安徽省合肥市庐江中学2025-2026学年高三上学期调研考试（一）数学试卷（含答案）

安徽省合肥市庐江中学2025-2026学年高三上学期调研考试（一）数学试卷一、单选题（每题5分，共40分）1.复数z满足，则z的虚部为（）A. B. C.2 D.2.已知集合，，则（

）A. B. C. D.3.已知函数，则“，”是“的图像关于点对称”的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.定义在上的奇函数满足，.当时，，则（）A. B. C.0 D.15.如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为，，，与的夹角为，且，与的夹角为．若，则（）A. B. C. D.6.已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为（）A1 B.2 C.3 D.47.若，，，则正数大小关系是（

）A. B.C. D.8.已知双曲线与平行于轴的动直线交于两点，点在点左侧，为双曲线的左焦点，延长至点，使，连接交轴于点，若，则该双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.3二、多选题（每题6分，共18分）9.如图，在正方体中，E、F分别是的中点.下列结论正确的是（）A.EF与垂直 B.与平面C.平面 D.EF与所成的角为10.设O为坐标原点，直线l过抛物线C：的焦点F且与C交于A，B两点（点A在第一象限），，l为C的准线，，垂足为M，，则下列说法正确的是（）A.B.的最小值为C若，则D.x轴上存在一点N，使为定值11.在中，，，D为边BC的中点，则（）A. B. C. D.最大时，三、填空题（每题5分，共15分）12.已知，直线与曲线相切，则最小值是____________．13.已知等比数列为严格增数列，其前项和为若，，则该数列的公比为________．14.设为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱异面时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离，则数学期望=________.四、解答题（分）15.已知函数．（1）求函数的极值；（2）求不等式的解集．16.在数列中，，．（1）证明：数列是等差数列并求数列的通项公式．（2）若，求数列的前n项和．17.如图，在所有棱长都为2三棱柱中，点E是棱的中点，．（1）求证：平面⊥平面；（2）若，点P满足，求直线与所成角的余弦值．18.已知椭圆的左，右焦点分别为椭圆上任意一点，.（1）求椭圆的方程；（2）若为圆上任意一点，求的最小值；（3）已知直线与轴交于点，且与椭圆交于两点，为坐标平面内不在直线上的动点，若直线斜率的倒数成等差数列，证明：动点在定直线上，并求直线的方程.19.随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，且向四个方向移动的概率均为例如在1秒末，粒子会等可能地出现在四点处.（1）设粒子在第2秒末移动到点，记的取值为随机变量，求的分布列和数学期望；（2）记第秒末粒子回到原点的概率为.（i）已知求以及；（ii）令，记为数列的前项和，若对任意实数，存在，使得，则称粒子是常返的.已知证明：该粒子是常返的.参考答案1-8【答案】B【答案】C【答案】A【答案】D【答案】C【答案】B【答案】B【答案】C9.【答案】ABC10.【答案】ABD11.【答案】BCD12.【答案】2513.【答案】14.【答案】15.【小问1】函数的定义域为，求导得，当时,,在时为减函数；当时,,在时为增函数，所以的极小值为，无极大值.【小问2】不等式，令函数，求导得，函数在上单调递减，且，由，解得，所以原不等式的解集为．16.【小问1】数列中，，，则，又，所以是首项，公差为3的等差数列，故，所以.【小问2】由（1）知，，则，两式相减得，所以.17.【小问1】证明：如图所示，取的中点，连接，，，因为为中点，为中点，所以．在三棱柱中，，则四边形是菱形，可得，则，又因为，，且平面，所以平面，因为平面，所以，因为是等边三角形，为中点，所以，又，，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面．【小问2】因为，，所以是等边三角形，所以．又因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，因为由平面，所以，，又因为，以为原点，所在的直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示，，设，因为，即，可得，所以，则，又因为，所以．直线CP与所成角的余弦值为.18.【小问1】设椭圆的半焦距为，因为，所以，由椭圆的定义，解得，得到，故的方程为.【小问2】因为的右焦点，圆的圆心，半径，显然椭圆与圆没有交点，因为点在圆上，所以，于是，当且仅当分别是线段与椭圆，圆的交点时取等号，故的最小值为.小问3】如图，设，因为直线，所以点，联立消去得.所以，因为，且直线斜率的倒数成等差数列，所以，所以，即，将代入上述等式可得，若，则点在直线上，与已知矛盾；故，整理可得，可得，即，即对任意的恒成立，得到，解得或，由于的斜率不为0，得到，故，故点在定直线上.19.【小问1】粒子在第秒可能运动到点或或的位置，的可能取值为：，，，，所以的分布列为：.【小问2】（i）粒子奇数秒不可能回到原点，故，粒子在第4秒回到原点，分两种情况考虑：每一步分别是四个不同方向的排列，例如“上下左右”，共有种情形；每一步分别是两个相反方向的排列，例如“左左右右、上上下下”，共有种情形；于是，