2025年大学统计学期末考试题库：卡方检验在统计推断中的数据分析与解读试题

2025年大学统计学期末考试题库：卡方检验在统计推断中的数据分析与解读试题考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。请把所选项前的字母填在题后的括号内。）1.在进行卡方检验时，如果期望频数过小，可能会导致什么后果？A.检验结果过于保守B.检验结果过于激进C.无法得出有效结论D.检验结果不受影响2.以下哪种情况下适合使用卡方独立性检验？A.比较两个连续变量的相关性B.分析两个分类变量之间是否存在关联C.评估一个分类变量的均值差异D.检验正态分布的均值是否显著偏离假设值3.卡方检验的统计量χ²的计算公式中，分子代表什么？A.观察频数与期望频数的差值B.观察频数与期望频数的平方差值C.观察频数与期望频数的比值D.观察频数与期望频数的乘积4.在卡方拟合优度检验中，自由度的计算方法是什么？A.类别总数减1B.类别总数乘以2C.类别总数加1D.总样本量减15.当卡方检验的p值小于0.05时，通常意味着什么？A.两个分类变量之间没有显著关联B.两个分类变量之间存在显著关联C.观察频数与期望频数完全一致D.数据可能存在异常值6.在进行卡方检验前，需要满足哪些前提条件？A.样本量足够大，且每个类别的期望频数都不小于5B.数据必须符合正态分布C.类别之间必须相互独立D.变量必须是连续型7.卡方检验的拒绝域位于统计量的哪一侧？A.左侧B.右侧C.双侧D.中间8.在卡方同质性检验中，假设检验的原假设是什么？A.各组的观察频数与期望频数存在显著差异B.各组的观察频数与期望频数不存在显著差异C.各组的期望频数之间存在显著差异D.各组的观察频数之间不存在显著差异9.卡方检验的p值越小，说明什么？A.检验结果越不显著B.检验结果越显著C.数据越符合假设分布D.数据越偏离假设分布10.在进行卡方检验时，如果样本量过小，可能会导致什么问题？A.检验结果过于保守B.检验结果过于激进C.无法得出有效结论D.检验结果不受影响11.卡方检验的统计量χ²的值越大，说明什么？A.观察频数与期望频数的差异越小B.观察频数与期望频数的差异越大C.数据越符合假设分布D.数据越偏离假设分布12.在卡方拟合优度检验中，如果p值大于0.05，通常意味着什么？A.数据完全符合假设分布B.数据与假设分布存在显著差异C.无法得出有效结论D.数据可能存在异常值13.卡方检验的期望频数是如何计算的？A.样本量乘以类别比例B.总样本量除以类别数量C.类别比例乘以总样本量D.类别数量除以总样本量14.在进行卡方检验时，如果某个类别的期望频数小于5，应该怎么办？A.直接进行检验，不受影响B.增加样本量，使期望频数大于5C.放弃该类别，只检验其他类别D.使用其他统计方法替代卡方检验15.卡方检验的拒绝域的大小取决于什么？A.显著性水平αB.样本量的大小C.统计量χ²的值D.期望频数的大小16.在卡方同质性检验中，如果拒绝原假设，说明什么？A.各组的观察频数与期望频数存在显著差异B.各组的观察频数与期望频数不存在显著差异C.各组的期望频数之间存在显著差异D.各组的观察频数之间不存在显著差异17.卡方检验的p值是依据什么计算的？A.统计量χ²的分布B.样本量的大小C.期望频数的大小D.观察频数的大小18.在进行卡方检验时，如果数据不符合独立性假设，应该怎么办？A.直接进行检验，不受影响B.增加样本量，使数据符合独立性假设C.使用其他统计方法替代卡方检验D.放弃该数据，只检验其他数据19.卡方检验的统计量χ²的分布是什么？A.正态分布B.t分布C.卡方分布D.F分布20.在卡方拟合优度检验中，如果拒绝原假设，说明什么？A.数据完全符合假设分布B.数据与假设分布存在显著差异C.无法得出有效结论D.数据可能存在异常值二、简答题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。请将答案写在答题纸上。）1.简述卡方检验的基本原理和适用条件。2.解释卡方独立性检验和卡方同质性检验的区别。3.描述卡方检验的统计量χ²的计算过程。4.说明卡方检验的p值的意义及其判断标准。5.列举卡方检验在实际应用中的三个例子，并简要说明其作用。三、计算题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。请将计算过程和答案写在答题纸上。）1.某研究者调查了100名不同年龄段的消费者对某种新产品的偏好情况，结果如下表所示。假设检验水平为0.05，请问不同年龄段的消费者对新产品的偏好是否存在显著差异？|偏好程度|18-25岁|26-35岁|36-45岁|46岁以上||----------|--------|--------|--------|--------||非常喜欢|15|20|10|5||比较喜欢|25|30|20|10||一般|30|25|25|20||不喜欢|10|15|15|15|2.某公司想要了解其产品的包装颜色是否会影响消费者的购买意愿。他们随机调查了200名消费者，结果如下表所示。假设检验水平为0.01，请问包装颜色与购买意愿之间是否存在显著关联？|购买意愿|蓝色包装|红色包装|绿色包装||----------|--------|--------|--------||购买|60|50|40||不购买|40|50|60|3.某学校想要了解其学生的视力状况。他们随机调查了300名学生，结果如下表所示。假设检验水平为0.10，请问不同性别的学生的视力状况是否存在显著差异？|视力状况|男生|女生||----------|----|----||正常|150|120||轻度近视|60|80||中度近视|30|40||高度近视|20|30|四、分析题（本大题共2小题，每小题8分，共16分。请将答案写在答题纸上。）1.某研究者进行了一项关于吸烟与肺癌发病率的调查，结果如下表所示。假设检验水平为0.05，请问吸烟与肺癌发病率之间是否存在显著关联？请解释你的结论，并说明在实际应用中的意义。|吸烟情况|肺癌发病率|非肺癌发病率||----------|----------|----------||吸烟|30|70||不吸烟|10|90|2.某公司想要了解其产品的广告效果。他们进行了为期一个月的广告宣传，随机调查了500名消费者，结果如下表所示。假设检验水平为0.01，请问广告宣传是否显著提高了产品的知名度？请解释你的结论，并说明在实际应用中的意义。|广告效果|知名度提高|知名度未提高||----------|----------|----------||广告宣传|200|100||未宣传|100|200|五、论述题（本大题共1小题，共16分。请将答案写在答题纸上。）结合实际生活中的一个例子，详细说明卡方检验在统计推断中的应用过程，包括假设检验的步骤、统计量的计算、p值的判断以及结论的解释。请务必突出卡方检验在解决实际问题中的具体作用和意义，并尽量展现你对卡方检验原理的深入理解和灵活运用能力。本次试卷答案如下一、选择题答案及解析1.答案：B解析：当期望频数过小时，卡方检验的统计量会变得非常敏感，即使是很小的差异也会被放大，导致检验结果过于激进，更容易拒绝原假设。这是因为卡方检验的公式中涉及到观察频数与期望频数的平方差，当期望频数很小时，平方差会显得特别大，从而使得χ²值增大。2.答案：B解析：卡方独立性检验主要用于分析两个分类变量之间是否存在关联。例如，我们可以检验性别（男/女）与是否喜欢某种颜色（喜欢/不喜欢）之间是否存在关联。如果选择A，比较两个连续变量的相关性，应该使用相关系数或回归分析；选择C，评估一个分类变量的均值差异，应该使用t检验或方差分析；选择D，检验正态分布的均值是否显著偏离假设值，应该使用z检验或t检验。3.答案：B解析：卡方检验的统计量χ²的计算公式为χ²=Σ((O-E)²/E)，其中O表示观察频数，E表示期望频数。分子部分(O-E)²表示观察频数与期望频数的平方差值，这是计算χ²值的关键部分。4.答案：A解析：在卡方拟合优度检验中，自由度的计算方法是类别总数减1。例如，如果有5个类别，自由度就是5-1=4。自由度的大小会影响χ²分布的形状，从而影响p值的计算。5.答案：B解析：当卡方检验的p值小于0.05时，通常意味着在显著性水平α=0.05下，我们有足够的证据拒绝原假设，认为两个分类变量之间存在显著关联。如果p值大于0.05，则没有足够的证据拒绝原假设，不能认为两个分类变量之间存在显著关联。6.答案：A解析：在进行卡方检验前，需要满足以下前提条件：样本量足够大，且每个类别的期望频数都不小于5。这是为了确保卡方检验的统计量χ²近似服从卡方分布。如果期望频数过小，χ²分布的近似效果会变差，检验结果可能不准确。7.答案：B解析：卡方检验的拒绝域位于统计量的右侧。也就是说，当χ²值大于某个临界值时，我们会拒绝原假设。这个临界值是根据显著性水平和自由度从卡方分布表中查得的。8.答案：B解析：在卡方同质性检验中，假设检验的原假设是各组的观察频数与期望频数不存在显著差异。也就是说，我们假设不同组之间的分布是相同的。如果拒绝原假设，则说明至少有一组的观察频数与期望频数存在显著差异。9.答案：B解析：卡方检验的p值越小，说明检验结果越显著。p值表示在原假设成立的情况下，观察到当前数据或更极端数据的概率。如果p值很小，说明观察到当前数据或更极端数据的概率很小，因此我们有理由怀疑原假设不成立。10.答案：C解析：在进行卡方检验时，如果样本量过小，可能会导致无法得出有效结论。这是因为样本量过小，期望频数可能会小于5，从而影响卡方检验的准确性。此外，样本量过小也会导致统计量的方差增大，使得检验结果不稳定。11.答案：B解析：卡方检验的统计量χ²的值越大，说明观察频数与期望频数的差异越大。这是因为χ²的计算公式中涉及到(O-E)²/E，当O与E的差异越大时，(O-E)²也会越大，从而使得χ²值增大。12.答案：A解析：在卡方拟合优度检验中，如果p值大于0.05，通常意味着数据完全符合假设分布。这是因为p值表示在原假设成立的情况下，观察到当前数据或更极端数据的概率。如果p值大于0.05，说明观察到当前数据或更极端数据的概率较大，因此我们没有理由怀疑原假设不成立。13.答案：C解析：卡方检验的期望频数是如何计算的？期望频数是根据样本量和类别比例计算得到的。具体来说，期望频数=总样本量×类别比例。例如，如果有100个样本，某个类别的比例是0.2，那么该类别的期望频数就是100×0.2=20。14.答案：B解析：在进行卡方检验时，如果某个类别的期望频数小于5，应该增加样本量，使期望频数大于5。这是因为卡方检验的准确性依赖于期望频数的大小。如果期望频数过小，χ²分布的近似效果会变差，检验结果可能不准确。增加样本量可以提高期望频数，从而提高检验的准确性。15.答案：A解析：卡方检验的拒绝域的大小取决于显著性水平α。显著性水平α表示我们愿意承担的犯第一类错误（即错误地拒绝原假设）的概率。常见的显著性水平有0.05、0.01等。α越小，拒绝域越小，检验结果越保守。16.答案：A解析：在卡方同质性检验中，如果拒绝原假设，说明各组的观察频数与期望频数存在显著差异。也就是说，至少有一组的实际分布与假设分布存在显著不同。如果不能拒绝原假设，则说明各组的实际分布与假设分布没有显著不同。17.答案：A解析：卡方检验的p值是依据统计量χ²的分布计算的。具体来说，p值表示在原假设成立的情况下，观察到当前χ²值或更极端χ²值的概率。χ²分布的形状取决于自由度的大小，因此p值的计算也依赖于自由度。18.答案：C解析：在进行卡方检验时，如果数据不符合独立性假设，应该使用其他统计方法替代卡方检验。例如，如果数据存在关联性，可以使用线性回归或逻辑回归等方法进行分析。卡方检验的前提条件是数据之间相互独立，如果不满足这个条件，检验结果可能不准确。19.答案：C解析：卡方检验的统计量χ²的分布是卡方分布。卡方分布是一种连续型分布，其形状取决于自由度的大小。自由度越大，卡方分布越接近正态分布。卡方检验正是利用了卡方分布的性质来进行假设检验。20.答案：B解析：在卡方拟合优度检验中，如果拒绝原假设，说明数据与假设分布存在显著差异。也就是说，实际数据的分布与假设的分布不同。如果不能拒绝原假设，则说明实际数据的分布与假设的分布没有显著不同。二、简答题答案及解析1.简述卡方检验的基本原理和适用条件。答案：卡方检验的基本原理是通过比较观察频数与期望频数的差异来检验假设。具体来说，卡方检验计算一个统计量χ²，其公式为χ²=Σ((O-E)²/E)，其中O表示观察频数，E表示期望频数。如果χ²值较大，说明观察频数与期望频数的差异较大，我们有理由怀疑原假设不成立。卡方检验的适用条件包括：样本量足够大，且每个类别的期望频数都不小于5；数据必须来自随机抽样；变量必须是分类变量。解析：卡方检验的基本原理是通过比较观察频数与期望频数的差异来检验假设。χ²值的计算公式中的分子部分(O-E)²表示观察频数与期望频数的平方差值，分母部分E表示期望频数。χ²值越大，说明观察频数与期望频数的差异越大，从而更有理由拒绝原假设。卡方检验的适用条件包括样本量足够大，且每个类别的期望频数都不小于5，这是为了确保χ²分布的近似效果；数据必须来自随机抽样，以保证样本的代表性；变量必须是分类变量，因为卡方检验是针对分类变量设计的。2.解释卡方独立性检验和卡方同质性检验的区别。答案：卡方独立性检验用于分析两个分类变量之间是否存在关联，而卡方同质性检验用于比较多个总体中某个分类变量的分布是否相同。具体来说，独立性检验的原假设是两个分类变量相互独立，同质性检验的原假设是多个总体中某个分类变量的分布相同。如果拒绝独立性检验的原假设，说明两个分类变量之间存在关联；如果拒绝同质性检验的原假设，说明多个总体中某个分类变量的分布不同。解析：卡方独立性检验和卡方同质性检验都是卡方检验的应用，但它们的研究目的不同。独立性检验关注的是两个分类变量之间是否存在关联，例如，我们可以检验性别与是否喜欢某种颜色之间是否存在关联。同质性检验关注的是多个总体中某个分类变量的分布是否相同，例如，我们可以比较三个班级的学生成绩分布是否相同。独立性检验的原假设是两个分类变量相互独立，同质性检验的原假设是多个总体中某个分类变量的分布相同。如果拒绝独立性检验的原假设，说明两个分类变量之间存在关联；如果拒绝同质性检验的原假设，说明多个总体中某个分类变量的分布不同。3.描述卡方检验的统计量χ²的计算过程。答案：卡方检验的统计量χ²的计算过程如下：首先，根据样本数据和假设分布计算每个类别的期望频数；然后，计算每个类别的观察频数与期望频数的差值；接着，将每个差值平方后除以对应的期望频数；最后，将所有类别的计算结果相加，得到χ²值。公式为χ²=Σ((O-E)²/E)。解析：卡方检验的统计量χ²的计算过程分为四个步骤。首先，根据样本数据和假设分布计算每个类别的期望频数。期望频数是根据样本量和类别比例计算得到的。例如，如果有100个样本，某个类别的比例是0.2，那么该类别的期望频数就是100×0.2=20。然后，计算每个类别的观察频数与期望频数的差值。接着，将每个差值平方后除以对应的期望频数。这是因为卡方检验的统计量χ²是通过对每个类别的差值进行加权求和得到的，权重为期望频数。最后，将所有类别的计算结果相加，得到χ²值。4.说明卡方检验的p值的意义及其判断标准。答案：卡方检验的p值表示在原假设成立的情况下，观察到当前χ²值或更极端χ²值的概率。如果p值小于显著性水平α，则拒绝原假设；如果p值大于或等于α，则不能拒绝原假设。常见的显著性水平有0.05、0.01等。p值越小，说明检验结果越显著。解析：卡方检验的p值是依据统计量χ²的分布计算的。具体来说，p值表示在原假设成立的情况下，观察到当前χ²值或更极端χ²值的概率。p值的意义在于帮助我们判断检验结果是否显著。如果p值小于显著性水平α，则拒绝原假设，认为观察到的差异是显著的；如果p值大于或等于α，则不能拒绝原假设，认为观察到的差异不是显著的。常见的显著性水平有0.05、0.01等。p值越小，说明检验结果越显著，我们越有理由怀疑原假设不成立。5.列举卡方检验在实际应用中的三个例子，并简要说明其作用。答案：卡方检验在实际应用中的三个例子包括：1）检验性别与是否喜欢某种颜色之间是否存在关联；2）比较三个班级的学生成绩分布是否相同；3）检验吸烟与肺癌发病率之间是否存在关联。卡方检验的作用在于帮助我们判断分类变量之间是否存在关联，或者多个总体中某个分类变量的分布是否相同。解析：卡方检验在实际应用中有很多例子。例如，1）检验性别与是否喜欢某种颜色之间是否存在关联。我们可以调查一定数量的男性和女性，询问他们是否喜欢某种颜色，然后使用卡方独立性检验来判断性别与是否喜欢某种颜色之间是否存在关联。2）比较三个班级的学生成绩分布是否相同。我们可以调查三个班级的学生成绩，然后使用卡方同质性检验来判断三个班级的学生成绩分布是否相同。3）检验吸烟与肺癌发病率之间是否存在关联。我们可以调查一定数量的吸烟者和不吸烟者，询问他们是否患有肺癌，然后使用卡方独立性检验来判断吸烟与肺癌发病率之间是否存在关联。卡方检验的作用在于帮助我们判断分类变量之间是否存在关联，或者多个总体中某个分类变量的分布是否相同。三、计算题答案及解析1.某研究者调查了100名不同年龄段的消费者对某种新产品的偏好情况，结果如下表所示。假设检验水平为0.05，请问不同年龄段的消费者对新产品的偏好是否存在显著差异？|偏好程度|18-25岁|26-35岁|36-45岁|46岁以上||----------|--------|--------|--------|--------||非常喜欢|15|20|10|5||比较喜欢|25|30|20|10||一般|30|25|25|20||不喜欢|10|15|15|15|答案：不同年龄段的消费者对新产品的偏好存在显著差异。解析：首先，计算每个类别的期望频数。总样本量为100，每个类别的期望频数=总样本量×类别比例。例如，非常喜欢类别的比例=(15+20+10+5)/100=0.5，因此非常喜欢类别的期望频数=100×0.5=50。计算所有类别的期望频数如下表所示：|偏好程度|18-25岁|26-35岁|36-45岁|46岁以上|期望频数||----------|--------|--------|--------|--------|--------||非常喜欢|15|20|10|5|50||比较喜欢|25|30|20|10|50||一般|30|25|25|20|50||不喜欢|10|15|15|15|25|然后，计算χ²值。χ²=Σ((O-E)²/E)=((15-50)²/50)+((20-50)²/50)+((10-50)²/50)+((5-50)²/50)+((25-50)²/50)+((30-50)²/50)+((20-50)²/50)+((10-50)²/50)+((30-50)²/50)+((25-50)²/50)+((25-50)²/50)+((20-50)²/50)+((10-25)²/25)+((15-25)²/25)+((15-25)²/25)+((15-25)²/25)=4.5+4.5+4.5+4.5+4.5+4.5+4.5+4.5+4.5+4.5+4.5+4.5+4.5+4.5+4.5+4.5=72。自由度=(行数-1)×(列数-1)=(4-1)×(4-1)=9。查卡方分布表，χ²=72，自由度=9，p值<0.05。因此，拒绝原假设，认为不同年龄段的消费者对新产品的偏好存在显著差异。2.某公司想要了解其产品的包装颜色是否会影响消费者的购买意愿。他们随机调查了200名消费者，结果如下表所示。假设检验水平为0.01，请问包装颜色与购买意愿之间是否存在显著关联？|购买意愿|蓝色包装|红色包装|绿色包装||----------|--------|--------|--------||购买|60|50|40||不购买|40|50|60|答案：包装颜色与购买意愿之间存在显著关联。解析：首先，计算每个类别的期望频数。总样本量为200，每个类别的期望频数=总样本量×类别比例。例如，购买类别的比例=(60+50+40)/200=0.75，因此购买类别的期望频数=200×0.75=150。计算所有类别的期望频数如下表所示：|购买意愿|蓝色包装|红色包装|绿色包装|期望频数||----------|--------|--------|--------|--------||购买|60|50|40|150||不购买|40|50|60|50|然后，计算χ²值。χ²=Σ((O-E)²/E)=((60-150)²/150)+((50-150)²/150)+((40-150)²/150)+((40-50)²/50)+((50-50)²/50)+((60-50)²/50)=36+36+36+0.4+0+0.4=109.8。自由度=(行数-1)×(列数-1)=(2-1)×(3-1)=2。查卡方分布表，χ²=109.8，自由度=2，p值<0.01。因此，拒绝原假设，认为包装颜色与购买意愿之间存在显著关联。3.某学校想要了解其学生的视力状况。他们随机调查了300名学生，结果如下表所示。假设检验水平为0.10，请问不同性别的学生的视力状况是否存在显著差异？|视力状况|男生|女生||----------|----|----||正常|150|120||轻度近视|60|80||中度近视|30|40||高度近视|20|30|答案：不同性别的学生的视力状况不存在显著差异。解析：首先，计算每个类别的期望频数。总样本量为300，每个类别的期望频数=总样本量×类别比例。例如，正常类别的比例=(150+120)/300=0.7，因此正常类别的期望频数=300×0.7=210。计算所有类别的期望频数如下表所示：|视力状况|男生|女生|期望频数||----------|----|----|--------||正常|150|120|210||轻度近视|60|80|70||中度近视|30|40|35||高度近视|20|30|35|然后，计算χ²值。χ²=Σ((O-E)²/E)=((150-210)²/210)+((120-210)²/210)+((60-70)²/70)+((80-70)²/70)+((30-35)²/35)+((40-35)²/35)+((20-35)²/35)+((30-35)²/35)=12.86+12.86+0.43+0.43+0.86+0.86+6.43+0.86=35.34。自由度=(行数-1)×(列数-1)=(4-1)×(2-1)=3。查卡方分布表，χ²=35.34，自由度=3，p值<0.10。因此，不能拒绝原假设，认为不同性别的学生的视力状况不存在显著差异。四、分析题答案及解析1.某研究者进行了一项关于吸烟与肺癌发病率的调查，结果如下表所示。假设检验水平为0.05，请问吸烟与肺癌发病率之间是否存在显著关联？请解释你的结论，并说明在实际应用中的意义。|吸烟情况|肺癌发病率|非肺癌发病率||----------|----------|----------||吸烟|30|70||不吸烟|10|90|答案：吸烟与肺癌发病率之间存在显著关联。解析：首先，计算每个类别的期望频数。总样本量为200，每个类别的期望频数=总样本量×类别比例。例如，肺癌发病率类别的比例=(30+10)/200=0.2，因此肺癌发病率类别的期望频数=200×0.2=40。计算所有类别的期望频数如下表所示：|吸烟情况|肺癌发病率|非肺癌发病率|期望频数||----------|----------|----------|--------||吸烟|30|70|40||不吸烟|10|90|60|然后，计算χ²值。χ²=Σ((O-E)²/E)=((30-40)²/40)+((70-70)²/70)+((10-60)²/60)+((90-90)²/90)=2.5+0+60+0=62.5。自由度=(行数-1)×(列数-1)=(2-1)×(2-1)=1。查卡方分布表，χ²=62.5，自由度=1，p值<0.05。因此，拒绝原假设，认为吸烟与肺癌发病率之间存在显著关联。在实际应用中，这个结论提示我们吸烟可能会增加肺癌的发病率，因此应该加强控烟宣传，提高公众的健康意识。2.某公司想要了解其产品的广告效果。他们进行了为期一个月的广告宣传，随机调查了500名消费者，结果如下表所示。假设检验水平为0.01，请问广告宣传是否显著提高了产品的知名度？请解释你的结论，并说明在实际应用中的意义。|广告效果|知名度提高|知名度未提高||----------|----------|----------||广告宣传|200|100||未宣传|100|200|答案：广告宣传显著提高了产品的知名度。解析：首先，计算每个类别的期望频数。总样本量为500，每个类别的期望频数=总样本量×类别比例。例如，知名度提高类别的比例=(200+100)/500=0.6，因此知名度提高类别的期望频数=500×0.6=300。计算所有类别的期望频数如下表所示：|广告效果|知名度提高|知名度未提高|期望频数||----------|----------|----------|--------||广告宣传|200|100|300||未宣传|100|200|200|然后，计算χ²值。χ²=Σ((O-E)²/E)=((200-300)²/300)+((100-300)²/300)+((100-200)²/200)+((200-200)²/200)=33.33+33.33+50+0=116.66。自由度=(行数-1)×(列数-1)=(2-1)×(2-1)=1。查卡方分布表，χ²=116.66，自由度=1，p值<0.01。因此，拒绝原假设，认为广告宣传显著提高了产品的知名度。在实际应用中，这个结论提示我们广告宣传可以显著提高