职业高中数学指数函数习题集

职业高中数学指数函数习题集前言指数函数是职业高中数学的核心内容之一，既是对数函数、三角函数等后续知识的基础，也广泛应用于复利计算、人口增长、放射性衰减等实际场景。掌握指数函数的定义、图像性质及运算规则，能帮助学生提升逻辑推理能力与解决实际问题的能力。本习题集围绕指数函数的核心知识点，设计了梯度化、实用性的习题，涵盖基础巩固、综合应用与拓展提升，旨在帮助学生夯实基础、突破难点。第一章指数函数的定义与基本概念一、知识点回顾1.指数函数定义：形如\(y=a^x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）的函数称为指数函数，其中：底数\(a\)必须满足\(a>0\)（避免负数幂无意义）且\(a\neq1\)（避免常数函数）；定义域为\(\mathbb{R}\)（自变量\(x\)可取任意实数）；值域为\((0,+\infty)\)（函数值恒大于0）。2.定点性质：指数函数图像恒过定点\((0,1)\)（因\(a^0=1\)，\(a\neq0\)）。二、例题解析例1判断下列函数是否为指数函数：（1）\(y=4^x\)；（2）\(y=(-2)^x\)；（3）\(y=3\cdot2^x\)；（4）\(y=2^{x+1}\)。解：（1）是（符合\(y=a^x\)形式，\(a=4>0\)且\(a\neq1\)）；（2）否（底数\(-2<0\)，函数在实数域不连续）；（3）否（含系数3，不符合“无系数”要求）；（4）否（指数为\(x+1\)，而非自变量\(x\)）。例2求函数\(y=5^{x-3}+2\)的定点坐标。解：令\(x-3=0\)，得\(x=3\)，此时\(y=5^0+2=1+2=3\)，故定点为\((3,3)\)。三、巩固习题1.选择题（单选）（1）下列函数中，是指数函数的是（）A.\(y=x^3\)B.\(y=(\frac{1}{3})^x\)C.\(y=2^{x}+1\)D.\(y=-3^x\)（2）指数函数\(y=a^x\)过点\((3,8)\)，则\(a=\)（）A.2B.-2C.\(\frac{1}{2}\)D.42.填空题（1）函数\(y=2^{x+1}-3\)的定点坐标为________；（2）函数\(y=(\frac{1}{2})^{3x}\)的值域为________。第二章指数函数的图像与性质一、知识点回顾1.图像特征：\(a>1\)时，图像上升（单调递增）；\(0<a<1\)时，图像下降（单调递减）；均过定点\((0,1)\)，无限接近\(x\)轴（渐近线）。2.单调性应用：\(a>1\)时，\(x_1<x_2\Rightarrowa^{x_1}<a^{x_2}\)；\(0<a<1\)时，\(x_1<x_2\Rightarrowa^{x_1}>a^{x_2}\)。二、例题解析例1比较\(3^2\)与\(3^3\)、\((\frac{1}{2})^1\)与\((\frac{1}{2})^2\)的大小。解：（1）\(3>1\)，函数单调递增，故\(3^2=9<3^3=27\)；（2）\(0<\frac{1}{2}<1\)，函数单调递减，故\((\frac{1}{2})^1=\frac{1}{2}>(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}\)。例2已知指数函数\(y=a^x\)在\(\mathbb{R}\)上单调递减，求\(a\)的取值范围。解：\(0<a<1\)（单调递减的指数函数底数必在\((0,1)\)区间）。三、巩固习题1.填空题（1）函数\(y=6^x\)的单调区间是________，单调性为________；（2）函数\(y=(\frac{1}{5})^x\)当\(x\to+\infty\)时，\(y\to________\)。2.选择题（1）若\(a>1\)，则\(a^0\)、\(a^1\)、\(a^{-1}\)的大小关系为（）A.\(a^1>a^0>a^{-1}\)B.\(a^0>a^1>a^{-1}\)C.\(a^{-1}>a^0>a^1\)D.无法确定（2）指数函数\(y=a^x\)与\(y=b^x\)的图像如图所示（\(a>b>0\)），则（）A.\(a>1\)，\(0<b<1\)B.\(0<a<1\)，\(b>1\)C.\(a>b>1\)D.\(0<b<a<1\)3.解答题画出函数\(y=4^x\)和\(y=(\frac{1}{4})^x\)的图像，说明它们的对称性。第三章指数运算与化简一、知识点回顾指数运算基本法则（\(a>0,b>0,m,n\in\mathbb{R}\)）：1.\(a^m\cdota^n=a^{m+n}\)（同底数幂相乘，指数相加）；2.\(a^m\diva^n=a^{m-n}\)（同底数幂相除，指数相减）；3.\((a^m)^n=a^{mn}\)（幂的乘方，指数相乘）；4.\((ab)^n=a^n\cdotb^n\)（积的乘方，分别乘方）；5.\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)（负指数幂，倒数的正指数幂）；6.\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)（分数指数幂，分子为幂次，分母为根次）。二、例题解析例1计算：\(2^3\cdot2^2+(3^2)^3-(\frac{1}{2})^{-2}\)。解：\(2^3\cdot2^2=2^{5}=32\)；\((3^2)^3=3^6=729\)；\((\frac{1}{2})^{-2}=2^2=4\)；原式\(=32+729-4=757\)。例2化简：\((x^2\cdoty^3)^{\frac{1}{2}}\div(x^{\frac{1}{3}}\cdoty^{\frac{1}{2}})\)。解：分子展开：\(x^{2\cdot\frac{1}{2}}\cdoty^{3\cdot\frac{1}{2}}=x\cdoty^{\frac{3}{2}}\)；除法运算：\(x\cdoty^{\frac{3}{2}}\div(x^{\frac{1}{3}}\cdoty^{\frac{1}{2}})=x^{1-\frac{1}{3}}\cdoty^{\frac{3}{2}-\frac{1}{2}}=x^{\frac{2}{3}}\cdoty\)。三、巩固习题1.计算题（直接写结果）（1）\(3^2\cdot3^3=\)________；（2）\(5^5\div5^2=\)________；（3）\((4^2)^3=\)________；（4）\((2\cdot3)^4=\)________；（5）\((\frac{1}{3})^{-2}=\)________；（6）\(16^{\frac{1}{4}}=\)________。2.化简题（结果用正指数表示）（1）\((a^3\cdotb^2)^{\frac{1}{3}}\)；（2）\(a^{\frac{1}{2}}\cdota^{\frac{2}{3}}\diva^{\frac{1}{6}}\)；（3）\((x^{-2}\cdoty^3)^{-1}\)。第四章指数函数的实际应用一、知识点回顾1.指数增长模型：\(y=P(1+r)^t\)（\(P\)初始量，\(r\)增长率，\(t\)时间）；2.指数衰减模型：\(y=P(1-r)^t\)（\(r\)衰减率）；3.复利模型：\(y=P(1+r)^t\)（本金\(P\)，年利率\(r\)，\(t\)年后本利和）；4.半衰期模型：\(y=P\cdot(\frac{1}{2})^{\frac{t}{T}}\)（\(T\)半衰期，\(t\)时间后剩余量）。二、例题解析例1复利计算：本金2000元，年利率2.5%，每年复利一次，求3年后本利和（保留两位小数）。解：\(y=2000\times(1+0.025)^3=2000\times1.0769=2153.80\)元。答：3年后本利和约为2153.80元。例2人口增长：某镇现有人口5万，年增长率1.8%，求4年后人口数量（保留一位小数）。解：\(y=5\times(1+0.018)^4\approx5\times1.0741=5.4\)万。答：4年后人口约为5.4万。例3衰减问题：某药品初始浓度为50mg/L，每小时衰减8%，求2小时后浓度（保留整数）。解：\(y=50\times(1-0.08)^2=50\times0.8464=42.32\approx42\)mg/L。答：2小时后浓度约为42mg/L。三、巩固习题1.解答题（写出计算过程）（1）本金1500元，年利率3%，每年复利一次，求4年后本利和；（2）某公司现销售额800万元，年增长率10%，求3年后销售额；（3）放射性物质初始质量15克，年衰减率6%，求5年后剩余质量；（4）某物质半衰期为15年，现有20克，求30年后剩余质量。第五章综合应用与拓展提升一、综合应用例题例1比较\(2^4\)与\(4^2\)、\(0.4^3\)与\(3^{0.4}\)的大小。解：（1）\(2^4=16\)，\(4^2=16\)，故\(2^4=4^2\)；（2）\(0.4^3=0.064\)，\(3^{0.4}\approx1.5518\)，故\(0.4^3<3^{0.4}\)。例2解指数方程：\(5^x=125\)；\((\frac{1}{3})^x=9\)。解：（1）\(125=5^3\)，故\(x=3\)；（2）\(9=3^2=(\frac{1}{3})^{-2}\)，故\(x=-2\)。例3求函数\(y=3^{x^2+2x}\)的单调递减区间。解：令\(t=x^2+2x=(x+1)^2-1\)，则\(y=3^t\)；因\(3^t\)单调递增，故\(t\)的单调递减区间即为\(y\)的单调递减区间；\(t=(x+1)^2-1\)的单调递减区间为\((-\infty,-1]\)，故\(y=3^{x^2+2x}\)的单调递减区间为\((-\infty,-1]\)。二、拓展提升习题1.比较大小：\(3^5\)与\(5^3\)；\(0.2^4\)与\(4^{0.2}\)。2.解指数方程：\(2^x=64\)；\((\frac{1}{4})^x=16\)。3.应用问题：某产品销量每年增长12%，现销量为50万台，求多少年后销量达到100万台（保留整数）。附录：习题答案第一章指数函数的定义与基本概念1.选择题：（1）B；（2）A。2.填空题：（1）\((-1,-1)\)（令\(x+1=0\)，得\(x=-1\)，\(y=2^0-3=-1\)）；（2）\((0,+\infty)\)。第二章指数函数的图像与性质1.填空题：（1）\(\mathbb{R}\)，单调递增；（2）0。2.选择题：（1）A；（2）A。3.解答题：图像略，\(y=4^x\)与\(y=(\frac{1}{4})^x\)关于\(y\)轴对称。第三章指数运算与化简1.计算题：（1）\(3^5=243\)；（2）\(5^3=125\)；（3）\(4^6=4096\)；（4）\(6^4=1296\)；（5）\(3^2=9\)；（6）2。2.化简题：（1）\(x\cdoty^{\frac{2}{3}}\)；（2）\(a^{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{1}{6}}=a^1=a\)；（3）\(x^2\cdoty^{-3}\)。第四章指