新人教A版高中数学指数与指数幂的运算教案

2.1.1指数与指数第的运算

教学目标：1.理解n次方根、根式、分数指数基的概念；

2.正确运用根式运算性质和有理指数索的运算性质；

3.培养学生认识、接受新事「物和用联系观点看问题的能力。

教学重点：根式的概念、分数指数塞的概念和运算性质

教学难点：根式概念和分数指数辕概念的理解

教学方法工.学导式

教学过程：

第一课时

引例：填空

(1)£M)：a°=l(awO)：a~n=—(a0,neN*)

,-----~'/

(2)aH,-an=a,,,+n(m.nGZ)；(/')〃="〃"(m,nEZ)；(而)〃"(n£Z)

(3)柄=；-V9=；Vo=_______

(4)(Va)2=>0)；Va^"=

(II)讲授新课

1.引入：

(1)填空(1),(2)复习了整数指数基的概念和运算性质(其中：因为〃”二优可看作。叫。一〃,

所以":优=可以归入性质又因为(号"可看作所以

b

,lnn

r(£)"二/可以，归入性质(ab)=ab(nez)),这是为下面学习分数指数基的概念和性

质做准备。为了学习分数指数塞，先要学习n次根式(nwND的概念。

(2)填空(3),(4)复习了平方根、立方根这两个概念。如：

2=4,(-2)=4=>2,-2叫4的平方根

2=8=>2叫8的立方根：(-2)3=—8=—2叫一8的立方根

2=32=>2叫32的5次方根…2r，=a=>2叫a的n次方根

分析：若2:4,则2叫4的平方根；若23=8,2叫做8的立方根;若25=32,则2叫做32的

5次方根，类似地，若2"=a,则2叫a的n次方根。由此，可有：

2.ri次方根的定义：(板书)

一般地，如果x”=〃，那么x叫做a的n次方根(〃throot),其中〃>1,且ftwN*。

问题1：n次方根的定义给出了，x如何用a表示呢？x=或是否正确？

分析过程：

例1.根据n次方根的概念，分别求出27的3次方根，-32的5次方根，个的3次方根。(要

求完整地叙述求解过程)

解：因为3?=27,所以3是27的3次方根；因为（―2尸=-32,所以-2是-32的5次方根;

因为缶2尸二a。，所乂a?是个的3次方根。

结论1：当n为奇数时（跟立方根一样），有下列性质：正数的n次方根是正数，负数的n

次方根是负数，任何一个数的方根都是唯一的。此时，a的n次方根可表示为*=或。

从而有：V27=3,户^=一2,Va?=a2

例2.根据n次方根的概念，分别求讨16的4次方根，-81的4次方根。

解：因为2,=16,（—2尸=16,所以2和-2是16的4次方根；

因为任何实数的4次方都是非负数，不会等于-81,所以-81没有4次方根。

结论2：当n为偶数时（跟平方根一样），有下列性质：正数的n次方根有两个且互为相反

数，负数没有n次方根。此时正数a的n次方根可表示为：土或（a>0）

其中或表示a的正的n次方根，-或表示a的负的n次方根。

例3.根据n次方根的概念，分别求出。的3次方根，。的4次方根。

解:因为不论n为奇数，还是偶数，都有（）”=（）,所以0的3次方根，0的4次方根均为0。

结论3：0的n次方根是0,记作知6=0,即g当a=0时也有意义。

这样，可在实数范围内，得到n次方根的性质：

3.n次方根的性质：（板书）

啊2=2"+1/6乂*）其中校叫根式，n叫根指数，2叫被开方数。

土qa,n=2k

注意：根式是n次方根的一种表示形式，并且，由n次方根的定义，可得到根式的运算性质。

4.根式运算性质：（板书）

①（爪）"=〃，即一个数先开方，再乘方（同次），结果仍为被开方数。

问题2：若对一个数先乘方，再开方（同次），结果又是什a?

例4：求在②7，逆，疗，斤界"

由所得结果，可有：（板书）

叱二卜，〃为奇数；

[|。|,〃为偶数

性质的推导如下：

性质①推导过程：

当n为奇数时，x=y/a,由x"=a得(底)"=a

当n为偶数时，工=±加,由炉=4得(标)〃=々

综上所述，可知：如)』

性质②推导过程：

当n为奇数时，由n次方根定义得：

当n为偶数时，由n次方根定义得：a=±^

则|〃|=|±后|=标

a,n为奇数

综上所述:必尸=.

|a|,n为偶数

注意：性质②有一定变化，大家应重点掌握。

(HI)例题讲解

例1.求下列各式的值:

(1)班及(2)7(-10)2(3)4(3—力4(4)7(a-b)2(a>b)

注意：根指数n为奇数的题,目较易处理，要侧重于根指数n为偶数的运算。

(HD课堂练习：求下列各式的值

(1)V^32(2)7(-3)4⑶4陋一孙2⑷,5-2新

(IV7课时小结

通过本节学习，大家要能在理解根式概念的基础上，正确运用根式的运算性质解题。

(V)课后作业

1、书面作业：「

a.求下列各式的值

三)2

(DV-27⑵府(3)J(兀一4>⑷M

b.书P69习题2.1A组题第1题。

2、预习作业：

a.预习内容,：课本%—Pb2。

b.预习提纲：

(1)根式与分数指数幕有何关系？

(2)整数指数塞运算性质推广后有何变化？

第二课时

1.填空

-

一两=____*

(1)V64=____j/32=___L(2)一

(3)(V3)4=—___(V6)5=一_;⑷湎:一_阿=一•

—米-3)7=_

(5)#(-2)5=_一；⑹0(7)6=_—疗=―•

（II）讲授新课

25,o2

分析：对于“填空”中的第四题，既可根据n次方根的概念来解：V（a）=a,/.v^=a；

也可根据n次方根的性质来解：V^'=V（a12）35=a2o

问题1：观察湎=a2,瘠=a3,结果的指数与被开方数的指数，根指数有什么关系？

1012

n・&6=aM=a2,V^=a3=a4,BP：当根指数的坡开方数的指数能被根指数整除时，

根式可以写成分数指数帚的形式。

问题2：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否可以写成分数指数号的形

式？如：痒二a：是否可行？

22

分析：假设幕的运算性质（am）n=amn对于分数指数寤也适用，那么（a§）3=ar=a2,这

2

说明小也是a?的3次方根，而它也是个的3次方根（由于这里n=3,a?的3次方根唯一）,

_2_2

于是这说明=可行。

由此可有：

1.正数的正分数指数惠的意义：＜板书）

aH=也"（。＞0,tn,neN*，且〃＞1）

注意两点:一是分数指数界是根式的另一种表示形式；二是要注意被开方数a"的幕指数n与

根式的根指数n的一致性，根式与分数指数寡可以进行互化。

问题3：在上述定义中，若没有“a〉0”这个限制，行不行？

1102

分析：正例：（—8*=V7S=-2，V（-2）10=（-2P=（-2）2=4,（—2户=#（—2＞等等;

12____12

反例：（-8*=户=-2,（-8）%=在可7二工而实际上一二一；又如：

36

4（-8"=（-8）：=（-8居收一8＞2=娇=^^7=83。这样就产生了混乱，因此

“a〉0”这个限制不可少。至于（-8"="二一2,这是正确的，但此时（-8）3不能理解

12

为分数指数幕，一不能代表有理数(因为不能改写为一)「，这只表示一种上标。而

36

102

5/(-2)3=(-2)5,(-2)3=3/(-2)2,那是因为(一2尸=2,0,(-2)2=22,负号内部消化了。

问题4：如何定义正数的负分数指,数鼎和0的分数指数基？

分析：正数的负分数指数幕的定义与负整数指数塞的意义相仿；0的分数指数哥与0的非()

整数暴的意义相仿。

2.负分数指数幕：〈板书〉

--1

an=——(。>0,m,nsN*，且"1)

肃

3.0的分数指数幕：(板书)

0的正分数指数累为0,0的负分数指数暴无意义(为什么？)。

说明：(L)分数指数耗的意义只是一种规定，前面所举的例子只表示这种规定的合理性；

(2)规定了分数指数幕的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数；

(3)可以验证整数指数扉的运算性质，对于有理数幕也同样适用，即(板书)

rsr+s

aa=a(a>OyrysGQ)；

(o'),=a"(a>0,seQ)

(ab)r=ab'\a>(),/?>0,reQ)

(4)根式与分数指数辕可以进行互化：分式指数箱可以直接化成根式计算，也可利用

mm

gn)\=am来计算；反过来，根式也可化成分数指数辕来计算。

(5)同样可规定aP(p>0,p是无理数)的意义：

①a"表示一个确定的实数；

②上述有理指数基的运算性质，对于无理数指数累都适用，有关念和证明从略；

③指数概念可以扩充到实数指数(为下一小节学习指数函数作铺垫)。

(IH)例题讲解(投影2)

1-11]6--

例2.求值：83,1002,(1)-3,(二)4

481

分析：此题主要运用有理指数幕的运算性质。

I13」-1-12x(」)1

83=(23)3=23=22=4；1002=(102)2=](T2=10-'=—；

解：：,10

116--24x(--)227

(与-3=(2-2尸=2-)"3)=26=64；(U)4=(±)4(4=心尸=4。

481338

例3.用分数指数暴的形式表示下列各式：

a2•y/a,‘J.^a\[a(式中a)0)

分析：此题应结合分数指数幕意义与有理指数幕运算性质。

解:

LL1

a~2-\Jra=a"2a2=a2+2=a2;

,-22II

a3•\Ja^=/.凉=。3=。3；

----\_JI3

\jayfa-(a-a^)2-(a2)2=a”.

(IV)课堂练习

课木以练习：1、2、3-.4

(V)课时小结

通过本节学习，要求大家理解分数指数幕的意义，掌握分数指数幕与根式的互化，熟练运用

有理指数基的运算性质。

(V)课后作业

1、书面作业:课本P69习题2.深组题第2,3,4.

2、预习作业

(1)预习内容：课本P6I例题5。

(2)预习提纲：

a.根式的运算如何进行？

b.利用理指数哥运算性质进行化简、求值，有哪些常用技巧？

教学后记.

第三课时

教学目标....................

1.掌握根式与分数指数暴的互化:

2.熟练运用有理指数哥运算性质进行化简、求值;

3.培养学生的数学应用意识。

教学重点工.有理指数寻运算性质运用。

教学难点工.化简、求值的技巧

教学方加…启发引导式

教学过程.................

(I)复习回顾

1.分数指数嘉的概念，以及有理指数幕的运算性质

分数指数幕概念有理指数基运算性质

〃'f—

/二"arax=ar+s(a>(\r,seQ)；

m_[

1K

(a)=(a>0,r,sGQ)

rrr

t(a>0,m,nGN*,且〃>1)(ab)=ab(a>0,/?>0,r€Q)

2.用分数指数嘉表示下列各式（a>0,x>0）

1收

.(如3

（II）讲授新课

例1.计算下列各式（式中字母都是正数）

2j\_2j513

⑴(2a'b2)(-6a2b3)+(-3a%b%);(2)(m，n-&)8.

分析：（1）题可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后是同底数暴相乘除，「并

且要注意符号。（2）题先按积的乘方计算，后按累的乘方计算，等熟练后可简化计算步骤。

对于计算的结果不强求统一用什么形式来表示,没有特别要求，就用分数指数辕的形式表示。

如果有特殊要求，可根据要求给出结果，但：

①结果不能同时含有根式和分数指数；②不能同时含有分母和负指数；

③根式需化成最简根式。

⑴(2a3b2)(-6a3b3)+(-3a%b%)(2)(加58)8

21111s23

++++

解：=[2X(-6)-(-3)]a326b236二(〃7，)8"#)3

=4ab°=4a;_3

tn•〃=-

例2.计算下列各式:

a2*

(1)(a>0);(2)(V25-V125)-V5

VaVa^"

分析：（1）题把根式化成分数指数暴的形式，再计算。

（2）题先把根式化成分数指数鬲的最简形式，然后计算。

解: