数量方法自学考试复习提纲

《数量方法（二）》（代码00994）

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《数量方法（二）》（代码00994）自学考试复习提纲

第一章数据的整理和描述

。基本知识点：

一、数据的分类：

按照描述的事物分类：

1.分类型数据：描述的是事物的品质特征，本质表现是文字形式；

2.数量型数据：事物的数量特征，用数据形式表示；

3.日期和时间型数据。

按照被描述的对象与时间的关系分类：

1.截面数据：事物在某一时刻的变化情况，即横向数据；

2.时间序列数据：事物在一定的时间范围内的变化情况，即纵向数

据；

3.平行数据：是截面数据与时间序列数据的组合。

数据的整理和图表显示：

1.组距分组法：

1）将数据按上升顺序排列，找出最大值max和最小值min；

2）确定组数，计算组距c；

3）计算每组的上、下限（分组界限）、组中值及数据落入各组的频数

（频数x组中值）的和:匕必）

M（个数）和频率£.（平均数b

频数的和iT?

形成频率分布表；

4）唱票记频数；

5）算出组频或，组中值；

2

6）制表。

2.饼形图：用来描述和表现各成分或某一成分占全部的百分比。注

意：成分不要多于6个，多于6个一般是从中选出5个最重要的，把剩

下的全部合并成为“其他”；成分份额总和必须是100%；比例必须于

扇形区域的面积比例一致。

3.条形图：用来对各项信息进行比较。当各项信息的标识（名称）

较长时，应当尽量采用条形图。

4.柱形图：如果是时间序列数据，应该用横坐标表示时间，纵坐标

表示数据大小，即应当使用柱形图，好处是可以直观的看出事物随时间

变化的情况。

5.折线图：明显表示趋势的图示方法。简单、容易理解，对于同一

组数据具有唯一性。

6.曲线图：许多事物不但自身逐渐变化，而且变化的速度也是逐渐

变化的。具有更加自然的特点，但是不具有唯一性。

7.散点图：用来表现两个变量之间的相互关系，以及数据变化的趋

势。

8.茎叶图：把数据分成茎与叶两个部分，既保留了原始数据，又直

观的显示出了数据的分布。

三、数据集中趋势的度量：

1.平均数：容易理解，易于计算；不扁不倚地对待每一个数据；是

数据集地“重心”；缺点是它对极端值十分敏感。

全体数据的总和

平均数二

数据的个数

3

2.中位数：将数据按从小到大顺序排列，处在中间位置的一个数或

最中间的两个数的平均数。它的优点是它对极端值不像平均数那么敏

感，因此，如吴包含极端值的数据集来说，用中位数来描述集中趋势比

用平均数更为恰当。

3.众数：数据中出现次数最多的数。缺点是一个数据集可能没有众

数，也可能众数不唯一；优点在于它反映了数据集中最常见的数值，而

且它不仅对数量型数据（数据都是数值）有意义，它对分类型数据集也

有意义；并且能够告诉我们最普遍、最流行的款式、尺寸、色彩等产品

特征。

4.分组数据的平均数（加权平均）：

也仍将（频数x组中值）的和匕上小加初斗为••加拓

平均数“一釐丽-------£7'"为组数’1为第।组频

数，y,为第i组组中值。

5.平均数，中位数和众数的关系：

数据分布是对祢分部时：众数二中位数二平均数

数据分布不是对称分部时：左偏分布时：众数<中位数<平均数

右偏分布时：众数>中位数>平均数

四、数据离散趋势的度量：

1.极差R=最大值max-最小值min

2.四分位点：第二四分位点&就是整个数据集的中位数；第一四分

位点。是整个数据按从小到大排列后第半个（若空不是整数，取

44

左右两个的平均）；第三四分位点2是整个数据按从小到大排列后第

4

即j个（若当1不是整数取左右两个的平均）。四分位极差=3

44

-2,,它不像极差R那么容易受极端值的影响，但是仍然存在着没有充

分地利用数据所有信息地缺点。

3.方差：离平均数地集中位置地远近；

丁2-2Z匕需一〒一（E匕y）~丁2-2

=4-2=用工=--------率----------=Z匕…

〃/=<〃Z匕〃

了二今邑即用分组

匕是频数，、是组中值，〃=z匕即数据的个数,

X匕

数据计算的平均数。

4.标准差：cr=4o^o

变异系数：表示数据相对于其平均数的分散程度。

V=-xlOO%

。基本运算方法：

1、一组数据3,4,5,5,6,7,8,9,10中的中位数是（）

A.5B.

C.6D.

解析：按从小到大排列，此九个数中，正中间的是6,从而答案为C。

2、某企业30岁以下职工占25%,月平均工资为800元；30—45岁职工占

50%,

月平均工资为1000元；45岁以上职工占25驰，月平均工资1100元，该企业全

部职工的月平均工资为（）

A.950元B.967元

5

C.975元D.1000元

解析：25%*800+50%*1000+25%*1100=975,故选C。

3、有一组数据的平均数和标准差分别为50、25,这组数据的变异系数为

（）

解析：变异系数V=gxlOO%=

x

25

-^=0.5,故选C。

4、若两组数据的平均值相差较大，比较它们的离散程度应采用（）

A.极差B.变异系数

C.方差D.标准差

解析：考变异系数的用法，先B。

5、一组数据4,4,5,5,6,6,7,7,7,9,10中的众数是（）

A.6B.C.7D.

解析：出现最多的数为众数，故选C。

6、对于峰值偏向左边的单峰非对称直方图，一般来说（）

A.平均数＞中位数〉众数B.众数〉中位数〉平均数

C.平均数〉众数〉中位数D.中位数＞众数〉平均数

解析：数据分布是对称分部时：众数二中位数二平均数

数据分布不是对称分部时：左偏分布时：众数＜中位数＜平均数

右偏分布时：众数＞中位数＞平均数

需要记住提，峰值偏向左边的单峰非对称直方图称为右偏分布，峰值偏向右边

的单峰非对称直方图称为左偏分布，从而此题答案为Bo

第二章随机事件及其概率

6

。基本知识点：

一、随机试验与随机事件：

1.随机试验：

a）可以在相同的条件下重复进行；

b）每次试验的可能结果可能不止一个，但是试验的所有可能的结昊在

试验之前是确切知道的；

c）试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果。

2.样本空间。：

a）所有基本事件的全体所组成的集合称为样本空间，是必然时间，

b）样本空间口每一个基本事件称为一个样本点；

c）每一个随机事件就是若干样本点组成的集合，即随机事件是样本空

间的子集；

d）不包含任何样本点的随机事件就是不可能事件中。

3.样本空间的表示方法：

a）列举法：如掷骰子C={1,2,3,4,5,6}

b）描述法：若掷骰子出现{135}可描述为：掷骰子出现奇数点。

二、事件的关系和运算

1.事件的关系：

a）包含关系：事件A的每一个样本点都包含在事件B中，或者事件A

的发生必然导致事件B的发生，成为事件B包含事件A,记做

Au3或者若AuB且BuA则称事件A与事件B相等，记

做A二B。

7

b）事件的并事件A和事件B至少有一个发生的事件称为事件A与事

件B的并，记做4U8或者A+8。

c）事件的交：事件A与事件B同时发生的事件称为事件A与事件B

的交，记做或者

d）互斥事件：事件A与事件B中，若有一个发生，另一个必定不发

生，则称事件A与事件B是互斥的，否则称这两个事件是相容的。

e）对立事件：一个事件B若与事件A互斥，且它与事件A的并是整个

样本空间Q,则称事件B是事件A的对立事件，或逆事件。事件A

的对立事件是彳，AC）才AUA=QO

f）事件的差：事件A发生，但事件B不发生的事件，称为事件A与事

件B的差，记做A—B。

2.运算律：

a）交换律：AnB=8UA，4nB=BP|A;

b）结合律：AU（8UC）=（4UB）UC，A（BC）=（AB）C;

c）分配律：

4U（/1nc）=（AUR）n（AU。）.An（"Uc）=（AnA）u（Anc）：

d）对偶律：而瓦布豆=wu月。

三、事件的概率与古典概型：

1.事件A发生的频率的稳定值〃称为事件A发生的概率，记做：

P(A)=〃，0<p<lo

8

2.概率的性质：

a)非负性：P(A)NO；

b)规范性：0</;<1；

c)完全可加性:P(UA.)=E^(A)；

/=,i=i

d)。(。)=()；

e)设A,B为两个事件，若Au4,则有P(8—A)=P(3)—P(A),且

P(B)>P(A)；

3.古典概型试验与古典概率计算：

a)古典概型试验是满足以下条件地随机试验：

①它的样本空间只包含有限个样本点；

①每个样本点的发生是等可能的。

N

b)古典概率的计算：P(4)=9；

c)两个基本原理：

①加法原理：假如做一件事情有两类办法，在第一类办法中有m

种不同方法，而在第二类办法中有n种不同方法，那么完成这

件事情就有m+n种不同方法。加法原理可以推广到有多类办法

的情况；

①乘法原理：假设做一件事情可以分成两步来做，做第一步有m

种不同方法，做第二步有n种不同方法，那么完成这件事情有

mn种不同方法。乘法原理也可以推广到多个步骤的情形。

9

4,条件概率：在事件B发生的条件下(假定P(B)>0),事件A发生的

概率称为事件A在给定事件B下的条件概率，简称A对B的条件概

率，记做：P(AIB)=£^；

5.概率公式：

a)互逆：对于任意的事件A,P(A)+P(A)=\；

b)广义加法公式：对于任意的两个事件A和B.

P(A+B)=P(A)+P(B)~P(AB),

广义加法公式可以推广到任意有限个事件的并的情形，特别地：

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AQ-P(BQ+P(ABC)

c)减法公式：

P(A-B)=P(A)-P(AB)———AnB,则P(A—3)=P(A)—尸(8)；

d)乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A),P(A)#0；

e)事件独立：若尸(A8)=P(A)P(8),则4与3相互独立。

f)全概率公式：设事件Ai,A2,…,An两两互斥,AI+A2+……+An=Q

(完备事件组)，且P(A)>0,i=l,2,n则对于任意事件

B,有:

&6)=£&A)P(6|Aj)；

/=1

g)贝叶斯公式：条件同上，则对于任意寻件B,如果P(B)>0,有：

“)=粤2型幺；

£P(4)P(B|A)

10

。基本运算方法：

1、事件的表示：

例1、设A、B、C是三个随机事件，用A、B、C的运算关系表示事件：A不发

生但B与C发生为（）

A.ABC

B.ABC

C.ABC

D.ABC

解析：本题考察事件的表示方法，选B。

例2、对随机事件A、B、C,用E表示事件：A、B、C三个事件中至少有一个

事件发生，则E可表示为（）

B.Q-ABC

C.AUBUCD.ABC

解析：选A。

2、古典概型

例1、正方体骰子六个面点数分别为2、4、6、8、10、12,掷二次所得点数之

和大于等于4的概率为（）

A—R—

3612

C.1

6

解析：样本空间中样本点一共有36个，两次掷得点数和不可能小于4,从而选

Do

11

例2、在一次抛硬币的试验中，小王连续抛了3次，则全部是正面向上的概率

为

()

A.-B.-

98

C.-D.-

63

解析：样本空间一共有8个样本点，全部正面向上只有一次，故选B。

例3、某夫妇按国家规定，可以生两胎。如果他们每胎只生一个孩子，则两胎

全

是女孩的概率为()

A.—B.1

168

C.-D.-

42

解析：生两胎，样本空间共有4个样本点，故选C。

3^加法公式、减法公式、条件概率

例1、设A、B为两个事件，P(A)二，P(B)=。如果BA,贝IJP(AB)二

()

A.B.

C.D.

解析：BA,则P(AB)=P(B),故选

例2、设A、B为两个事件，P(A)=,P(B)=,P(AB)=,则P(B|A1()

A.B.

C.D.

解析：由P(a)=P(B)—P(AB),从而P(AB)=,P(B|A)二々善二，

P(B)

12

故选D。

例3、事件X和B相互独立，且P(X)=，P(B)=，则P(AB)=()

A.B.

C.D.

解析：事件A和B相互独立知事件A与B独立,从而P(AB)=R(A)P(B)=,Ao

例4、事件A,B相互独立，P(A)二，P(B|A)=，则P(A)+P(B)=

()

解析：由事件A,B相互独立知P(B|A)=P(B)=,从而选C。

4、事件的互斥、对立、独立关系：

例1、A与B为互斥事件，则人后为()

+B

解析：八与B为互斥事件，即八B-①，从而选C。

例2、事件A、B相互对立,P(A)=O.3,P(AB)=,则P(A-B)二()

解析：由事件A、B相互对立知AB=中，从而P(A-B)=P(A)=，选C。

例3、事件A、B相互独立,P(A)=,P(B)=,则P(A+B)=()

解析：P(A+B)=

P(A)+P(B)-P(AB),由A、B相互独立知P(AB)=P(A)P(B),从而

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)二，选C。

例4、事件A、B互斥,P(A)=,P(B|A)=,则P(A-B尸()

A.0B.

13

C.D.1

解析：事件A、B互斥有AB=①，从而P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A)三选B。

5、全概率公式和贝叶斯公式：

例1、在厂家送检的三箱玻璃杯中，质检部门抽检其中任一箱的概率相同。已

知第一箱的次品率为，第二箱的次品率为，三箱玻璃杯总的次品率为。求第三

箱的次品率。若从三箱中任抽一只是次品，求这个次品在第一箱中的概率。

解析：设A表示抽到第，箱，2,3.B表示次品，贝IJ

P(A)=p(4)=尸(4)=g,P(814)=0.01,P(B|4)=0.02

3

P(8)=ZP(A)P(〃I4)=0.02,从而P(刈4)=0.03,即第三箱的次品率为.

1=1

p(A⑶「尸⑷P⑻A)」

—P(A)P(BIA)6

1=1

即从三箱中任抽一只是次品，这个次品在第一

箱中的概率为1/6。

例2、实战演习中，在甲、乙、丙三处射击的概率分别为，，，而在甲、乙、

丙三处射击时命中目标的概率分别为，，。若最终目标被命中，求目标是由乙

处射击命中的概率。

解析：设A表示在甲处射击，&表示在乙处射击，4表示在丙处射击，B表示

命中,则P(A)=02P(A)=0.7,P(4)=0.1,

P(8|A)=0.8,P(B|A2)=0.4,尸(4|AJ=0.6

P(A/B)=,P(4)尸⑻&)=056

fp(A)p(例4)

/=1

从而目标是由乙处射击命中的概率为.

14

第三章随机变量及其分布

。基本知识点:

一、离散型随机变量:取值可以逐个列出

1.数学期望：

1)定义：&=乞茗/乙，以概率为权数的加权平均数；

i

2)性质：E(C)=C(常数期望是本身)

E(aX)=aE(X)(常数因子提出来)

E(aX+b)=aE(X)+b(一项一项分开算)

E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)(线性性)

2.方差：

22

1)定义：Dx=E(x-Er)=Y(xi-Ex)pl；

i

2)性质：D(c)=0(常数方差等于0)

D(aX)=a'D(X)(常数因子平方提)

D(aX+b)=a2D(X)

3)公式：D(X)=E(X2)-£2(X)(方差二平方的期望-期望的平

方)；

3.常用随机变量：

1)0-1分布：

a)随机变量X只能取0,1这两个值；

b)X~B(1,p)；

c)E(X)=pD(X)=p(l-p)

15

2)二项分布：

a)分布律：P(X=k)=C：p*l-p)i,2=0,12……〃;

b)X~B(n,p)

c)E(X)=np

d)D(X)=np(l-p)

e)适用：随机试验具有两个可能的结果A或者屋且P(A)=p,

P(A)=l-p,将试验独立重复n次得到n重贝努里试

验。

3)泊松分布：

a)分布律：P(X=k)=^—,左=0,1,2........入＞0

k\

b)X~P(入)

c)E(X)=X

d}D(X)=；\

e)适用：指定时间内某事件发生的次数。

二、连续型随机变量：

1.设X是一个连续型随机变量：

1)X的均值，记做口，就是X的数学期望，即从二EX；

2)X的方差，记做D(X)或。2,是(X-4I的数学期望，即：

D(X)=E[(X-U)2]=E(X2)-JU2

3)X的标准差，记做。，是X的方差〃的算术平方根，即。=好；

2.常用连续型随矶变量：

名称分布律或密度记法E(X)D：X)

16

均匀分X~U[a,b]a+b

—Ca<x<b)

布/(幻=«h-a212

9,其他

指数分pl/a,x>0、小X〜11

/U)=<!八,X>0

布[(),x<()77

正态分|d“)2X~N(〃，o-2)pb

布p(x)=—f=^=£2/,CT>0

J2m2

标准正1HX~N(0,01

2

态分布(/)Cx)=­r^£1)

NXTT

3.正态分布的密度曲线y二P(x)是一条关于直线x二R的对称的钟形曲线，在

x二口处最高，两侧迅速下降，无限接近X轴；。越大(小)，曲线越矮

胖(高瘦)。

4.标准正态分布的密度曲线y=<p(x),是关于Y轴对称的钟形曲线c

5.随机变量的标准化X-流(减去期望除标差)。

6.标准化定理：设X〜N(〃，o-2),则2=三二幺~N(O,1)。

(J

三、二维随机变量：

1.用两个随机变量合在一起(X,Y)描述一个随机试验，(X,Y)的取

值带有随意性，但具有概率规律，则称'：X,Y)为二维随机变量。

2.X,Y的协方差：cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]=E(XY)-

EX・EY,cov(X,Y)>0说明X与Y之间存在一定程度的正相关关系，

cov(X.Y)=0称X与Y不相关，cov(X,Y)<0说明X与Y存在一

定程度的负相关关系；

3.X,Y的相关系数：q,二等岑L,取值范围是越接

°ylDXx4DY

近1,表明X与Y之间的正线性相关程度越强，越接近于-1,表明X

与丫之间的负线性相关程度越弱，当等于。时，X与Y不相关。

17

4.随机变量的线性组合：

1)E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y);

2)D(aX+。V)=片0(X)+2abeoMX,V)+〃D(Y)

四、决策准则与决策树：

1.对不确定的因素进行估计，从几个方案中选择一个，这个过程称为决

策；

2.决策三准则：

1)极大极小原则：将各种方案的最坏结果(极小收益)进行比较，从

中选择极小收益最大的方案；

2)最小期望损失原则：选择期望损失最小的方案；

3)最大期望收益原则：选择期望收益最大的方案。

3.决策树：使我唱把不确定因素的过程以图解的形式表示出来，有简单、

直观的优点。

O基本运算方法：

1、随机变量的含义：

例1、某一事件出现的概率为"4,试验4次，该事件出现的次数将是()

A.1次B.大于1次

C.小于1次D.上述结果均有可能

解析：答案为D,此题考察对随机变量的理解。

2、六种常见分布

例1、某企业出厂产品200个装一盒，产品分为合格与不合格两类，合格率为

99%,

18

设每盒中的不合格产品数为X,则X通常服从()

A.正态分布B.泊松分布

C.均匀分布D.二项分布

解析：将任一个合格品记为0,不合格记为L贝JX~B(200,),选D。

例2、一般正态分布N(口，o2)的概率分布函数F(x)转换为标准正态分布N

(0,1)的概率分布函数时表示为()

A.①(x)B.①(土二)

o

C.0(x-n)D.0(-)

解析：本题考察正态分布的标准化X〜N(〃，/),则2=△二幺~N(0,l),选B.

o

例3、掷一枚不均匀硬币，正面朝上的概率为1,将此硬币连掷3次，则恰好2

4

次正面朝上的概率是()

912

A.—B.—

6464

c.打DT

6464

□27

解析：记X表示正面向上的次数，则X~B(3,4),P(X=2)=C;0.7520.25=—,

464

Co

例4、若随机变量X服从正态分布，贝IJ随机变量Y=aX+b(aX0)服从()

A.正态分布B.二项分布

C.泊松分布D,指数分布

解析：本题考察正态分布的线性组合仍为正态分布，选A。

例5、某电梯一星期发生故障的次数通常服从()

A.两点分布B.均匀分布

C.指数分布D.泊松分布

19

解析：选D,泊松分在描述不常发生的事情。

例6、一个服从二项分布的随机变量，其方差与期望之比为1/3,则该二项分

布的参数P为()

/3/3

解析：此题考察二项分布的方差与期望,符*从而选

Bo

]_-(X-2)2/8

例7、设随机变量X的概率密度函数为0(x)=-8VXV8)则X的

方差D(X)二()

A.1B.2

C.3D.4

解析：此题考察正态分布的密度函数，选Do

例8、随机变量X分布律为P(x=k),k=0,1,2,3,…则X的方差

k!

D(X)=()

A.B.2

C.D.3

解析：此题考察泊松分布的方差，选A。

例9、据调查，某单位男性员工中吸烟者的比例为20%,在一个由10人组成的

该单位男性员工的随机样本中，恰有3人吸烟的暇率是多少？

解析：设X表示10人中抽烟的人数，则X~B(10,,从而

20

P(X=3)=C；oO.23().87(自行用计算器计算出概率)。

例10、某零件的寿命服从均值为1200小时，标准差为250小时的正态分布。

随机地抽取一个零件，求它的寿命不低于1300小时的概率。(①()二，①二,

①=)

解析：设某零件的寿命为X,则X~N(1200,25(门，从而

P{X>I300}=1-P{X<1300}=1-P[X~120°<130°~1200,

250250

二1一①二

3、随机变量期望、方差及协方差的运算和性质：

例1、设X和Y为两个随机变量，D(X)=10,D(Y)=1,X与Y的协方差为一3,

则D(2X—Y)为()

A.18B.24

C.38D.53

解析：由。(。乂+匕丫)=/。(乂)+2。6。。战乂,丫)+/。&)知,答案为D。

例2、设X和Y是两个相互独立的随机变量，已知D(X)=60,D(Y)=80,则

Z=2X-3Y+7的方差为()

A.100

B.960

C.1007D.1207

解析：由于常数方差为0,且由X和Y独立知其协方差为0,从而由公式

。(0/+")="。。)+从。(丫)知答案为Bo

例3、设X为随机变量，E(X)=2,D(X)=6,则E(；©为()

21

A.5

B.10

C.20

D.30

解析：由方差的等价定义：D(X)=E(X2)-E2(X)»,答案为Bo

例4、若已知/)X=25,Dy=9,COV(X,y)=10.5,则X与J/相关系数广为

A.B.

C.D.

cov(X,Y)

解析：由相关系数计算公式/知答案为Co

/DXxV5F

例5、设X、Y为随机变量，D(X)=6,D(Y)=7cov(X,Y)=l,试计算D(2X—3Y).

解析：由o(〃x+/?y)=/D(x)+2aZ?c°v(x,y)+z?2o(y)知

D(2X-3Y)=4D(X)-12Cov(X,Y)+9D(Y)=75o

4、概率分布、密度函数：

例1、离散型随机变量X只取-L0,2三个值，已知它取各个值的概率不相

等，且三个概率值组成一个等差数列，设外治0)二a,贝1心二()

/4/3

/2

解析：由于三者成等差数列，故设X取-1的概率为a-d,取2的概率为a+d,

而三者相加为1,从而a=1/3,答案为B。

例2、设随机变量X的概率密度函数为P(x)二f"则*的数学期望

。具匕

E(X)二()

22

A.1B.

C.D.2

解析：显然，从概率密度函数知X~U（1,）,从而期望为，答案为B。

第四章抽样方法与抽样分布

。基本知识点：

一、抽样基本概念：

1.总体：研究对象的全体；

2.个体：组成总体的每一个个体；

3.抽样：从总体中抽取一部分个体的过程；

4.样本：从总体中抽出的一部分个体构成的集合；

5.样本值：在一次试验或观察以后得到一组确定的值；

6.随机样本：

1）个体被抽到的可能性相同；

2）相互独立；

3）同分布。

二、抽样方法：

1.简单随机抽样：总体中有n个单元，从中抽取r个单元作为样本，使得

所有可能的样本都有同样的机会被抽中。有放回抽样的样本个数为

无放回抽样的样本个数为

2.系统抽样（等距抽样）：将总体单元按照某种顺序排列，按照规则确定

一个起点，然后每隔一定的间距抽取样本单元。

23

3.分层抽样：在油样之前将总体划分为互不交叉重叠的若干层，然后从各

个层中独立地再取一定数量的单元作为样本。

4.整群抽样：在总体中由若干个总体单元自然或人为地组成的群体称为

群，抽样时以辞体为抽样单位，对抽中的各群的所有总体单元进行观

察。

三、抽样中经常遇到的三个问题：

1.抽样选取不当；

2.无回答：

处理无回答常用的方法：

1）注意调查问卷的设计和加强调查员的培训；

2）进行多次访问；

3）替换无回答的样本单元；

4）对存在无回答的结果进行调整。

3.抽样本身的误差。

四、抽样分布与中心极限定理：

1.不包含任何未知参数的样本函数称作统计量；

2.常用的统计量：

1）样本均值•7YZk；

2）样本方差：为；

3）样本标差：S=7F。

24

3.统计量的分布叫做抽样分布，当样本容量n增大时，不论原来的总体是

否服从正态分布，其样本均值都将趋向于正态分布，当nN30时，样本

均值就可以近似的服从正态分布。

4.中心极限定理：

设随机变量Xi,X?,Xn独立同分布，且EXi=|j,DXi=o1i=

2,……n,又Xj；EN=EGZX)=EX,=口；

D又=。鸟Z；X,)=十；'X,.)=卡之。X,=*“2=今

/=1nn

2

1)设随机变量X1，X2,……Xn独立同分布,且EX=n，DX,=o,i=l,

—一近似一近似

2.……n,X=+ZXj,则X〜/)；学〜N(0,1)；

〃—I1心30%n>30

2)设随机变量X1,X2,……Xn独立同(01)分布，则

Z：Xj〜/&p),且Z：X,〜N(〃p,沙(1一〃))o

一।“230

五、常用的抽样分布

1.样本均值的抽洋分布：

总体均值、方抽样方式样本的期望样本方差

差

有限总体重复抽样心

n

有限总体不重复抽样a1N-n

VN-l

无限总体任意哼

若有限总体不重复抽样令<5驰时，其修正系数石近似为L样本均值的方差

可以简化为片。

2.样本比例的抽择分布：

总体比例抽样方法EPDP

无限总体任意

Pn

25

有限总体有放回抽样

Pn

有限总体无放回抽样0(1-。)N-n

PnN-\

若有限总体无放回抽样万＜5%时，其修正系数京r近似为1,样本比例的方差

可以简化为

三种小样本的抽样分布.

名称统计量记法上C（分位点

X?分布Xl.X2Xn分布M~X2(n)P\Z2>/(〃)]二。

/；+/；+......+z'=z2

2

，分布X-N(0,1),Y-Xf〜f(〃)P[t>ta(n)]=a

(n)

XtY相互独立

F分布V~%2（〃2）F~F(〃w%)P[F>Fa(nen2)]=a

u,V相互独立，F;匕〃2)二焉ZT

七、几种重要统计量的分布：

设X~N（n，/）,刈，X2,……K是X的样本，样本均值》样

本方差S?=告£；（为7）2：

1.，分布：

以样本标格代替。

又〜N卬，脸，标厚化，〜N（O,1）

2.父分布：叫「二-i〜/（…；

3.设Xi,X2,••…Xn是N（M，端）的样本，匕，丫2,……汽是N5,戊）的

样本，并且都相互独立，贝IJ:

标准化

9一y〜N"「〃肃+*）〜N(O,1)

以s合代替。xy(M〃2)

〜，(〃1+4-2)

S”/Z?（XLM）2；5；=古雪（工-万；S合=T喘写g

26

。基本运算方法：

1、基本概念及抽样方法：

例1、如果抽选10人作样本，在体重50公斤以下的人中随机抽选2人，

50〜65

公斤的人中随机选5人，65公斤以上的人中随机选3人，这种抽样方法称作

（）

A.简单随机抽样B.系统抽样

C.分层抽样D.整群抽样

解析：本题考察概率抽样方法的分类，答案为。

例2、将总体单元按某种顺序排列，按照规则确定一个随机起点，然后每隔一定的

间隔逐个抽取样本单元。这种抽选方法称为（）

A.系统抽样B.简单随机抽样

C.分层抽样D.整群抽样

解析：本题考察概率抽样方法的分类，答案为A,

2、抽样分布与中心极限定理：

例1、一个具有任意分布形式的总体，从中抽取容量为n的样本，随着样本容

量

的增大，样本均值大将逐渐趋向于（）

A.泊松分布B•/分布

C.F分布D.正态分布

解析：本题考察中心极限定理，答案为Do

27

例2、在简单随机抽样中，如果将样本容量增加9倍，则样本均值抽样分布的

标

准误差将变为原来的'：）

A.1/9倍

B.1/3倍

C.3倍D.9倍

解析：由于D（文尸巴，从而标准误差为小，答案为B。

nyjn

例3、对于容量为N的总体进行不重复抽样（样本容量为n）,样本均值与的

方差为（）

解析