2021-2025年高考数学真题知识点分类汇编之相等关系与不等关系

第27页（共27页）2021-2025年高考数学真题知识点分类汇编之相等关系与不等关系一．选择题（共11小题）1．（2025•新高考Ⅱ）不等式x-4A．{x|﹣2≤x≤1} B．{x|x≤﹣2} C．{x|﹣2≤x＜1} D．{x|x＞1}2．（2025•北京）已知a＞0，b＞0，则（）A．a2+b2＞2ab B．1aC．a+b＞ab D．3．（2024•新高考Ⅰ）已知集合A＝{x|﹣5＜x3＜5}，B＝{﹣3，﹣1，0，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0} B．{2，3} C．{﹣3，﹣1，0} D．{﹣1，0，2}4．（2024•上海）a，b，c∈R，b＞c，下列不等式恒成立的是（）A．a+b2＞a+c2 B．a2+b＞a2+c C．ab2＞ac2 D．a2b＞a2c5．（2023•全国）不等式1xA．（0，+∞） B．（1，+∞） C．（0，1） D．（0，126．（2022•上海）若实数a、b满足a＞b＞0，下列不等式中恒成立的是（）A．a+b＞2ab B．a+b＜2ab C．a2+2b＞2ab D．a2+27．（2022•上海）若a＞b＞c＞d，则下列不等式恒成立的是（）A．a+d＞b+c B．a+c＞b+d C．ac＞bd D．ad＞bc8．（2022•全国）不等式1x2-2A．（﹣1，0）∪（0，13） B．（﹣3，0）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（13，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+9．（2021•乙卷）下列函数中最小值为4的是（）A．y＝x2+2x+4 B．y＝|sinx|+4C．y＝2x+22﹣x D．y＝lnx+10．（2021•天津）已知a∈R，则“a＞6”是“a2＞36”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件11．（2021•上海）已知两两不相等的x1，y1，x2，y2，x3，y3，同时满足①x1＜y1，x2＜y2，x3＜y3；②x1+y1＝x2+y2＝x3+y3；③x1y1+x3y3＝2x2y2，以下哪个选项恒成立（）A．2x2＜x1+x3 B．2x2＞x1+x3 C．x22＜x1x3 D．x2二．多选题（共1小题）（多选）12．（2022•新高考Ⅱ）若x，y满足x2+y2﹣xy＝1，则（）A．x+y≤1 B．x+y≥﹣2 C．x2+y2≤2 D．x2+y2≥1三．填空题（共9小题）13．（2025•上海）不等式x-1x-3＜14．（2025•上海）设a，b＞0，a+1b=1，则b+1a的最小值为15．（2025•上海）不等式xx-1＜0的解集为16．（2024•上海）已知ab＝1，4a2+9b2的最小值为．17．（2023•上海）已知正实数a、b满足a+4b＝1，则ab的最大值为．18．（2022•上海）不等式x-1x＜0的解集为19．（2021•上海）不等式2x+5x-2＜1的解集为20．（2021•天津）已知a＞0，b＞0，则1a+ab2+b的最小值为21．（2021•上海）已知函数f（x）＝3x+a3x+1（a＞0）的最小值为5，则a＝四．解答题（共1小题）22．（2022•上海）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD，AB＝30m，AD＝15m．为保护D处的一棵古树，有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若架空线入线口为AB边上的点E，出线口为CD边上的点F，施工要求EF与封闭区边界相切，EF右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到0.1m，计算面积精确到0.01m2）（1）若∠ADE＝20°，求EF的长；（2）当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？

2021-2025年高考数学真题知识点分类汇编之相等关系与不等关系参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）题号1234567891011答案CCABCABCCAA二．多选题（共1小题）题号12答案BC一．选择题（共11小题）1．（2025•新高考Ⅱ）不等式x-4A．{x|﹣2≤x≤1} B．{x|x≤﹣2} C．{x|﹣2≤x＜1} D．{x|x＞1}【考点】分式不等式．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】C【分析】移项通分化简后转化为一元二次不等式，求解即可．【解答】解：因为x-4x-所以x-4-2(x所以(x+2)(x-1)≤0所以x-4x-1≥2的解集为{x|﹣故选：C．【点评】本题考查分式不等式的求解，属于基础题．2．（2025•北京）已知a＞0，b＞0，则（）A．a2+b2＞2ab B．1aC．a+b＞ab D．【考点】运用基本不等式求最值．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】C【分析】根据重要不等式及基本不等式，即可求解．【解答】解：因为a＞0，b＞0，所以a2+b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立，所以A选项错误；取a=b=13，则1a因为a+b≥因为1a+1故选：C．【点评】本题考查重要不等式及基本不等式的应用，属基础题．3．（2024•新高考Ⅰ）已知集合A＝{x|﹣5＜x3＜5}，B＝{﹣3，﹣1，0，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0} B．{2，3} C．{﹣3，﹣1，0} D．{﹣1，0，2}【考点】指、对数不等式的解法；求集合的交集．【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．【答案】A【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合A＝{x|﹣5＜x3＜5}，B＝{﹣3，﹣1，0，2，3}，（﹣3）3＝﹣27，（﹣1）3＝﹣1，03＝0，23＝8，33＝27，则A∩B＝{﹣1，0}．故选：A．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．4．（2024•上海）a，b，c∈R，b＞c，下列不等式恒成立的是（）A．a+b2＞a+c2 B．a2+b＞a2+c C．ab2＞ac2 D．a2b＞a2c【考点】不等关系与不等式；等式与不等式的性质．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】B【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．【解答】解：对于A，若|b|＜|c|，则b2＜c2，选项不成立，故A错误；对于B，a2＝a2，b＞c，由不等式的可加性可知，a2+b＞a2+c，故B正确．对于C、D，若a＝0，则选项不成立，故C、D错误．故选：B．【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题．5．（2023•全国）不等式1xA．（0，+∞） B．（1，+∞） C．（0，1） D．（0，12【考点】其他不等式的解法．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】C【分析】根据已知条件，结合不等式的解法，即可求解．【解答】解：1x则1x-1x-1=故原不等式的解集为（0，1）．故选：C．【点评】本题主要考查不等式的解法，属于基础题．6．（2022•上海）若实数a、b满足a＞b＞0，下列不等式中恒成立的是（）A．a+b＞2ab B．a+b＜2ab C．a2+2b＞2ab D．a2+2【考点】基本不等式及其应用．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】A【分析】利用已知条件以及基本不等式化简即可判断求解．【解答】解：因为a＞b＞0，所以a+b≥2ab，当且仅当a＝b时取等号，又a＞b＞0，所以a+b＞2ab，故A正确，a2+2b≥2a2×2b=2ab故选：A．【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的理解能力，属于基础题．7．（2022•上海）若a＞b＞c＞d，则下列不等式恒成立的是（）A．a+d＞b+c B．a+c＞b+d C．ac＞bd D．ad＞bc【考点】等式与不等式的性质．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】B【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．【解答】解：对于A，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a＞b＞c＞d，但a+d＝b+c，故A错误，对于B，∵a＞b＞c＞d，即a＞b，c＞d，∴由不等式的可加性可得，a+c＞b+d，故B正确，对于C，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a＞b＞c＞d，但ac＝bd，故C错误，对于D，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a＞b＞c＞d，但ad＜bc，故D错误．故选：B．【点评】本题主要考查了不等式的性质，掌握特殊值法是解本题的关键，属于基础题．8．（2022•全国）不等式1x2-2A．（﹣1，0）∪（0，13） B．（﹣3，0）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（13，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+【考点】其他不等式的解法．【专题】对应思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】C【分析】将分式不等式化简，求解即可．【解答】解：不等式1x2-2即1﹣2x﹣3x2＜0，x≠0，即3x2+2x﹣1＞0，x≠0，解得x∈（﹣∞，﹣1）∪（13，+故选：C．【点评】本题考查不等式的解法，属于基础题．9．（2021•乙卷）下列函数中最小值为4的是（）A．y＝x2+2x+4 B．y＝|sinx|+4C．y＝2x+22﹣x D．y＝lnx+【考点】基本不等式及其应用；函数的最值．【专题】转化思想；定义法；转化法；不等式的解法及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】C【分析】利用二次函数的性质求出最值，即可判断选项A，根据基本不等式以及取最值的条件，即可判断选项B，利用基本不等式求出最值，即可判断选项C，利用特殊值验证，即可判断选项D．【解答】解：对于A，y＝x2+2x+4＝（x+1）2+3≥3，所以函数的最小值为3，故选项A错误；对于B，因为0＜|sinx|≤1，所以y＝|sinx|+4当且仅当|sinx|=4|sinx|，即因为|sinx|≤1，所以等号取不到，所以y＝|sinx|+4|sinx|对于C，因为2x＞0，所以y＝2x+22﹣x=2当且仅当2x＝2，即x＝1时取等号，所以函数的最小值为4，故选项C正确；对于D，因为当x=1e时，所以函数的最小值不是4，故选项D错误．故选：C．【点评】本题考查了函数最值的求解，涉及了二次函数最值的求解，利用基本不等式求解最值的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，考查了转化思想，属于中档题．10．（2021•天津）已知a∈R，则“a＞6”是“a2＞36”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】不等关系与不等式；充分条件与必要条件．【专题】整体思想；定义法；简易逻辑；运算求解．【答案】A【分析】a2＞36⇒a＞6或a＜﹣6，根据充分必要的定义判断即可得出答案．【解答】解：①由a＞6，得a2＞36，所以“a＞6”是“a2＞36”的充分条件，②由a2＞36，得a＞6或a＜﹣6，所以“a＞6”是“a2＞36”的不必要条件，故a＞6是a2＞36的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件的定义，一元二次不等式的解法，属于基础题．11．（2021•上海）已知两两不相等的x1，y1，x2，y2，x3，y3，同时满足①x1＜y1，x2＜y2，x3＜y3；②x1+y1＝x2+y2＝x3+y3；③x1y1+x3y3＝2x2y2，以下哪个选项恒成立（）A．2x2＜x1+x3 B．2x2＞x1+x3 C．x22＜x1x3 D．x2【考点】等式与不等式的性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】A【分析】设x1=m-ay1=m+a，x2=m-by2=m+b，x3=m-cy3=m+c，根据题意，则有a2+c2=2b2m2＞b2，可得x1+x3﹣2x2＝2b﹣（a+c），通过求解（2b）2﹣（a+c）2＞0，可得x1+x3﹣2x2【解答】解：设x1+y1＝x2+y2＝x3+y3＝2m，x1=m-a根据题意，应该有a≠且m2﹣a2+m2﹣c2＝2（m2﹣b2），则有a2+c2＝2b2，则x1+x3﹣2x2＝（m﹣a）+（m﹣c）﹣2（m﹣b）＝2b﹣（a+c），因为（2b）2﹣（a+c）2＝2（a2+c2）﹣（a+c）2＞0，所以x1+x3﹣2x2＝2b﹣（a+c）＞0，所以A项正确，B错误．x1x3-x22=（m﹣a）（m﹣c）﹣（m﹣b）2＝（2b﹣a﹣c）m+ac﹣b2＝（2b﹣a﹣c）m-(a-c)2因为不知道m的正负，所以该式子的正负无法恒定．故选：A．【点评】本题主要考查不等关系与不等式的应用，考查了方程思想和转化思想，属于中档题．二．多选题（共1小题）（多选）12．（2022•新高考Ⅱ）若x，y满足x2+y2﹣xy＝1，则（）A．x+y≤1 B．x+y≥﹣2 C．x2+y2≤2 D．x2+y2≥1【考点】运用基本不等式求最值．【专题】计算题；方程思想；转化思想；转化法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】BC【分析】方法一：原等式可化为，（x-y2）2+(32y)2=1，进行三角代换，令x-y2=cosθ方法二：由x2+y2﹣xy＝1可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3(x+y2)2，x2+y2﹣1＝xy≤x2+y2【解答】解：方法一：由x2+y2﹣xy＝1可得，（x-y2）2+(令x-y2∴x+y=3sinθ+cosθ=2sin（θ+π6）∈[﹣∵x2+y2=(33sinθ+cosθ)故C对，D错，方法二：对于A，B，由x2+y2﹣xy＝1可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3(x+y∴（x+y）2≤4，∴﹣2≤x+y≤2，故A错，B对，对于C，D，由x2+y2﹣xy＝1得，x2+y2﹣1＝xy≤x∴x2+y2≤2，故C对；∵﹣xy≤x2+y22，∴1＝x2+y2﹣xy≤x∴x2+y故选：BC．【点评】本题主要考查了三角代换求最值，考查了三角函数的性质，同时考查了学生分析问题，转化问题的能力，属于中档题．三．填空题（共9小题）13．（2025•上海）不等式x-1x-3＜0的解集为【考点】分式不等式．【专题】计算题；方程思想；转化法；不等式的解法及应用．【答案】见试题解答内容【分析】将分式不等式等价转化后，由一元二次不等式的解法求出解集即可．【解答】解：不等式x-1x-3＜0的等价于（x﹣1解得1＜x＜3，所以不等式的解集是（1，3）故答案为（1，3）【点评】本题考查简单的分式不等式的解法，以及一元二次不等式的解法，考查转化思想．14．（2025•上海）设a，b＞0，a+1b=1，则b+1a的最小值为【考点】运用基本不等式求最值．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】4．【分析】根据题意，b+1a=（a+1b）（b【解答】解：由已知，b+1a=（a+1b）（b+1a）＝2+ab+1ab≥2+2ab⋅1ab所以b+1a的最小值为故答案为：4．【点评】本题主要考查用基本不等式求最值，属于基础题．15．（2025•上海）不等式xx-1＜0的解集为（0，【考点】分式不等式．【专题】不等式的解法及应用．【答案】见试题解答内容【分析】由不等式xx-1＜0可得x（x﹣【解答】解：由不等式xx-1＜0可得x（x﹣1）＜0，解得0＜故答案为：（0，1）．【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．16．（2024•上海）已知ab＝1，4a2+9b2的最小值为12．【考点】基本不等式及其应用．【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．【答案】12．【分析】由已知结合基本不等式即可求解．【解答】解：由ab＝1，4a2+9b2≥2•2a•3b＝12，当且仅当2a＝3b，即a=62，b所以4a2+9b2的最小值为12．故答案为：12．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．17．（2023•上海）已知正实数a、b满足a+4b＝1，则ab的最大值为116【考点】基本不等式及其应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】直接利用基本不等式求出结果．【解答】解：正实数a、b满足a+4b＝1，则ab=14×a⋅4故答案为：116【点评】本题考查的知识要点：基本不等式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．18．（2022•上海）不等式x-1x＜0的解集为（0，【考点】其他不等式的解法．【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】（0，1）．【分析】把分式不等式转化为二次不等式即可直接求解．【解答】解：由题意得x（x﹣1）＜0，解得0＜x＜1，故不等式的解集（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题．19．（2021•上海）不等式2x+5x-2＜1的解集为（﹣【考点】其他不等式的解法．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】由已知进行转化x+7x【解答】解：2x+5x-2＜1⇒解得，﹣7＜x＜2．故答案为：（﹣7，2）．【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题．20．（2021•天津）已知a＞0，b＞0，则1a+ab2+b的最小值为【考点】基本不等式及其应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】22．【分析】法一：先利用基本不等式得到1a+ab2+b≥2b+b，再利用基本不等式得到2法二：利用均值不等式，转化求解即可．【解答】解：法一：∵a＞0，b＞0，∴1a+ab2+b≥2当且仅当1a=ab2且b=2∴1a+ab2法二：∵a＞0，b＞0，∴1a+ab2+b当且仅当1a=ab2=∴1a+ab2故答案为：22．【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，注意两次利用基本不等式取等号的条件同时成立，属于中档题．21．（2021•上海）已知函数f（x）＝3x+a3x+1（a＞0）的最小值为5，则a＝【考点】基本不等式及其应用．【专题】整体思想；构造法；不等式；逻辑思维；运算求解．【答案】9【分析】利用基本不等式求最值需要满足“一正、二定、三相等”，该题只需将函数解析式变形成f（x）＝3x+1+a3【解答】解：f（x）＝3x+a3x+1=3可令t＝3x+1＞1，当a＞1，即a＞1，可得y＝t+at-1≥所以a＝9，当a＜1即0＜a＜1时，y＝t+at-1在（y＞a，无最小值．故答案为：9．【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，以及整体的思想，解题的关键是构造积为定值，属于基础题．四．解答题（共1小题）22．（2022•上海）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD，AB＝30m，AD＝15m．为保护D处的一棵古树，有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若架空线入线口为AB边上的点E，出线口为CD边上的点F，施工要求EF与封闭区边界相切，EF右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到0.1m，计算面积精确到0.01m2）（1）若∠ADE＝20°，求EF的长；（2）当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？【考点】基本不等式及其应用．【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】（1）EF≈23.3m；（2）AE＝53，最大面积约为255.14m2．【分析】（1）作DH⊥EF，然后结合锐角三角函数定义表示出EF，（2）设∠ADE＝θ，结合锐角三角函数定义可表示AE，FH，然后表示出面积，结合同角基本关系进行化简，再由基本不等式可求．【解答】解：（1）作DH⊥EF，垂足为H，则EF＝EH+HF＝15tan20°+15tan50°≈23.3m；（2）设∠ADE＝θ，则AE＝15tanθ，FH＝15tan（90°﹣2θ），S四边形ADFE＝2S△ADE+S△DFH＝2×12×15×15tan=152（30tanθ+15cot2θ）=152（30tanθ+15当且仅当3tanθ=1tanθ，即tanθ=33时取等号，此时AE＝15tanθ＝53，最大面积为450【点评】本题主要考查了利用基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是由实际问题抽象出数学问题，属于中档题．

考点卡片1．求集合的交集【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算性质：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．已知集合A＝{x∈Z|x+1≥0}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（）解：因为A＝{x∈Z|x+1≥0}＝{x∈Z|x≥﹣1}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，所以A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：D．2．充分条件与必要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．3．等式与不等式的性质【知识点的认识】1．不等式的基本性质（1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：①a＞b⇔a﹣b＞0；②a＜b⇔a﹣b＜0；③a＝b⇔a﹣b＝0．（2）不等式的基本性质①对称性：a＞b⇔b＜a；②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c．④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d；⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）；⑧开方法则：a＞b＞0⇒na＞nb（n∈N，且4．不等关系与不等式【知识点的认识】不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如42与84就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞不等式定理①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．【命题方向】例1：解不等式：sinx≥1解：∵sinx≥1∴2kπ+π6≤x≤2kπ+5π∴不等式sinx≥12的解集为{x|2kπ+π6≤x≤2kπ+5这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点，这个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期就是最后的解．例2：当ab＞0时，a＞b⇔1a证明：由ab＞0，知1ab＞又∵a＞b，∴a⋅1ab＞b⋅若1a＜∴a＞b．这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接举个反例即可，这种技巧在选择题上用的最广．5．基本不等式及其应用【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2实例解析例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．A：a，b均为负数，则2ab+b2a≥2．B：x2+2解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．对于C选项中sinx≠±2，不满足“相等”的条件，再者sinx可以取到负值．故选：C．A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求y=xx2+2的最值？当0＜x解：当x＝0时，y＝0，当x≠0时，y=用基本不等式若x＞0时，0＜y≤2若x＜0时，-24≤y综上得，可以得出-24≤∴y=xx2+2这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．【解题方法点拨】基本不等式的应用1、求最值例1：求下列函数的值域．2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【命题方向】技巧一：凑项点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．技巧二：凑系数例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．y＝x（8﹣2x）=12[2x•（8﹣2x）]≤12（2当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离例3：求y=x解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．y=x2+7x+10x+1当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2(x+1)×4x+1+5技巧四：换元对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f（x）＝x+a技巧六：整体代换点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．技巧七：取平方点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．6．运用基本不等式求最值【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2【解题方法点拨】在运用均值不等式求最值时，可以将代数式分解成可以应用均值不等式的形式．例如，要求代数式x+1x的最小值，可以利用均值不等式x+1x≥2从而得出最小值为2，并且在【命题方向】均值不等式求最值的命题方向包括代数表达式的最值求解、几何图形的最优设计等．例如，求解一个代数式的最小值，或设计一个几何图形使其面积最大．这类题型要求学生能够灵活运用均值不等式进行最值求解，并能正确代入和计算．已知正数a，b满足a+b＝1，则a+1+b解：因为正数a，b满足a+b＝1，所以a+1+b+1＝3，则a+1当且仅当a＝b=1故答案为：6．7．分式不等式【知识点的认识】分式不等式指的是含有分式的数学不等式．解分式不等式时，关键是注意分母不为零．【解题方法点拨】将分式不等式转化为普通不等式，并限定分母部分不为零，找出符合不等式的区间．综合各区间解，写出最终解集．【命题方向】典型的命题包括解简单的分式不等式，结合实际应用题解分式不等式，以及分式不等式在函数单调性、最值问题中的应用．求不等式3x解：3x