)落在以(x，

y)为右上顶点的左下无界区域内”这一事件趋于不可能事件，从而其概率趋于零，即F(-∞，

-∞)=0;

在图3－1中将无穷矩形的右边边界向右无限平移，同时将上边边界向上无限平移，即(x，

y)→(+∞，

+∞)，则图3－1中的区域趋于全平面，从而“随机点(X，

Y)落在以(x，

y)为右上顶点的左下无界区域内”这一事件趋于必然事件，从而其概率趋于1，即F(+∞，

+∞)=1。

性质2对于一个固定的变量，

F(

x，

y)是另一个变量的单调不减函数，即：对于任意固定的y，当x1

<x2

时，

F(x1

，

y)≤F(x2

，

y)；对于任意固定的x

，当y1<y2

时，F(x，

y1)≤F(x，

y2

)。

证明由于当x1<x2

时，{X≤x1

}⊂{X≤x2}，因此{X≤x1}∩{Y≤y}⊂{X≤x2

}∩{Y≤y}，从而P(X≤x2

，

Y≤y)≤P(X≤x1

，

Y≤y)，即．

同理可证，对于任意固定的x，当y1

<y2

时，

F(x，

y1

)≤F(x，

y2)。

性质3对于一个固定的变量，

F(x，

y)是另一个变量的右连续函数，即:对于任意固定的y，

F(x，

y)关于x

右连续，

F(x+0，

y)=F(x，

y)；对于任意固定的x，

F(x，

y)关于y

右连续，

F(x，

y+0)=F(x，

y)。

性质4设x1<x2

，

y1

<y2

，则

F(x2

，

y2

)-F(x1

，

y2

)-F(x2

，

y1)+F(x1

，

y1

)≥0。

证明由(3.1.2)式及概率的非负性可直接推得。

需要指出的是，如果函数F(x，

y)满足上述性质1、性质2、性质3及性质4，那么F

(x，

y)一定是某个二维随机变量的联合分布函数。

例3－1判断函数

是否为联合分布函数。

解在性质4中，取x1=0，

x2=1，

y1=0，

y2=1，则

因而F

(x，

y)不是联合分布函数。

3.2二维离散型随机变量及其联合分布律

1.二维离散型随机变量的定义定义1设(X，

Y)是二维随机变量，如果(X，

Y)可能的取值为有限对或可列无限多对，则称(X，

Y)为二维离散型随机变量。显然，要掌握一个二维离散型随机变量(X，

Y)的统计规律，必须且只需知道(X，

Y)所有可能的取值以及取每一对值的概率。

2.二维离散型随机变量的联合分布律

定义2(二维离散型随机变量的联合分布律)设(X，

Y)是二维离散型随机变量，其可能的取值为(xi，

yj)(i，

j=1，

2，…)，则称

为(X，

Y)的联合分布律，或表示为

例3－2设随机变量X

在1，

2，

3，

4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量Y在1，

2，…，

X中等可能地取一个值，求(X，

Y)的联合分布律。

解X、Y可能的取值为1，

2，

3，

4，且

即(X，

Y)的联合分布律为

例3－3袋中装有3只球，它们上面分别标有数字1、2、2。从该袋中取球两次，每次取1只，取出的球不再放回。设X、Y分别表示第一次、第二次取得的球上标有的数字，求(X，

Y)的联合分布律。

解

X、Y可能的取值为1、2，且

即(X，

Y)的联合分布律为

例3－4设箱子中装有12件产品，其中2件是次品。从中任取产品两次，每次取1件。令

(1)若第一次取出的产品放回，求(X，

Y)的联合分布律;

(2)若第一次取出的产品不放回，求(X，

Y)的联合分布律。

解

(1)X、Y可能的取值为0、1，且

即(X，

Y)的联合分布律为

(2)X、Y可能的取值为0、1，且

即(X，

Y)的联合分布律为

例3－5袋中装有3只黑球，

2只红球，

2只白球。从中任取4只球，设X、Y分别表示取到的黑球数与红球数，试求:

(1)(X，

Y)的联合分布律;

(2)P(X>Y)、P(Y=2X)、P(X+Y=3)和P(X<3-Y)。

即(X，

Y)的联合分布律为

3.二维离散型随机变量联合分布律的性质

4.二维离散型随机变量联合分布函数

设二维离散型随机变量(X，

Y)的联合分布律为

由概率的可列可加性，得(X，

Y)的联合分布函数为

即

例3－6设二维离散型随机变量(X，

Y)的联合分布律为

试求：(1)常数a

；(2)P(X=2Y)。

例3－7设二维离散型随机变量(X，

Y)的联合分布律为

求(X，

Y)的联合分布函数。

解由(3.2.2)式，得(X，

Y)的联合分布函数为

3.3二维连续型随机变量及其联合概率密度

1.二维连续型随机变量的定义定义1设(X，

Y)是二维随机变量，其联合分布函数为F

(x，

y)，如果存在非负可积函数f

(x，

y)，使得则称(X，

Y)为二维连续型随机变量，称f(x，

y)为(X，

Y)的联合概率密度函数，简称联合概率密度。

例3－8设二维连续型随机变量(X，

Y)的联合概率密度为

试求：(1)常数c；

(2)(X，

Y)的联合分布函数；

(3)P(0<X≤1，

0<Y≤2)。

解

故c=12。

3.几种重要的二维连续型随机变量

1)二维均匀分布

定义2若二维连续型随机变量(X，

Y)的联合概率密度为

其中A为区域G的面积，则称(X，

Y)在区域G上服从均匀分布，记为(X，

Y)~U(G)。

例3－11设二维连续型随机变量(X，

Y)在区域

上服从均匀分布，求(X，

Y)的联合概率密度及P(X+Y≥1)。

解由于区域G的面积A=π，因此(X，

Y)的联合概率密度为

结合几何概率，容易得到:

定理设二维连续型随机变量(X，

Y)~U(G)，则(X，

Y)在G的任一子区域上取值的概率等价于平面区域G上的几何概率。

例3－12设二维连续型随机变量(X，

Y)~U(G)，其中

解

由于平面区域G的面积为2，平面区域

是平面区域G的一部分，且面积为π/2，因此

同理可得

2)二维正态分布

定义3若二维连续型随机变量(X，

Y)的联合概率密度为

x、y∈R(3.3.3)其中μ1

、μ2、σ1

(σ1

>0)、σ2

(σ2

>0)

是常数，则称(X，

Y)服从参数为μ1、μ2

、σ21

、σ22

、ρ的二维正态分布，记为(X，

Y)~N(μ1，

μ2;σ21

，

σ22

;ρ)。

f(x，

y)的图像如图3－3所示，它在x=μ1，

y=μ2处取得最大值为图3－3

3.4边缘分布

二维随机变量(X，

Y)作为一个整体具有联合概率分布(联合分布函数或联合分布律或联合概率密度)，而X和Y都是随机变量，各自也具有概率分布，这样的分布就是边缘分布。

例3－13设二维随机变量(X，

Y)的联合分布函数为

解由(3.4.1)式得

由(3.4.2)式得

2.二维离散型随机变量的边缘分布律

定理2设二维离散型随机变量(X，

Y)的联合分布律为

则(X，

Y)关于X、Y的边缘分布律分别为

或在(X，

Y)的联合分布律中表示为

证明由(3.4.1)式和(3.2.2)式得

再由第二章的(2.3.2)式得

同理可证

例3－14袋中装有2只白球、3只黑球，从袋中取球两次，每次取1只球，令

(1)若第一次取出的球放回，求(X，

Y)的边缘分布律;

(2)若第一次取出的球不放回，求(X，

Y)的边缘分布律。

解

(1)X、Y可能的取值为0、1，且

故(X，

Y)的联合分布律及边缘分布律为

(2)X、Y可能的取值为0、1，且

故(X，

Y)的联合分布律及边缘分布律为

3.二维连续型随机变量的边缘概率密度

定理3设二维连续型随机变量(X，

Y)的联合概率密度为f(x，

y)，则(X，

Y)关于X、Y的边缘概率密度分别为

证明由(3.4.1)式和(3.3.1)式得

再由第二章的(2.4.1)式得

同理可证

例3－15设平面区域G是由y=x2

和y=x所围成

(如图3－4所示)的，且二维连续型随机变量(X，

Y)在区域G上服从均匀分布，求(X，

Y)关于X、Y的边缘概率密度。图3－4

例3－16设二维连续型随机变量(X，

Y)~N

即(X，

Y)的联合概率密度为

求(X，

Y)关于X、Y的边缘概率密度。

该结果说明:如果(X，

Y)~N(μ1

，

μ2;σ21

，σ22

;ρ

)，那么X~N(μ1

，σ21)，

Y~N(μ2

，σ2

2

)，且都不依赖于参数ρ。也就是说，对于任意给定的μ1

、μ2

、σ21

、σ22

，不同的ρ对应不同的二维正态分布，它们的边缘分布却都是一样的，即单由关于X、Y的边缘分布一般不能确定X、Y的联合分布，并且(X，

Y)不一定服从二维正态分布。

例3－17设

(1)证明f(x，

y)是二维连续型随机变量(X，

Y)的联合概率密度;

(2)求(X

，

Y)关于X、Y的边缘概率密度

解

(1)证明：由于f

(x，

y)≥0是显然的，且

因此f

(x，

y)是二维连续型随机变量(X，

Y)的联合概率密度。

同理可得

该例说明:虽然有X~N(0，

1)，

Y~N(0，

1)，但(X，

Y)却不服从二维正态分布，也即是说，若X、Y都服从正态分布，则(X，

Y)不一定服从二维正态分布。

3.5条件分布

由于随机变量可以表示随机事件，而且随机事件有条件概率的概念，因此把随机事件的条件概率引入到随机变量的分布上来，便产生了条件分布的概念。

1.二维离散型随机变量的条件分布律

例3－18设二维离散型随机变量(X，

Y)的联合分布律为

(1)设p·j>0，求在随机事件{Y=yj

}已发生的条件下，随机事件{X=xi

}的条件概率P(X=xi

Y=yj)(i

=1，

2，…)；

(2)设pi·>0，求在随机事件{X=xi}已发生的条件下，随机事件{Y=yj}的条件概率P(Y=yjX=xi)(j=1，

2，…)。

定义1设二维离散型随机变量(X，

Y)的联合分布律为

例3－19设二维离散型随机变量(X，

Y)的联合分布律为

求:

(1)在Y=1的条件下X的条件分布律;

(2)在X=2的条件下Y的条件分布律。

解由(X，

Y)的联合分布律得X、Y的边缘分布律为

(1)

即在Y=1的条件下，

X的条件分布律为

(2)

即在X=2的条件下，

Y的条件分布律为

例3－20一射手进行射击，击中目标的概率为p(0<p<1)，射击直至击中目标两次为止。设X表示首次击中目标所进行的射击次数，

Y表示总共进行的射击次数，试求

(X，

Y)的联合分布律与条件分布律。

解

X可能的取值为1，

2，…，

Y可能的取值为2，

3，…。依题设知，

Y=n表示在第n次射击时击中目标，且在前n-1次射击中恰有一次击中目标，已知各次射击是相互独立的，因此

当m<n时，

当m≥n时，

即(X，

Y)的联合分布律为

又由于

因此当n=2，

3，…时，

X的条件分布律为

2.二维连续型随机变量的条件概率密度

我们知道，当(X，

Y)是二维连续型随机变量时，则∀x、y∈R，有P(X=x)=0，P

(Y=y)=0。因此就不能像二维离散型随机变量那样，直接由条件概率引入(X，

Y)的条件分布。自然就有了下面的极限方法。

定义2设二维随机变量(X，

Y)的联合分布函数为F(

x，

y)，关于Y

的边缘分布函数为FY

(y)，给定y

及其增量Δy(不妨设Δy>0)，使得P(y<Y≤y+Δy)>0，如果极限

存在，则称该极限为在Y=y的条件下随机变量X的条件分布函数，记为即

类似地，有

设(X，

Y)为二维连续型随机变量，其联合概率密度为f(x，

y)，关于Y的边缘概率密度为fY

(y)，由连续型随机变量概率密度的性质，得

定义3设二维连续型随机变量(X，

Y)的联合概率密度为

f(x，

y)，如果对于任意固定的y

，有fY

(y

)>0，则称

为在Y=y的条件下随机变量X的条件概率密度。

如果对于任意固定的x，有fX

(x)>0，则称

为在X=x的条件下随机变量Y的条件概率密度。

例3－21设二维连续型随机变量(X，

Y)的联合概率密度为

例3－23设随机变量X~U(0，

1)，在X=x(0<x<1)的条件下，随机变量Y~U(0，

x)，求:

(1)(X，

Y)的联合概率密度;

(2)Y的边缘概率密度f

Y(y

);

(3)P(X+Y>1)。

例3－25设二维连续型随机变量(X，

Y)在区域G上服从均匀分布，其中G是由x-y=0、x+y=2与y=0所围成的三角形区域。试求:

(1)(X，

Y)关于X的边缘概率密度fX(x);

3.6随机变量的独立性

我们已经讨论过随机事件的独立性，现在从这一概念出发引进随机变量的独立性，它在概率论与数理统计的研究中是十分重要的。

定义1设二维随机变量(X，

Y)的联合分布函数为F(x，

y)，边缘分布函数分别为FX

(x)和FY

(y

)，如果

则称随机变量X与Y相互独立。

从定义可以看出，随机变量X与Y相互独立等价于:∀x、y∈R

，随机事件{X≤x}与{Y≤y}相互独立，即

定理1设二维离散型随机变量(X，

Y)的联合分布律为P(X=xi

，

Y=yj)=pij(i，

j=1，

2，…)，边缘分布律分别为pi

·和p·j，则X与Y相互独立的充要条件是

证明必要性:设X与Y相互独立，则对(X，

Y)任一对可能的取值(xi

，

yj

)及自然数m、n，有

在上面等式的两边，先令m→∞，再令n→∞，由第一章的(1.3.8)式得

即

故

定理2设二维连续型随机变量(X，

Y)的联合概率密度f(x，

y)及边缘概率密度fX

(x)、fY(y)是除有限个点外的连续函数，则X与Y相互独立的充要条件是

证明必要性:设X

与

Y相互独立，则F(x，

y)=FX

(x)FY

(y)(x，

y∈R)，两边对x、y求偏导数，得

即

例3－27一电子仪器由两个部件构成，以X与Y分别表示两个部件的寿命(单位:千小时)，已知(X，

Y)的联合分布函数为

(1)问X与Y是否相互独立?

(2)求两个部件的寿命都超过100小时的概率。

解

(1)由于

且

因此X与Y相互独立。

(2)所求的概率为

例3－28设二维离散型随机变量(X，

Y)的联合分布律为

判断X与Y是否相互独立。

解由于

因此X与Y相互独立。

例3－29设随机变量X、Y相互独立同分布，

X的概率密度为

解由于X、Y相互独立，因此事件A={X>a}、B={Y>a}相互独立，又由于

所以

解之得a=1/2。

例3－30设离散型随机变量X、Y的分布律分别为

且P(XY=0)=1。

(1)求(X，

Y)的联合分布律;

(2)问X、Y是否相互独立，为什么?

解由于P(XY=0)=1，因此

从而(X，

Y)的联合分布律有如下结构:

由联合分布律与边缘分布律的关系得

故(X，

Y)的联合分布律为

(2)由于P(X=-1，

Y=0)=

因此X、Y不相互独立。

例3－31设随机变量X、Y相互独立，且X~U(

0，

1)，

Y~U(0，

2)，求P(X+Y≤1)。

解由于X~U(0，

1)，

Y~U(0，

2)，因此X、Y的概率密度分别为

又由于X、Y相互独立，故(X，

Y)的联合概率密度为

所以

由该例我们不难得到下列一般性的重要结果。

定理3设随机变量X、Y相互独立，且X~U[a，

b]，

Y~U[c，

d]，则二维随机变量(X，

Y)~U[a

，

b;c，

d]，其中[a，

b;c，

d]={(x，

y)a≤x≤b，

c≤y≤d};反之亦然。

证明由于X~U[a，

b]，

Y~U[c，

d]，因此X、Y的概率密度分别为

又由于X、Y相互独立，故(X，

Y)的联合概率密度为

例332设随机变量X、Y相互独立，且X~U[-1，

1]，

Y~U[-1，

1]，求P(Y>X2)。

解

由于X、Y相互独立，且X~U[-1，

1]，

Y~U[-1，

1]，因此(X，

Y)~U[-1，

1;-1，

1]。又由于平面区域[-1，

1;-1，

1]的面积为4，平面区域{(

x，

y)y>x2

}含在平面区域[-1，

1;-1，

1]中的部分的面积为

定理4设二维连续型随机变量(X，

Y)~N(μ1

，

μ2;σ21

，σ22;ρ

)，则X、Y相互独立的充要条件是ρ=0。

证明设(X，

Y)~N(μ1

，

μ2;σ21

，

σ22;ρ)，则(X，

Y)的联合概率密度及边缘概率密度分别为

充分性:设ρ=0，则(X，

Y)的联合概率密度为

故X、Y相互独立。

必要性:设X、Y相互独立，则f(x，

y)=fX(x)fY

(y)(x，

y∈R)。特别地，取x

=

μ1

，

y=μ2

，得

即

故

ρ=0

例3－33设二维连续型随机变量(X，

Y)~N(1，

1;4，

4;0)，求P(X≤1，

Y≤1)。

解

由于(X，

Y)~N(1，

1;4，

4;0)，且ρ=0，因此X~N(1，

4)，

Y~N(1，

4)，且X、Y相互独立，从而

例3－34(1)设X、Y是非负的连续型随机变量且相互独立，

X的分布函数为FX(x

)，

Y

的概率密度为fY(y

)，证明P(X<Y)=

(2)若X、Y相互独立且分别服从参数为λ1

、λ2

的指数分布，利用上述结果求P(X<Y)。

解

(1)设X的概率密度分别为fX

(x)，由于X、Y是非负的连续型随机变量且相互独立，因此(X，

Y)的联合概率密度为

从而

例3－35把三只球等可能地放入编号为1、2、3的三个盒子中，记落入第1号盒子中的球的个数为X，落入第2号盒子中的球的个数为Y。

(1)求二维随机变量(X，

Y)的联合分布律;

(2)问X、Y是否相互独立，为什么?

(3)求在Y=1的条件下X的条件分布律。

解

(1)X、Y可能的取值为0，

1，

2，

3，且

由于在X=i的条件下，剩下的3-i只球等可能落入第2号与第3号盒子中，因此在X=i的条件下，

即(X，

Y)的联合概率分布为

即在Y=1的条件下X的条件分布律为

3.7二维随机变量函数及其分布

1.二维随机变量函数的定义定义设(X，