《信号与系统》课件1第7章 2

第7章离散时间信号与系统的z域分析7.1

Z变换7.2双边Z变换的性质7.3Z反变换7.4单边Z变换7.5LTI离散系统的z域分析7.6离散系统的表示和模拟7.7离散系统频率响应和系统函数7.8数字滤波器7.9利用MATLAB实现离散时间信号与系统的z域分析

7.1Z

变换

7.1.1双边Z变换的定义和收敛域

对于离散时间傅里叶变换同样也存在着收敛与不收敛的问题，由

因为|e－jΩn|=1，所以，若使F(ejΩ)收敛必须使

可见，(7-1)式(7-1)是傅里叶变换收敛的充分必要条件。显然，许多序列不满足这个条件，如阶跃序列、线性增长序列等。我们采用与连续时间信号相同的方法，将不满足收敛条件的序列乘以指数衰减序列，使其满足收敛条件，再求其傅里叶变换，即其中e－σn相当于e－σt的采样。如果令eσ+jΩ=z，则(7-2)F(z)称为序列f(n)的双边Z变换，为方便起见，f(n)的Z变换有时就记作Z［f(n)］，而f(n)和其Z变换的关系用下述符号来表示：

f(n)F(z)

F(z)又称为f(n)的象函数，f(n)称为F(z)的原函数。

复变量z所在的平面称为z平面，使式(7-2)收敛的z的取值区域称为F(z)的收敛域。F(z)的极点通常为收敛域的边界。下面举例讨论双边Z变换收敛域的确定和特点。

【例7-1】

已知有限长序列f(n)=［1，2，3，2，1］，求f(n)的双边Z变换及收敛域。↑

n=0

【解】

收敛域为除去z=0和z=∞之外的全部z域，即0<|z|<∞。

【例7-2】

已知序列f(n)=，求f(n)的双边Z变换及收敛域。

【解】

(7-3)因为所以，当|z|>时F(z)收敛，于是得

F(z)的收敛域为复平面上半径为的圆外区域，如图7-1(a)阴影部分所示。

【例7-3】

设有序列f(n)=2nu(－n－1)，求其双边Z变换及收敛域。

【解】

(7-4)可见，当|z|<2时，F(z)收敛，于是得

F(z)的收敛域为复平面上半径为2的圆内区域，如图7-1(b)阴影部分所示。

【例7-4】

设有双边序列f(n)=，求其双边Z变换及收敛域。

【解】(7-5)对于式(7-5)中的第一项，当|z|<2时收敛；对于式(7-5)中的第二项，当|z|>1/2时收敛；取它们的公共部分，1/2<|z|<2即为F(z)的收敛域。则F(z)的收敛域为复平面上的环形区域，如图7-1(c)阴影部分所示。图7-1Z变换的收敛域由以上讨论可知，双边Z变换的收敛域有以下特点：

(1)有限长双边序列的双边Z变换的收敛域一般为0<|z|<∞；有限长因果序列双边Z变换的收敛域为|z|>0；有限长反因果序列双边Z变换的收敛域为|z|<∞；单位脉冲序列δ(n)的双边Z变换的收敛域为全z平面。

(2)无限长因果序列双边Z变换的收敛域为|z|>R_，R_可为复数、虚数或实数，即收敛域为半径为R_的圆外区域。

(3)无限长反因果序列双边Z变换的收敛域为|z|<R+，即收敛域为以R+为半径的圆内区域。

(4)无限长双边序列的双边Z变换的收敛域为R_<|z|<R+，即收敛域位于以R_为半径和以R+为半径的两个圆之间的环形区域。

另外，不同序列的双边Z变换可能相同，即序列与其双边Z变换不是一一对应的。序列的双边Z变换连同收敛域一起与序列才是一一对应的。7.1.2常用序列的双边Z变换

1.单位脉冲序列

δ(n)1

(7-6)

证明Z[δ(n)]=，收敛域为整个z平面。

推论：

δ(n+1)z

|z|<∞

δ(n－1)z－1|z|>0

2.单位阶跃序列

，|z|>1

(7-7)

证明Z[u(n)]=3.单边指数序列(7-8)证明Z[anu(n)]=

4.左单边指数序列(7-9)证明Z[－anu(－n－1)]7.1.3Z变换与傅里叶变换的关系

由于z是一个复变量，我们可将其表示成极坐标形式，即

z=r·ejΩ

其中r表示z的模，则(7-10)若r=1，或者说|z|=1，Z变换就简化为离散时间傅里叶变换，即离散时间信号的Z变换与傅里叶变换之间的关系和对连续时间信号的讨论也有一些重要的区别。在连续时间情况下，s=a+jω，当其实部a为零时，其拉氏变换就是傅里叶变换。也就是在虚轴上，即s=jω的拉氏变换就是傅里叶变换。而在离散时间情况下，当z的模为1时，即z=ejΩ，Z变换就是傅里叶变换，于是Z变换就成为在z平面中，半径为1的圆上的傅里叶变换。在z平面上这个圆称为单位圆。这个单位圆在Z变换讨论中所起的作用类似于s平面上的虚轴在拉氏变换中所起的作用。由于Z变换和傅里叶变换的这一关系，为了方便，在表示离散时间傅里叶变换的符号时，用ejΩ来作为变换中的独立变量，而不用Ω，以强调傅里叶变换就等于z=ejΩ时的Z变换，即7.1.4Z变换与拉普拉斯变换的关系

Z变换也可以由采样信号的拉氏变换引出。

设想用一个由相隔T秒的冲激信号δ(t)组成的序列δT(t)对连续时间信号f(t)进行采样，采样后得到的信号为fs(t)，则对上式两端取拉氏变换，有若令z=esT，s=

lnz，则略去f(nT)括号内的T，而且由于表达式中不再出现s，故可用F(z)代替Fs(s)，有可见拉氏变换Fs(s)与Z变换F(z)的相互转换关系是

7.2双边Z变换的性质

1.线性

若

f1(n)F1(z)，α1<|z|<β1

f2(n)F2(z)，α2<|z|<β2

则

a1f1(n)+a2f2(n)a1F1(z)+a2F2(z)，max[α1，α2]<|z|<min[β1，β2]

(7-11)

【例7-5】

已知f(n)=u(n)－2nu(－n－1)，求f(n)的双边Z变换F(z)。

【解】由线性性质得

2.时移若f(n)F(z)，α<|z|<β，则

f(n－m)z－mF(z)α<|z|<β

(7-12)证明Z[f(n－m)]=

f(n－m)z－n，令n－m=k，则Z[f(n－m)]=

f(k)z－kz－m=z－mF(z)

【例7-6】

已知f(n)=2n[u(n+1)－u(n－2)]，求f(n)的双边Z变换。

【解】

f(n)可以表示为

f(n)=2－12n+1u(n+1)－222n－2u(n－2)

由于根据移位性质，得根据线性性质，得

3.序列乘an(z域尺度变换)若f(n)F(z)，α<|z|<β，则(7-13)式中，a为常数(实数、虚数、复数)，a≠0。证明根据双边Z变换的定义，则有因为F(z)的收敛域为α<|z|<β，所以，F的收敛域为a<

<β，即|a|α<|z|<|a|β。

若a=－1，则有(－1)nf(n)F(－z)，α<|z|<β

(7-14)

【例7-7】

已知f(n)=

3n+1u(n+1)，求f(n)的双边Z变换。

【解】

令f1(n)=3n+1u(n+1)，则有由于F1(z)=Z

[f1(n)]=

，3<|z|<∞根据时域乘an性质，得F(z)=Z[f(n)]=Z

=F1(2z)

4.序列乘n(z域微分)

若

f(n)F(z)，α<|z|<β

则(7-15)这个性质只要将Z变换表达式两边对z进行微分就可直接得出。说明如果有一序列f(n)其Z变换为F(z)，则将其Z变换求一阶导数并乘以(－z)以后，所对应的新序列为nf(n)，收敛域不变。如果将序列nf(n)再乘以n，利用上述性质可得Z[n2f(n)]=Z[n·nf(n)]=－z

Z[n·f(n)]即Z[n2f(n)]Z[nmf(n)]用同样的方法可以得到(7-16)式中符号,

共求导m次。

5.初值定理

若f(n)为因果序列，则(7-17)f(n)的Z变换可写为当z→∞时，上式中的级数除了第一项f(0)外，其他各项都趋近于零，所以有由初值定理可以看出，对于一个因果序列来说，如果f(0)是有限值的话，那么F(z)就是有限值。如果将F(z)表示成z的两个多项式之比的话，分子多项式的阶次一定小于分母多项式的阶次，或者说，零点的个数不能多于极点的个数。

6.终值定理

若f(n)是因果序列，且其Z变换F(z)除在z=1处可以有一阶极点外，其他全部极点都在单位圆|z|=1内，则(7-18)证明：(z－1)F(z)=zF(z)－F(z)=Z

[f(n+1)－f(n)]考虑到f(n)是因果序列，上式可改写为由于F(z)在单位圆上只有z=1处可能有一阶极点，现在函数

(z－1)F(z)将抵消掉这个z=1处的可能极点，因此(z－1)F(z)的收敛域将包括单位圆，即在|z|≥1上，上式成立，这样就允许对等式两端取极限z→1。显然，只有极点在单位圆内，当n→∞时，f(n)才收敛，才可应用终值定理。

7.时域卷积

若

f1(n)F1(z)，α1<|z|<β1

f2(n)F2(z)，α2<|z|<β2

则

f1(n)*f2(n)F1(z)·F2(z)

(7-19)

式中，F1(z)·F2(z)的收敛域一般为F1(z)和F2(z)收敛域的公共部分。若F1(z)和F2(z)相乘中有零、极点相消，则F1(z)·F2(z)的收敛域可能扩大。

证明根据双边Z变换的定义，则有Z[f1(n)*f2(n)]=交换上式的求和次序，得Z[f1(n)*f2(n)]=令n－m=k，则有Z[f1(n)*f2(n)]=

【例7-8】

已知序列f1(n)=u(n)，f2(n)=anu(n)－an－1u(n－1)，求f1(n)*f2(n)。

【解】

已知F1(z)=，|z|>1。由时移性质，得则其逆变换

f1(n)*f2(n)=IZT［F1(z)·F2(z)］=anu(n)

8.z域卷积

若两序列f1(n)、f2(n)的Z变换为

Z[f1(n)]=F1(z)，α1<|z|<β1

Z[f2(n)]=F2(z)，α2<|z|<β2

则(7-20)Z[f1(n)·f2(n)]或(7-21)Z[f1(n)·f2(n)]式中，C1、C2分别为F1与F2(υ)或F1(υ)与F2

收敛域重叠部分内逆时针旋转的围线。而Z[f1(n)·f2(n)]的收敛域一般为F1(υ)与F2或F1与F2(υ)的重叠部分，即

α1α2<|z|<β1β2

证明：Z[f1(n)·f2(n)]从上面的证明过程可以看出，F1(υ)的收敛域与F1(z)相同，F2的收敛域与F2(z)相同，即合并以上两式，得Z[f1(n)f2(n)]的收敛域至少为

α1α2<|z|<β1β2

在应用上述z域卷积性质时，通常可以利用留数定理，这时应当注意围线C在收敛域内的正确选择。

9.帕斯瓦尔定理

利用z域卷积定理很容易把频域的帕斯瓦尔关系推广至z域中。由式(7-20)可知

Z[f1(n)·f2(n)](7-22)由Z变换的定义不难得到复共轭序列的Z变换式为

Z[f*(n)]=F*(z*)这样，式(7-22)可以写成令z=1，上式变成式中围线C选在F1(υ)和F2的公共收敛域内。若上式中的复变量υ改为z，则(7-23)式(7-23)就是z域的帕斯瓦尔定理。如果f2(n)为实序列，上式去掉共轭号，有根据Z变换的定义和Z变换的性质，可以得到一些常用的Z变换对，如表7-1所示。

7.3Z

反变换

由双边Z变换F(z)及其收敛域求原函数或逆变换f(n)，是离散信号与系统z域分析的重要问题。本节讨论双边Z反变换的定义和计算方法。

7.3.1双边Z反变换的定义

我们知道复变函数理论中的柯西公式为(7-24)式(7-24)中，积分路径C是复平面上环绕坐标原点逆时针方向的围线。序列f(n)的双边Z变换的定义为

(7-25)式(7-25)两端乘以zn－1，n为任意整数，然后两端在收敛域中进行围线积分，得(7-26)据柯西公式，当－k+n－1=－1，即k=n时，式(7-26)中的积分等于2πj，否则积分等于0。因为n为某一整数，所以式(7-26)右端的和式中只有k=n这一项不为0，其余各项均为0，于是得所以(7-27)该式称为F(z)的双边Z反变换，记为f(n)=Z

－1[F(z)]。f(n)又称为F(z)的原函数。7.3.2双边Z反变换的计算

双边Z反变换可以根据式(7-27)计算，但该式的积分是复变函数的积分，计算比较复杂。根据Z变换的定义，F(z)为幂级数，f(n)的值是幂级数的系数，因此可以把F(z)展开为幂级数，然后根据幂级数各项的系数求反变换f(n)。若F(z)为有理分式可以把F(z)展开为部分分式，然后结合常用Z变换对求反变换。此外，还可以利用常用Z变换表，用查表法求Z反变换。

需要特别指出的是，因为双边Z变换F(z)连同收敛域一起与原函数一一对应，所以求双边Z反变换要特别注意收敛域问题。

1.幂级数展开法

根据双边Z变换的定义，若f(n)为双边序列，则F(z)为z和z－1的幂级数，收敛域为α<|z|<β，即=F1(z)+F2(z)，α<|z|<β

(7-28)式中，若f(n)为因果序列，则F(z)为z－1的幂级数，收敛域为|z|>α，即(7-29)若f(n)为反因果序列，则F(z)为z的幂级数，收敛域为|z|<β，即(7-30)因此，若F(z)的收敛域为|z|>α，则F(z)按式(7-29)展开为z－1的幂级数，则幂级数各项的系数为因果序列f(n)的值；若F(z)的收敛域为α<|z|<β，则F(z)按式(7-30)展开为z的幂级数，幂级数各项的系数为反因果序列f(n)的值；若F(z)的收敛域为α<|z|<β，f(n)为双边序列，则F(z)按式(7-28)展开。首先把F(z)表示为

F(z)=F1(z)+F2(z)

式中，F1(z)的收敛域为|z|<β，F1(z)按式(7-30)展开为z的幂级数，其反变换为F(z)的反变换f(n)的反因果部分。F2(z)的收敛域为|z|>α,F2(z)按式(7-29)展开为z－1的幂级数，其反变换为f(n)的因果部分。f(n)等于其因果部分与反因果部分之和。

【例7-9】

某序列Z变换F(z)=，|z|>a，求其反变换f(n)。

【解】

根据收敛域可知，对应的序列一定为右边序列，即对于本例，当z→∞时F(z)收敛，所以是因果序列，即

F(z)=f(0)+f(1)z－1+f(2)z－2+…

显然，F(z)展开成z的降幂级数(即z－1级数)，因此要用降幂长除，即所以有

f(n)=anu(n)

【例7-10】

上例中收敛域变为|z|<a，求其反变换f(n)。

【解】

由收敛域可知，对应的序列一定为左边序列，又因为F(z)在z=0处收敛，所以有

F(z)=f(－1)z+f(－2)z2+f(－3)z3+…

则F(z)应展开成z的升幂级数(即z的级数)，所以有

f(n)=－anu(－n－1)

【例7-11】

某序列f(n)的Z变换F(z)=，<|z|<，求其反变换f(n)。

【解】

由收敛域知f(n)为双边序列，这就意味着F(z)的级数展开式中既包含z的级数也包含z－1的级数。

为了得到正确的展开式，我们把F(z)写成两部分的和，即

F(z)=F1(z)+F2(z)

其中F1(z)在|z|>时收敛，F2(z)在|z|<时收敛。把F1(z)展开成z－1的级数：把F2(z)展开成z的级数：

F2(z)=－1－2z－4z2－…－(2z)n－…，|z|<于是和式F1(z)+F2(z)=F(z)对于<|z|<收敛，相应的序列为

【例7-12】

有一Z变换F(z)=lg(1+az－1)，|z|>|a|，求其反变换f(n)。

【解】

由于|az－1|<1，可以利用lg(1+ω)，|ω|<1的泰勒级数展开式，即则根据上式，可以将f(n)求出为或者写成

2.部分分式展开法

若F(z)为有理分式，则F(z)可表示为(7-31)式中，ai(i=0，1，2，…，n)、bj(j=0，1，2，…，m)为实数，取an=1。若m≥n，F(z)为假分式，可用多项式除法将F(z)表示为(7-32)式中，ci(i=0，1，2，…，m－n)为实数，N(z)的Z反变换为ciδ(n+i)之和。为真分式，可展开为部分分式求Z反变换。用部分分式展开法求Z反变换与部分分式展开法求拉普拉斯反变换类似。但由于常用指数函数Z变换的形式为

，因此，一般先把展开为部分分式，然后再乘以z，得到用基本形式表示的F(z)，再根据常用Z变换对求Z反变换。

设为有理真分式，可表示为式中，zi(i=1，2，…，m)为的极点，可能为一阶极点，也可能为重极点；可能为实极点，也可能为虚极点或复极点。zi为复极点(虚极点)时，必共轭成对出现。

1)的极点为一阶极点

的部分分式展开式为(7-33)式中系数ki的计算方法为(7-34)式(7-33)两端乘以z，得(7-35)根据F(z)的收敛域和以下变换对(7-36)(7-37)对式(7-35)求解Z反变换f(n)。

【例7-13】

已知F(z)=，|z|>2，求F(z)的原函数f(n)。

【解】

因为F(z)的收敛域为|z|>2，所以f(n)为因果序列。

的极点全为一阶极点，可展开为由式(7-34)求k1、k2、k3，得于是得所以f(n)=δ(n)－3u(n)+3(2)nu(n)

【例7-14】

已知F(z)=，2<|z|<3，求F(z)的原函数f(n)。

【解】

由于F(z)的收敛域为2<|z|<3，所以f(n)为双边序列。展开为

故由于所以上面两个Z变换的收敛域的公共部分为2<|z|<3，于是得f(n)=2u(n)－5·2nu(n)－3·3nu(－n－1)

2)有重极点

设在z=z0有m阶重极点，另有n个一阶极点zi(i=1，2，…，n)，则可表示为系数k1i(i=1，2，…，m)、ki(i=1，2，…，n)的计算方法为(7-38)(7-39)

F(z)的部分分式展开式为(7-40)根据F(z)的收敛域和各分式的Z反变换求F(z)的Z反变换。

【例7-15】

已知F(z)=，1<|z|<2，求F(z)的原函数f(n)。

【解】

f(n)为双边序列。的部分分式展开式为所以

3)有共轭复极点

若有共轭复极点，展开为部分分式的形式和系数的计算方法与实极点情况相同，但计算比较复杂。下面举例说明。

【例7-16】

已知F(z)=，|z|>2，求原函数f(n)。

【解】

由收敛域知f(n)为因果序列。F(z)的极点为z1,2=2±j2，可展开为于是得所以另外，双边Z反变换也可以根据其定义计算，这种方法称为反演积分法，也叫留数法，读者可自行查阅相关参考书。

7.4单边Z变换

实际中的离散信号f(n)都是有起始时刻的。若令起始时刻n0=0，如果n<0时f(n)的值为0，则称f(n)为因果信号。因果信号的双边Z变换称为单边Z变换。下面讨论单边Z变换及其性质。

7.4.1单边Z变换的定义

对于离散信号f(n)，幂级数(7-41)称为f(n)的单边Z变换，记为F(z)=Z[f(n)]。积分(7-42)称为F(z)的单边Z反变换，记为f(n)=Z

－1[F(z)]。F(z)又称为f(n)的象函数，f(n)又称为F(z)的原函数。因为单边Z变换的求和下限为n=0，所以，任一信号f(n)的单边Z变换等于信号f(n)u(n)的双边变换。单边Z变换与因果信号的双边Z变换相同。因此，单边Z变换的收敛域与因果信号的双边Z变换相同。因此，单边Z变换的收敛域与因果信号双边Z变换的收敛域相同，即

(1)单边Z变换的收敛域一般为|z|>a，收敛域为以|z|=a为半径的圆外区域。有限长因果序列单边Z变换的收敛域为|z|>0。δ(n)的单边Z变换的收敛域为全z平面。

(2)对于不同的离散信号，其单边Z变换的收敛域必有公共部分。因果信号f(n)与其单边Z变换F(z)一一对应。因为这一特点，不再强调单边Z变换的收敛域。7.4.2常用序列的单边Z变换

(1)f(n)=δ(n)。

F(z)=1

(7-43)

(2)f(n)=u(n)。(7-44)(3)f(n)=anu(n)。(7-45)(4)f(n)=e±jβnu(n)。(7-46)

(5)f(n)=

n(n－1)(n－2)…(n－m+1)an－mu(n)。(7-47)7.4.3单边Z变换的性质

双边Z变换的许多性质同样适用于单边Z变换。除收敛域一般不同外，双边Z变换的这些性质的表述形式与单边Z变换对应性质的表述形式相同。这些性质有：线性性质、序列乘an性质、序列乘n性质、初值定理和终值定理等。

单边Z变换毕竟有自己的特殊性，它的另外一些性质与双边Z变换的性质不完全相同，以下主要讨论单边Z变换的特殊性质。

1.位移(时移)性质

若f(n)F(z)，|z|>|a|，则(7-48)(7-49)(7-50)式中，m为整数，m>0。下面证明式(7-48)。根据单边Z变换的定义，则Z[f(n+m)]=

f(n+m)z－n令n+m=i，则Z[f(n+m)]=用n代替i，得Z[f(n+m)]=同理可证式(7-49)。下面证明式(7-50)。根据单边Z变换的定义，则Z[f(n－m)u(n－m)]=令n－m=i，得Z[f(n－m)u(n－m)]=需要强调的是，f(n+m)和f(n－m)的单边Z变换分别等于f(n+m)u(n)和f(n－m)u(n)的单边Z变换，因此，单边Z变换的位移性质与双边Z变换的位移性质不同。此外，一般情况下，f(n－m)不等于f(n－m)u(n－m)，所以两者的单边Z变换也不相等。若f(n)是因果信号，则f(n－m)和f(n－m)u(n－m)相等，因此两者的单边Z变换也相等。

【例7-17】

已知f(n)=an－2，求f(n)的单边Z变换F(z)。

【解】

f(n)为非因果信号。令f1(n)=an，则f1(n)的单边Z变换为F1(z)=Z

[an]=Z

[anu(n)]=

，|z|>|a|根据式(7-49)，则F(z)=Z

[an－2]=Z

[f1(n－2)]=z－2F1(z)+

f1(n－2)z－n或者F(z)=Z

[an－2]=Z

[an－2u(n)]=Z[a－2anu(n)]=

，|z|>|a|

2.卷积性质

若f1(n)、f2(n)为因果序列，且

f1(n)F1(z)，|z|>a1

f2(n)F2(z)，|z|>a2

则

f1(n)*f2(n)F1(z)F2(z)，|z|>max[a1，a2]

(7-51)

单边Z变换的卷积性质要求f1(n)、f2(n)为因果序列，而双边Z变换的卷积性质则无此限制。

【例7-18】

已知f1(n)和f2(n)均为因果序列，f2(n)=

δ(n－mN)，N为正整数，f(n)=f1(n)*f2(n)，求f(n)的单边Z变换F(z)。

【解】

根据位移性质，则

δ(n－mN)z－mN|z|>0

根据线性性质，则F2(z)=Z[f2(n)]=Z(7-52)式(7-52)的幂级数在|z|>1时收敛，于是得(7-53)设f1(n)的单边Z变换为F1(z)，收敛域为|z|>a。根据卷积性质，得F(z)=Z

[f1(n)*f2(n)]=F1(z)·F2(z)(7-54)若f1(n)为有限长因果序列，序列长度小于N，则f(n)=f1(n)*f2(n)=f1(n)*即f(n)为从n=0起始的周期性因果序列，周期为N，第一周期内的序列为f1(n)，以后各周期为f1(n)每隔N的延时。因此，式(7-54)也表示式(7-55)所示周期性因果序列的单边Z变换。7.4.4单边Z反变换的计算

与双边Z反变换的计算方法类似，单边Z反变换的计算方法有幂级数展开法、部分分式展开法、留数法、查表法等。单边Z变换的收敛域为|z|>a，其Z反变换为因果序列。因此，单边Z反变换的上述计算方法与收敛域为|z|>a时的双边Z反变换的计算方法相同。下面仅以一例说明。

【例7-19】

已知F(z)=，|z|>3，求F(z)的单边Z反变换f(n)。

【解】

首先对进行部分分式展开。有一阶极点z=2，有三重极点z=3。各系数分别为于是得所以为了便于查阅和应用，最后将Z变换的性质列于表7-2中。

7.5LTI离散系统的z域分析

LTI离散系统z域分析的基本思路与连续系统s域分析相似，即系统的输入f(n)分解为基本信号zn之和，系统对f(n)的零状态响应等于基本信号的加权响应之和。本章讨论的系统，其输入为因果信号，因此，系统分析用单边Z变换和Z反变换。在后面的讨论中，若不特别说明，离散系统均指LTI因果离散系统。7.5.1基本信号zn激励下的零状态响应

若LTI离散系统的输入为f(n)=zn，零状态响应为yf(n)，单位脉冲响应为h(n)，由时域分析可知如果系统是因果的，则h(n)为因果序列，有(7-56)式中，H(z)称为LTI因果离散系统的z域系统函数，zn称为系统的特征函数。式(7-56)表明，离散系统对基本信号zn的零状态响应等于zn与系统函数H(z)的乘积，即f(n)=zn→yf(n)=znH(z)7.5.2一般因果序列f(n)激励下的零状态响应

若LTI离散系统的输入为因果序列f(n)，且其单边Z变换为F(z)，则f(n)可以分解为基本信号zn之和：如果对于z平面收敛域内的围线C上选任一z，信号zn产生的零状态响应为H(z)zn，根据线性系统的齐次性和叠加性，便有即(7-57)于是(7-58)定义(7-59)为离散系统函数，它是系统零状态响应的Z变换Yf(z)与激励的Z变换F(z)之比，可通过差分方程在零状态下取Z变换求得。这样，可归纳出应用z域分析法求解零状态响应的四个步骤：

(1)求激励f(n)的Z变换F(z)，有f(n)F(z)。

(2)求离散系统函数H(z)，常用方法有三种：

a.若给定差分方程，则在零状态下取Z变换，并按式(7-59)计算可得；

b.若给定h(n)，则H(z)=Z[h(n)];

c.若给定系统框图或信号流图，由梅森公式计算可得。

(3)求零状态响应的Z变换。

Yf(z)=F(z)H(z)

(4)求Yf(z)的Z反变换。

yf(n)=Z

－1［Yf(z)］

【例7-20】

已知离散系统输入为f1(n)=u(n)时，零状态响应(n)=3nu(n)。求输入为f2(n)=(n+1)u(n)时系统的零状态响应

(n)。

【解】

求F1(z)、F2(z)和(z)，有系统函数为所以求其Z反变换为7.5.3差分方程的z域求解

以二阶离散系统为例，设二阶离散系统的差分方程为

y(n)+a1y(n－1)+a0y(n－2)=b2f(n)+b1f(n－1)+b0f(n－2)

(7-60)

式(7-60)中，a0、a1和b0、b1、b2为实常数，f(n)为因果信号，f(－1)、f(－2)均等于0。设y(n)的单边Z变换为Y(z)，根据单边Z变换的位移性质，对式(7-60)两端取单边Z变换，得(7-61)由式(7-61)得

(1+a1z－1+a0z－2)Y(z)=－[(a1+a0z－1)y(－1)+a0y(－2)]

+(b2+b1z－1+b0z－2)F(z)

(7-62)

分别令

A(z)=1+a1z－1+a0z－2

B(z)=b2+b1z－1+b0z－2

M(z)=－[(a1+a0z－1)y(－1)+a0y(－2)]

则由式(7-62)得到(7-63)式(7-63)中，只与y(n)的初始值y(－1)、y(－2)有关，而与F(z)无关，y(－1)、y(－2)为系统的初始状态，所以是系统零输入响应yx(n)的单边Z变换Yx(z)；F(z)只与F(z)有关，而与初始状态无关，因此，它是系统零状态响应yf(n)的单边Z变换Yf(z)；A(z)称为系统的特征多项式，A(z)=0称为系统的特征方程，其根称为特征根。分别求Y(z)、Yx(z)、Yf(z)的单边Z反变换，就得到完全响应y(n)、零输入响应yx(n)和零状态响应yf(n)，即(7-64)(7-65)(7-66)由于Yf(z)=H(z)F(z)，因此，由式(7-66)得到系统函数为(7-67)设N阶离散系统的差分方程为(7-68)式中，M≤N，a0=1，ai(i=1，2，…，N－1)、bj(j=0，1，…，M)为实常数，则系统函数为(7-69)式(7-69)表示了系统函数H(z)与系统差分方程之间的对应关系。根据这种关系，可由系统差分方程得到H(z)，也可由H(z)得到系统的差分方程。由前述已知，求解差分方程需要知道响应的初始值。关于响应的初始值，需要注意以下问题。对于N阶线性时不变离散系统，若输入f(n)为因果信号，则yf(－i)(i=1，2，…，N)等于0，但yf(i)一般不等于0。由于

y(n)=yx(n)+yf(n)

因此y(n)、yf(n)、yx(n)的初始值有以下关系：

y(－i)=yx(－i)+yf(－i)=yx(－i)，i=1，2，…，N

(7-70)

y(i)=yx(i)+yf(i)，i=0，1，2，…，N

(7-71)

初始值y(i)和y(－i)可根据系统差分方程应用递推法相互转换。例如，设二阶离散系统的差分方程为

y(n)－3y(n－1)+2y(n－2)=f(n)

(7-72)

其中，f(n)=u(n)，y(0)=1，y(1)=2。对式(7-72)，令n=1，得令n=0，得对于式(7-72)，若首先令n=0，然后令n=1，就可由y(－1)、y(－2)、f(0)、f(1)分别求出y(0)和y(1)。yx(i)和yx(－i)也可用递推法根据yx(n)满足的差分方程相互转换，具体方法与上述y(i)与y(－i)的转换方法类似。

【例7-21】

已知二阶离散系统的差分方程为

y(n)－5y(n－1)+6y(n－2)=f(n－1)f(n)=2nu(n)，y(－1)=1，y(－2)=1。求系统的完全响应y(n)、零输入响应yx(n)、零状态响应yf(n)。

【解】

方法一输入f(n)的单边Z变换为对系统差分方程两端取单边Z变换，得Y(z)－5[z－1Y(z)+y(－1)]+6[z－2Y(z)+y(－2)+y(－1)z－1]=z－1F(z)(7-73)把F(z)和初始条件y(－1)、y(－2)代入式(7-73)，得分别求Y(z)、Yx(z)、Yf(z)的Z反变换，得y(n)=Z－1[Y(z)]=5·2n－2·3n+1－n·2n，n≥0yx(n)=Z－1[Yx(z)]=2n+3－3n+2，n≥0yf(n)=Z－1[Yf(z)]=[3n+1－(3+n)2n]u(n)方法二分别根据yx(n)满足的方程和yf(n)满足的方程求yx(n)、yf(n)。yx(n)满足的方程为

yx(n)－5yx(n－1)+6yx(n－2)=0

(7-74)

yx(n)的初始条件为yx(－1)=y(－1)，yx(－2)=y(－2)。

yf(n)满足的差分方程为

yf(n)－5yf(n－1)+6yf(n－2)=f(n－1)

(7-75)

yf(n)的初始条件为yf(－1)=yf(－2)=0。

分别对式(7-74)、(7-75)两边取单边Z变换，求得Yx(z)、Yf(z)，然后求Z反变换，得到yx(n)、yf(n)和y(n)。

7.6离散系统的表示和模拟

线性时不变离散系统通常是用线性常系数差分方程描述的。此外，与连续系统类似，离散系统也可以用方框图、信号流图来表示。若已知离散系统的差分方程或系统函数，用一些基本单元构成该系统，称为离散系统的模拟。离散系统的表示和模拟是离散系统分析和设计的基础。7.6.1离散系统的方框图表示

图7-2所示的方框图表示一个离散系统。图中，f(n)和y(n)分别为系统的输入和输出。与连续系统的方框图表示类似，几个离散系统的串联、并联或串并混合连接组成的复合系统，可以表示一个复杂的离散系统。此外，一个离散系统也可以由基本单元加法器、数乘器、单位延迟器的连接表示。图7-2离散系统的方框图表示

1.离散系统的串、并联

图7-3表示由N个离散系统的串联(级联)组成的复合系统，图中(a)为时域形式，(b)为复频域形式，hi(n)(i=1，2，…，N)为第i个子系统的单位脉冲响应，Hi(z)(i=1，2，…，N)为hi(n)的单边Z变换，即为第i个子系统的系统函数。若复合系统为因果系统，则系统的单位脉冲响应h(n)与各子系统的单位脉冲响应hi(n)均为因果信号。根据离散系统时域分析的结论，h(n)与hi(n)之间的关系为

h(n)=h1(n)*h2(n)*…*hN(n)

(7-76)图7-3离散系统的串联根据单边Z变换的时域卷积性质，复合系统的系统函数H(z)与各子系统的系统函数Hi(z)之间的关系为

H(z)=H1(z)·H2(z)…HN(z)

(7-77)

图7-4表示N个离散系统的并联组成的复合系统。图(a)为时域形式，图(b)为z域形式。设复合系统为因果系统，h(n)为复合系统的单位脉冲响应，H(z)为系统函数，则h(n)与子系统单位脉冲响应hi(n)以及H(z)与子系统的Hi(z)之间的关系为(7-78)(7-79)图7-4离散系统的并联

【例7-22】

已知离散系统的方框图表示如图7-5所示。图中，h1(n)=δ(n－2)，h2(n)=δ(n)，h3(n)=δ(n－1)。

(1)求系统的单位脉冲响应h(n)；

(2)若系统输入f(n)=anu(n)，求系统的零状态响应yf(n)。

【解】(1)求h(n)：设由子系统h2(n)和h3(n)串联组成的子系统的单位脉冲响应为h4(n)，该子系统的系统函数为H4(z)，则

h4(n)=h2(n)*h3(n)=δ(n)*δ(n－1)=δ(n－1)

H4(z)=Z[h4(n)]=z－1图7-5例7-22图因此，系统的单位脉冲响应h(n)为

h(n)=h1(n)+h4(n)+δ(n)=δ(n)+δ(n－1)－δ(n－2)

H(z)=Z[h(n)]=1+z－1－z－2，|z|>0

(2)求系统的零状态响应yf(n):

yf(n)=f(n)*h(n)=anu(n)*[δ(n)+δ(n－1)－δ(n－2)]

=anu(n)+an－1u(n－1)－an－2u(n－2)

或

求Yf(z)的单边Z反变换：根据线性性质和移位性质，得

yf(n)=anu(n)+an－1u(n－1)－an－2u(n－2)

2.用基本单元表示离散系统

表示离散系统的基本单元有数乘器、加法器和单位延迟器，如图7-6所示。图(a)表示数乘器的时域和z域形式，图(b)表示加法器的时域和z域形式，图(c)表示单位延迟器的时域和z域形式，并且假定单位延迟器的初始状态y(－1)=0。

【例7-23】

已知离散系统的框图如图7-7所示，写出描述系统输入、输出关系的差分方程。图7-6离散系统的基本单元图7-7例7-23图

【解】

图示为离散系统的z域框图表示。根据基本单元的z域输入、输出关系，设左边加法器的输出为X(z)，则左边第一个延迟器的输入为X(z)，输出为z－1X(z)；第二个延迟器的输入为z－1X(z)，输出为z－2X(z)，于是有

X(z)=－a1z－1X(z)－a0z－2X(z)+F(z)

(7-80)

Y(z)=b2X(z)+b1z－1X(z)+b0z－2X(z)

(7-81)

由式(7-80)和式(7-81)得(7-82)Y(z)=(b2+b1z－1+b0z－2)X(z)

(7-83)将式(7-82)代入式(7-83)得即

(1+a1z－1+a0z－2)Y(z)=(b2+b1z－1+b0z－2)F(z)

(7-84)由于框图是系统在零状态情况下的表示，所以根据单边Z变换的移位性质，对式(7-84)两端取Z反变换，得到系统的差分方程为

y(n)+a1y(n－1)+a0y(n－2)=b2f(n)+b1f(n－1)+b0f(n－2)7.6.2离散系统的信号流图表示

离散系统信号流图表示的规则与连续系统信号流图表示的规则相同，应用梅森公式求离散系统函数H(z)的方法与求连续系统的系统函数H(s)的方法相同。离散系统的信号流图可由方框图得到。框图与信号流图的对应关系如图7-8所示。

【例7-24】

已知离散系统的方框图表示如图7-9(a)所示，画出系统的信号流图。

【解】

设图7-9(a)所示方框图左边加法器的输出为X1(z)，上边第一个延迟器的输出为X2(z)，第二个延迟器的输出为X3(z)。根据基本单元的输入、输出关系，有图7-8离散系统框图与信号流图的对应关系

X1(z)=－a1X2(z)－a0X3(z)+F(z)

(7-85)

X2(z)=z－1X1(z)

(7-86)

X3(z)=z－1X2(z)

(7-87)

Y(z)=b2X1(z)+b0X3(z)

(7-88)

在信号流图中用节点分别表示F(z)、X1(z)、X2(z)、X3(z)和Y(z)，然后根据上述信号之间的传输关系，信号流图的规则以及框图与信号流图的对应关系，得到系统的信号流图表示如图7-9(b)所示。图7-9例7-24图

【例7-25】

已知离散系统的信号流图如图7-10所示，求系统函数H(z)。

【解】

系统信号流图中共有两个环，其中，环1的传输函数L1=H1(z)G1(z)，环2的传输函数L2=H2(z)G3(z)，并且环1和环2不接触。因此，根据梅森公式，信号流图特征行列式为

Δ=1－(L1+L2)+(L1L2)

=1－[H1(z)G(z)+H2(z)G3(z)]+[H1(z)G1(z)H2(z)G3(z)]

信号流图中从F(z)到Y(z)共有两条开路。开路1的传输函数P1及对应的剩余流图特征行列式Δ1，开路2的传输函数P2及对应的剩余流图特征行列式Δ2分别为

图7-10例7-25图

P1=G4(z)Δ1=1

P2=G1(z)G2(z)G3(z)Δ2=1

于是得系统函数为7.6.3离散系统的模拟

与连续系统的模拟类似，若已知离散系统的差分方程或系统函数H(z)，可根据H(z)与梅森公式的关系得到系统的信号流图模拟。根据信号流图与系统框图的对应关系，可以进一步得到系统的方框图模拟。与连续系统的模拟形式类似，离散系统的信号流图模拟通常有直接形式、串联形式和并联形式。

【例7-26】

已知二阶离散系统的系统函数为(7-89)用直接形式信号流图模拟系统。

【解】

系统函数H(z)的分子、分母同除以z2，得(7-90)式(7-90)的分母可看做信号流图的特征行列式；分母括号中的两项可分别看做两个互相接触环的传输函数；分子中的三项可分别看做从F(z)到Y(z)的三条开路的传输函数。因此，系统的信号流图可由两个相互接触的环和三条开路组成。根据梅森公式和信号流图的对应关系，得到系统的信号流图模拟如图7-11(a)、(c)所示。图(a)是直接形式Ⅰ，图(b)是对应的框图模拟；图(c)是直接形式Ⅱ，图(d)是图(c)对应的框图模拟。图7-11例7-26图

【例7-27】

已知离散系统的系统函数为(7-91)用串联形式信号流图模拟系统。

【解】

系统函数H(z)可以表示为

H(z)=H1(z)H2(z)

(7-92)式中：(7-93)(7-94)由式(7-92)可知，系统可由子系统H1(z)和子系统H2(z)串联组成。子系统H1(z)为一阶节，子系统H2(z)为二阶节。根据式(7-93)和式(7-94)，子系统H1(z)和子系统H2(z)的直接形式信号流图分别如图7-12(a)、(b)所示。由两个子系统串联组成的系统信号流图如图7-12(c)所示，图(d)是对应的串联形式框图模拟。

【例7-28】

已知离散系统的系统函数为用并联形式信号流图模拟系统。图7-12例7-27图

【解】

H(z)可以表示为(7-95)(7-96)(7-97)由式(7-95)可知，系统可由子系统H1(z)和子系统H2(z)并联组成。由两个子系统并联组成的系统信号流图如图7-13(a)所示，图7-13(b)是对应的并联形式框图模拟。图7-13例7-28图

7.7离散系统的频率响应和系统函数

7.7.1离散系统的频率响应

离散系统的频率响应(频率特性)是指系统对不同频率正弦序列的响应特性。若离散系统的系统函数H(z)的极点全部在单位圆内，则H(ejΩ)称为离散系统的频率响应或频率特性。(7-98)(7-99)|H(ejΩ)|称为幅频响应或幅频特性，(Ω)称为相频响应或相频特性。因为ejΩ是Ω的周期函数，所以H(ejΩ)也是Ω的周期函数，周期为2π。

【例7-29】

已知离散系统的系统函数为H(z)=，|z|>，求系统的频率响应。

【解】

因为H(z)的收敛域为|z|>，只有一个极点z=，并且极点在单位圆内，所以系统的频率响应为系统的幅频响应和相频响应分别为幅频响应和相频响应曲线如图7-14(a)、(b)所示。图7-14例7-29图7.7.2离散系统的系统函数H(z)

离散系统的系统函数H(z)通常为有理分式，可以表示为z－1的有理分式，也可以表示为z的有理分式，即式中，M≤N，ai(i=1，2，…，N)、bj(j=0，1，…，M)为实常数，a0=1。A(z)=0的根Pi(i=0，1，2，…，N)称为H(z)的极点，B(z)=0的根zj(j=0，1，…，M)称为H(z)的零点，因此，H(z)又可表示为(7-101)

H(z)的极点和零点可能是实数、虚数或复数。由于A(z)和B(z)的系数ai、bj都是实数，所以，若极点(零点)为虚数或复数时，则必然共轭成对出现。7.7.3H(z)的零极点与时域响应

由于因果系统的H(z)收敛域为|z|>a，所以收敛域的边界为一圆。为此，把z平面划分为单位圆内、单位圆上、单位圆外三部分，并根据H(z)的极点在这三个区域的分布讨论极点对h(n)的形式的影响。1.单位圆内极点

若H(z)在单位圆内有一阶实极点P=a，|a|<1，则H(z)的分母A(z)中就有因子(z－a)，则h(n)中就含有形式为Aanu(n)的项。

若H(z)在单位圆内有二阶实极点P=a，则A(z)中就有因子(z－a)2，h(n)中就含有形式为Anan－1u(n)的项，A为实常数。

若H(z)在单位圆内有一阶共轭复极点P1，2=re±jβ，r<1,则A(z)中就有因子(z－rejβ)(z－re－jβ)，h(n)中就有形式为Arncos(βn+θ)u(n)的项。若H(z)在单位圆内有二阶共轭复极点P1，2=re±jβ，则A(z)中就有因子(z－rejβ)2·(z－re－jβ)2，h(n)中就有形式为Anrn－1cos［β(n－1)+θ］u(n)的项。

若H(z)在单位圆内有二阶以上极点，则这些极点对应的h(n)中的项也随n的增加而减小最终趋于0。因此，H(z)在单位圆内的极点对应的h(n)中的响应都随n的增加而减小，最终趋于0。

2.单位圆上极点

若H(z)在单位圆上有一阶实极点P=±1，则A(z)中就有因子z(z±1)，h(n)中就有形式为A(±1)nu(n)的项。

若H(z)在单位圆上有二阶实极点P=±1，则A(z