《线性控制系统理论与方法》课件第7章

第7章线性反馈系统的时间域综合7.1综合问题的提法及类型和性质7.2极点配置问题7.3输入/输出解耦控制问题7.4跟踪问题：无静差性和鲁棒控制7.5状态重构问题及状态观测器7.6含有状态观测器的状态反馈控制系统

7.1综合问题的提法及类型和性质

一、综合问题的提法给定线性定常系统(7.1)其中x∈Rn,u∈Rp,y∈Rq。再给出期望的性能指标，综合问题就是寻找一个控制u，使得在它作用下，系统运动行为满足所给出的期望性能指标。若所得到的控制作用u依赖于系统的实际响应，即可表示为系统状态或输出的一个线性向量函数，即(7.2)则这种控制分别称为线性状态反馈控制和线性输出反馈控制，其中K、F、L（detL≠0）为常数阵，分别称为状态反馈增益阵和输出反馈增益阵以及输入变换矩阵，而ν称为参考输入向量，将这两种控制(式(7.2))分别加到式(7.1)得到闭环系统，分别称为状态反馈系统和输出反馈系统。性能指标的类型可分为非优化型性能指标和优化型性能指标。

对于非优化型性能指标，按照对期望运动形式以不同角度去规定性能，可有多种提法，常用的非优化型指标提法有：

(1)以渐近稳定作为性能指标，相应的综合问题称为镇定问题。

(2)以一组期望的闭环极点作为性能指标，相应的综合问题称为极点配置问题。

(3)以使一个MIMO系统实现“一个输入只控制一个输出”作为性能指标，相应的综合问题称为解耦控制问题。

(4)以使系统的输出无静差地跟踪一个外部信号y0(t)作为性能指标，相应的综合问题称为跟踪问题。对于以上这些综合问题，需要研究以下问题:

(1)建立可综合的条件。可综合条件是指相对于给定的受控系统和给定的期望性能指标，使相应的控制存在并实现综合目标所应满足的条件。可综合条件的建立，避免了综合过程的盲目性。

(2)建立相应的用以综合控制规律的算法。利用这些算法，对满足可综合条件的问题确定出满足要求的控制律，即确定出相应的状态反馈矩阵和输出反馈矩阵。

(3)状态反馈的构成问题。在状态反馈的综合策略中，由于状态变量为系统的内部变量，通常并不是每个状态变量都是可以直接测量或能够采用经济的手段进行测量的，这就产生了困难。解决的途径是利用可测量变量输入u和输出y来构造出不能测量的状态x，相应的理论问题称为状态重构问题，即观测器问题。

(4)系统模型的不准确和参数摄动问题，即鲁棒性问题。

(5)对外部扰动的影响的抑制问题，即扰动抑制问题。

二、状态反馈和输出反馈

线性定常系统的状态反馈系统和输出反馈系统的构成分别见图7.1和图7.2。图7.1状态反馈系统图7.2输出反馈系统由系统方程(7.1)和反馈方程(7.2),可得状态反馈系统的模型为(7.3)其传递函数阵为输出反馈系统的模型为(7.4)其传递函数阵为由式(7.3)和式(7.4)可得出如下结论：

(1)不论是状态反馈还是输出反馈，都可改变系统矩阵，但两者改变系统结构属性和实现性能指标的功能是不同的。状态反馈优于输出反馈，即一个输出反馈能达到的功能，必可找到相应的状态反馈来获得，反之不真。

(2)由状态反馈和输出反馈的比较可以看出，由于状态可完全地表征系统结构的信息，故状态反馈是一种完全系统信息反馈，输出反馈则是系统结构信息的不完全反馈。由于输出变量可直接测量，因此，输出反馈要比状态反馈更易于实现，而状态反馈需引入观测器来实现。

定理7.1状态反馈的引入不改变系统的能控性，但可能改变系统的能观测性。

证明先证受控系统Σ0为能控状态反馈系统ΣK为能控。

Σ0和ΣK的能控性判别矩阵分别为显然(A-BK)BL=ABL-B(KBL)可表示为[BAB]的列的线性组合；(A-BK)2BL=A2BL-AB(KBL)-B(KAB)+B(KBKBL)的列可表示为[BABA2

B]的列的线性组合，如此等等，所有QCK的列均可表示为QC的列的线性组合，所以。另一方面系统Σ0可看做是系统ΣK的一个状态反馈系统，取v=L－１(Kx+u),代入式(7.3),即得所以rank(Qc)≤rank(QcK)，因而有rank(Qc)=rank(QcK)。再证状态反馈系统不一定能保持能观测性。反例：开环系统Σ0为能观测的，但状态反馈闭环系统不一定能观测。考察如下系统:因为，所以Σ0为能观测的。引入状态反馈K=［0

4］,反馈系统为由于显然Rank(QOK)=1<2,Rank(QOK)=1<2,闭环系统不能观测。但K=[01]时，闭环系统又是能观测的。

定理7.2输出反馈的引入能保持系统的能控性和能观测性，即输出反馈系统ΣF为能控（能观测）是受控系统Σ0为能控（能观测）。

证明由于输出反馈可看做状态反馈的一种，由定理7.1可知,输出反馈不改变系统的能控性。

设Σ0和ΣF分别表示受控系统和输出反馈系统，它们的能观测性判别阵分别记为Qo和QoF，则 7.2极点配置问题

一、问题的提法给定线性定常系统(7.5)再给定n个所期望的闭环系统的极点{λ*1,…,λ*n}。（这组期望的闭环极点是由综合问题的更为直观的性能指标，如时域形式的过渡过程时间、超调量等和频域形式的增益稳定裕度、相位稳定裕度等，通过转换和估计加以确定的。）状态反馈极点配置问题就是对给定的受控系统(7.5)，确定状态反馈控制u=-Kx+v，v为参考输入，即确定一个p×n的状态反馈增益阵K，使所导出的状态反馈闭环系统(7.6)满足(7.7)

即A-BK的特征值为二、极点可配置条件

回忆循环矩阵的定义（见定义2.4），有以下循环矩阵的性质，这些性质在推导极点可任意配置的条件时是必要的。

性质7.1

A为循环矩阵它的Jordan规范型中相应于每个不同的特征值仅有一个Jordan小块。其中Ji为维矩阵，且具有如下形式：这样矩阵A的左矩阵特征向量全体为(7.8)其中，是kij的函数例7.1：设能控对{A,B}为

定理7.3线性定常系统(7.5)可通过线性状态反馈任意地配置其全部极点的充要条件是此系统完全能控。

证明必要性。反设{A,B}不完全能控，则由系统结构分解知，存在非奇异变换矩阵P，使得其中记为闭环特征多项式，其中λ*1,λ*2,…,λ*n为给定的特征值,则有所以

使(A-BK)的特征值为给定的特征值。计算变换阵通过它将A化为能控规范形，求Q=P-1Step4所求增益阵【例7.2】

完全能控的SISO系统为设期望特征值为λ1*=-2,λ2*=-1+j,λ*3=-1-j,求状态反馈增益矩阵K使得闭环系统特征值为给定的期望特征值。解闭环和开环特征多项式分别为由上述算法计算得所以算法2

为叙述上的简便，令n=9,ρ=3。

Step1把能控矩阵对{A,B}化成为Luenberger规范型，如：Step3取由此即可导出Step4由矩阵S计算出变换阵S-1，所求增益阵为例7.3

给定连续时间线性时不变受控系统确定两个不同状态反馈阵K1和K2，使闭环特征值配置为解：给定系统的能控性判别阵为其中*表示的列必和前面各列线性无关而无需计算由能控性秩判据可知系统完全能控，即系统可用状态反馈配置全部闭环特征值。

（i）“等价单输入法”综合状态反馈阵首先，判断矩阵A的循环性并构造等价输入矩阵b

A为约当规范型，对应和各只有一个约当小块，则由矩阵循环性约当型判据知A为循环阵

由此，选取二维向量P并定出等价输入阵b，使（A,b）完全能控取出b中相应和的每个约当小块最后那些行，有所以(A,b)完全能控。进而，对(A,b)配置指定期望闭环特征值的综合状态反馈阵k。

先行导出系统特征多项式α(s)和期望闭环特征多项式α*(s)为并导出化能控规范型的变换阵P及其逆P-1为

基于上述结果，即可定出等价单输入系统(A,b)的增益矩阵k为最后，对原系统确定实现指定闭环特征值配置的状态反馈阵K1为可看出，综合得到的状态反馈矩阵K1是秩1的。

（ii）“龙伯格规范型法”综合状态反馈阵K2。

首先，导出给定系统状态方程的龙伯格规范型，计算出系统的能控性判别阵为按行搜索法找出判别阵中三个线性无关列：b1，b2，Ab1，以*表示列中无需用的，故不必计算。

由此，构成预变换阵P-1，并求出其逆P，有导出变换阵S-1及其逆S，有从而，可以给出定系统的状态方程的龙伯格能控规范形为基于上述结果，即可导出，状态反馈阵K为最后，对原系统确定实现指定闭环特征值地状态反馈阵，有且可看出综合得到的状态反馈阵K2不是秩1的，而且K1的元素值较大，K2的元素值较小。

四、可正定的条件及算法

问题提法：对于线性定常系统x=Ax+Bu,x∈Rn,u∈Rp，若可以找到状态反馈控制律u=-Kx+ν，ν为参考输入,使得通过反馈构成的闭环系统x=(A-BK)x+Bν是渐近稳定的，则称系统实现了状态反馈正定。

可正定条件：若系统(A,B)是能控的，则必存在状态反馈增益阵K，使得闭环系统的全部特征值具有负实部，即实现了正定。其实，对于正定问题，无需系统完全能控，下面定理给出系统可正定的充要条件。

例7.4

判断下列各连续时间线性时不变系统可否用状态镇定。

五、输出反馈极点配置

由于输出反馈较状态反馈包含了较少的系统信息量，因而对于系统的控制作用必然要弱一些。上一小节中已经证明完全能控的线性系统可用状态反馈任意配置其闭环极点，然而，对于输出反馈的情形，即使系统完全能控和完全能观，闭环系统的极点也不可能被任意配置。用下述简单例子说明。

【例7.5】考虑下述既完全能控又完全能观的系统它在输出反馈律u=ky下的闭环系统为其闭环特征多项式为s2-k。从而当的值变换时，闭环系统的极点只能在复平面的实轴和虚轴上变化，不能任意配置。这一例子说明在一般条件下输出反馈不能改变系统的全部极点，那么输出反馈可以任意改变系统的极点数目为多少？这一问题在70年代得到广泛讨论。下面即是有关这一问题的一个重要结果。

定理7.5

设(A,B)能控，(A,C)能观，则系统(7.1)“几乎”总可用输出反馈任意接近地配置个极点。其中n,p,q分别是状态向量、输入向量和输出向量的维数。一、问题的提法

对于多输入多输出线性时不变系统，(7.9)7.3输入输出解耦控制问题闭环系统的结构图见图7.3，其状态空间模型为则闭环传递函数阵为：GKL(s)=C(sI-A+BK)-1BL

(7.10)图7.3系统解耦的结构图

所谓解耦问题就是：对于(7.9)给出的多变量系统，寻找一个输入变换阵和状态反馈矩阵对{L,K}，使(7.10)确定的状态反馈控制系统的传递函数矩阵GKL(s)为非奇异对角线有理分式阵，即：GKL(s)=diag{g11(s),g22(s),…,gpp(s)},gii(s)≠0(i=1~p)二、解耦的条件

定理7.6线性定常系统(7.9)可采用状态反馈和输入变换，即存在矩阵对{L,K}进行解耦的充要条件是如下的p×p常阵为非奇异。闭环系统的传递函数阵为：GKL(s)的第i行向量为(7.12)由性质7.7的证明过程可知：Ci(A-BK)kBL=0,k=0,1,…,di-1(7.13)(7.14b)…(7.14c)将（7.13）和（7.14）代入（7.12）得又由Cayley-Hamilton定理得所以为对角线矩阵且非奇异，即实现了解耦。由定理7.6可知：

·系统能否实现解耦取决于传递函数阵G(s)的两组特征量di和Ei(i=1,…,p)，从表面看与系统能控性或能正定性无关，但是要使解耦后的系统能正常运行并且有良好的动态性能，仍需要受控系统是能控的或至少是能正定的。

·由性质7.5知E可由G(s)来确定，也可由状态空间模型来确定。

·解耦后的每个SISO闭环系统传递函数均具有多重积分器的特性，它是获得满足动态性能的控制的中间步骤。为了获得更好的动态性能，需要对解耦后系统再进行极点配置。由此导出和Step6实现解耦和SISO系统极点配置的{K,L}为：［例7.6］给定双输入双输出的线性定常受控系统将该系统解耦。解：①计算，因为所以（2）判断可解耦性。

可解耦性判断矩阵为非奇异，因此可以进行解耦。(3)导出积分型解耦系统取。则有(4)相对于解耦规范型确定状态反馈增益矩阵K。令~则可得设解耦后SISO系统的期望特征值分别为于是,通过求得所以得到

(5)确定实现解耦控制和极点配置控制的矩阵对{L,K}(6)确定闭环系统的方程和传递函数矩阵。状态空间模型方程为传递函数矩阵为(7.15)具有：

(1)闭环控制系统(7.15)是渐近稳定的。

(2)则称受控系统是静态解耦。若令其中,为非零常数,1(t)为单位阶跃函数.在闭环系统渐近稳定的前提下,可得到系统稳态时的输出为这表明,对于分量为阶跃信号的参考输入,当系统实现静态解耦时,可做到稳态下每个输出都只受同序号的一个输入而完全控制.但在过渡过程中,输出和输入间的交叉耦合关系并不能消除,这正是静态解耦和动态解耦的基本区别.定理7.7

存在{K,L}使受控系统实现静态解耦的充要条件是

(i)受控系统是状态反馈能镇定的。证明：充分性已知系统能用状态反馈镇定，故取K使A-BK的特征值均具有负实部，从而保证(A-BK)为非奇异。又所以rank(C(A-BK)-1B)=p,故C(A-BK)-1B为非奇异。在这样取得的{K,L}下，闭环系统渐近稳定，并且有故受控系统能实现静态解耦。必要性。因为系统可实现静态解耦，所以存在{K,L}使闭环系统渐近稳定，且有为非奇异对角线阵。又因为L为非奇异的,所以C(A-BK)-1B为非奇异的,亦即[例7.7]给定连续时间线性时不变系统（1）判断系统能否由输入变换阵和状态反馈阵实现静态解耦。（2）若能，定出使系统实现静态解耦的一对输入变换阵和状态反馈阵{L,K}。

解

(1）对给定系统就可静态解耦性两个条件进行判断，有表明系统完全能控即满足系统可由状态反馈镇定条件。表明系统完全能控即满足系统可由状态反馈正定条件。由此，可构造变换阵并定出其逆，有即可导出给定系统状态空间描述的龙伯格规范形为据此，先构造出相对于龙伯格规范形的状态反馈阵K为则相对于原系统的状态反馈阵K为进而，确定输入变换阵L。先行计算由此，取闭环系统的期望稳态增益为则可定出输入变换阵L为7.4跟踪问题：无静差性和鲁棒控制

TrackingProblemwithnoStaticErrorandRobustControl一、问题的提法考虑同时有控制和扰动作用的线性定常系统(7.16)图7.4跟踪问题的系统结构图二、参考信号和扰动的模型

参考信号y0(t)可看成是在未知初始状态下由其模型(7.17)所产生的。例如，幅值未知的阶跃信号y0(t)可用如下模型产生：扰动xr(0)可看为是在未知初始状态下由它的模型所产生的。(7.18)(7.19)三、问题的综合与控制

系统(7.16)及信号模型(7.19)的串联系统模型为：(7.20)u取为状态反馈控制律：(7.21)则可得到实现无静态跟踪的闭环控制系统方程为

定理7.8受控系统(7.16)按图7.5所示的控制方式（7.21)实现无静差跟踪的充要条件是：

(i)、dim(u)≥dim(y)

(ii)、对=0的每一个根，成立证明(1)先证条件(i)、(ii)是串联系统(7.20)为能控的充要条件。由PBH秩判据，当且仅当对每个s∈C（C是复平面)有(7.22)图7.5无静差跟踪控制系统结构图因为{A,B}为能控,所以对每一个s∈C,均有对于不是Ac的特征值的所有s,成立rank(V(s))=n+mq

当s为Ac的特征值时当且仅当(ii)式成立时,对的所有根均有λi为Ac的特征值}由Sylvester不等式得:其中,P为l×r,Q为r×k阵。可以得到rank(V(s))=n+mq,s∈C。

(2)串联系统(7.20)为能控等价于存在状态反馈控制律(式(7.21))使图7.5所示反馈系统为渐近稳定，从而当且仅当(i)及(ii)成立时，可找到状态反馈增益阵，使其对任意y0(t)和w(t)有注意上述无静差跟踪控制系统更一般的形式如图7.6所示。一个无静差跟踪控制系统实质上是一个包含补偿器的输出反馈系统，其中伺服补偿器的基本功能是使系统实现渐近跟踪和扰动抑制，其动态方程为而正定补偿器的功能在于使整个反馈实现正定，它是非动态的状态反馈u2=-Kx。图7.6无静差跟踪系统结构的一般形式用内模原理实现无静差跟踪控制的优点是对除了内模以外的受控系统和补偿器的参数的变动不敏感。内模参数的变化即Ac的最小多项式φ(s)的系数的变化是不允许的，因为内模原理的实质是依靠φ(s)的根与y0(t)，w(t)的不稳定振型实现精确的对消而达到渐近跟踪和扰动抑制的。因此，用内模原理实现无静差跟踪控制，对除了内模以外的系统各部分的参数而言是一种鲁棒控制。

【例7.5】给定受控系统为再给定参考信号y0(t)和扰动信号w(t)均为阶跃函数，求综合是系统实现无静差跟踪的控制律u。

解

(1)建立y0(t)和w(t)的不稳定信号模型。由y0(t)和w(t)均为阶跃函数可知，r(s)=s,￠w(s)=s。从而可导出它们的最小公倍式为￠(s)=s,并且，由￠-1(s)=1/s即可导出y0(t)和w(t)的不稳定信号模型为其中，e=y0(t)-y(t)。

(2)判断受控系统是否可实现无静差跟踪。考虑到dim(u)=dim(y)=1,故定理7.8中的条件(i)成立，再因(s)=0只有一个根λ1=0，且容易判断y=cx=[1000]x再给定参考信号y0(t)和扰动信号w(t)均为阶跃函数，求综合是系统实现无静差跟踪的控制律u。(2)判断受控系统是否可实现无静差跟踪。考虑到dim(u)=dim(y)=1,故定理7.8中的条件(i)成立，再因￠

(s)=0只有一个根λ1=0，且容易判断故条件（ii)也成立。这表明受控系统可实现无静差跟踪。（3）综合控制律u。首先，受控系统和信号模型的串联系统状态方程为由受控系统满足定理7.8的条件可知，此系统为完全能控，故可任意配置闭环系统的极点。根据镇定要求，不妨取期望的闭环极点为从而可定出进而取状态反馈控制律为可得增广系统的闭环矩阵为而其特征多项式为于是，由使α*(s)和α(s)的各对应系数相等，可得出从而得到

(4)定出伺服补偿器和正定补偿器。对于给定受控系统，使其实现无静差跟踪的伺服补偿器和正定补偿器分别为和而控制律为

7.5状态重构问题及状态观测器

ReconstructingStateProblemandStateObserver

一、状态重构问题

在系统的极点配置，正定、解耦控制、无静差跟踪等问题中，都需引入适当的状态反馈才得以实现。但是或者由于不易直接测量，或者由于测量设备在经济上和使用性上的限制，使得不可能实际获得系统的全部状态变量，从而使状态反馈的物理实现成为不可能。状态重构问题就是在此背景下提出的。二、全维状态观测器

考虑n维线性定常系统(7.23)设x不能直接测量，输出y和输入u可以利用，所谓全维状态观测器就是以y和u为输入，且其输出的一个n维线性定常系统。

构造方案Ⅰ图7.7所示的是全维状态观测器结构，其动态方程为(7.24)其中，是修正反馈项。图7.7全维状态观测器结构(7.25)构造方案II

给定能控且能观测线性定常系统(7.26)将其全维状态观测器取为(7.27)其中F,G,H,T为适当维数的常阵。所以z(t)是Tx(t)的渐近估计，即x(t)是x(t)的渐近估计。^

定理7.12、设F和A不具有公共的特征值，则方程TA-FT=GC存在一个非奇异解阵T的必要条件是{A,C}为能观测和{F,G}为能控，对单输出(q=1)情形，此条件也是充分条件。

证明：设A的特征多项式为TA=FT+GC,则注意到α(s)的表达式，可得到其中,Λq为nq×nq非奇异矩阵，已知α(A)=0,α(F)为非奇异矩阵，则有

【例7.9】给定连续时间线性时不变系统试用两种方法确定其全维状态观测器，且指定观测器的特征值为λ1=-2和λ2=-4。

解对给定线性时不变系统，系统维数n=2，有由能观性秩判据知，(A,C)完全能观从而，可构造任意配置极点的全维状态观测器。观测器期望特征多项式据此，得到从而，可定出全维状态观测器其中，x为被观测系统状态x的重构状态。^

方法二选择稳定矩阵F，使其特征值为λ1=-2和λ2=-4，设计如下观测器：z=Fz+Gy+Hu。对此，先行确定观测器期望特征多项式.矩阵A的特征多项式为令取即{FG}完全能控。进而，组成矩阵方程TA-FT=GC，有即由此导出可得从而，可定出全维状态观测器则被观测系统状态x的重构状态为三、降维状态观测器

由于系统的输出y中已包含有系统状态的部分信息，在直接利用这部分信息的基础上，可以构造出维数低于被估计系统的状态维数观测器。

考虑系统(7.26)，假设rank(C)=q，可构造出一个n-q维的状态观测器，这样的观测器称为降维的状态观测器。令 ，则有(7.28)证明由PQ=In可得

Step4对系统(7.28)构造全维状态观测器，由于{A22,A12}为能观测，故此(n-q)维状态观测器必存在，且其形式为(7.29)

定理7.13系统(7.29)作为(7.26)的(n-q)维降维观测器的充要条件是存在一个使为非奇异的(n-q)×n满秩阵T，使下列各式成立：

(1)TA-FT=GC;

(2)H=TB;

(3)F的全部特征值均具有负实部。且估计状态为证明类似于定理7.11的证明，读者可自行完成。例7.10

给定连续时间线性时不变系统以及能观性判据知，（A,C）完全能观。从而，可构造任意配置特征值的降维状态观测器。

算法一归结为对降维被观测系统构造配置特征值λ=-3的全维状态观测器。为此，先定出非奇异变换阵变换后系数矩阵为变换后导出的降维被观测系统维数为1，按配置期望特征值λ=-3的要求，确定所以从而，可定出降维状态观测器因此被观测系统状态x的重构状态从而，可确定一维状态观测器被观测系统状态x的重构状态四、函数观测器

为了进一步减少观测器维数，直接对状态函数进行重构，并称此观测器为函数观测器。

定理7.15给定完全能控和完全能观测的线性定常系统(7.23)，以Kx为重构目标的函数观测器可取为(7.30)其中，F为m×m矩阵，G为m×q矩阵，H为m×p矩阵，M为p×m矩阵，N为p×q矩阵,m为观测器维数，使函数观测器(7.30)的输出w(t)渐近趋于Kx(t)，其中K为p