度初中数学期末考试卷-2-1433077523912448-686-A4

答案第=page4242页，共=sectionpages4242页2024-2025学年度初中数学期末考试卷-2试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1．如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，，杯中水面与的交点为E，当水杯底面与水平面的夹角为时，杯中水的最大深度为（）A． B． C． D．2．在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、在坐标轴上，且，顶点、在反比例函数的图象上，在的延长线上取一点，使，过点作交轴于点，当时，的值为（）A．8 B．12 C． D．163．如图，中，若，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（

）A． B． C． D．4．如图，在平面直角坐标系中，线段的端点A的坐标为，端点B的坐标为，点C是线段上的点，将点B绕点C逆时针旋转得到点D，若函数的图象过点D，则k的值一定满足（）

A． B． C． D．5．如图，是线段在投影面上的正投影，已知，，则投影的长为（

）

A． B．C． D．6．如图，在中，，点为边的中点，若，则长为（

）A．6 B．7 C．8 D．97．函数与的图象如图所示，当（

）时，，均随着的增大而减小．A． B． C． D．8．2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（）

A．千米 B．千米 C．千米 D．千米9．如图，在平面直角坐标系中，的顶点、均在函数的图像上，顶点在函数的图像上，且轴，轴，若，则线段AB的长为（

）A． B． C． D．210．如图是椭圆机在使用过程中某时刻的侧面示意图，已知手柄垂直于滚轮连杆，即．若，，连杆与底座的夹角为，则该椭圆机手柄顶端到底座的距离为（

）A． B．C． D．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题11．计算：．12．将直线：向右平移3个单位得到直线，直线对应的函数关系式为．13．如图，O是正△ABC内一点，，，，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，下列结论正确的有．(请填序号)①点O与的距离为4；②；③；④．14．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是．15．计算：．16．如图，在中，，，，将边沿翻折，使点落在边上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、．则线段的长为．17．大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm，则蜡烛火焰的高度是cm．三、解答题18．学校为培养学生的艺术素养，在学期初专门开设了三门美术类校本课程：A（素描）、B（丙烯画）、C（橡皮章）．小欣和小宇两位同学决定从这三门课程中各自随机选择一门进行学习（每门课程被选中的可能性相同）．请通过画树状图（或列表）的方法，求出他们恰好选择了同一门美术课程的概率．19．如图，在中，，平分交于点，过点分别作交于点，交于点．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，则长为___________．20．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．图①中点、均为格点；图②中点是格点，点在格线上；图③中，点、、均是格点，点、分别为线段、与格线的交点．只用无刻度的直尺，分别在图①、图②、图③中作出线段的中点．21．某校航模社团进行无人机表演训练，甲无人机以米/秒的速度从地面起飞，同时，乙无人机以米/秒的速度从距离地面21米的位置起飞，6秒时甲无人机到达指定高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行，当甲、乙无人机同时到达距离地面72米高度时，进行了一段联合表演，表演结束后同时以6米/秒的速度返回地面．甲、乙两架无人机距离地面的高度（米）与飞行时间（秒）之间的函数图象如图所示．(1)___________，___________，___________；(2)求线段所在直线的函数关系式；(3)当甲、乙两架无人机距地面的高度差为18米时，直接写出的值．22．如图，在中，，，，点是边的中点，点是边上一点，当点不与，重合时，以为边作正方形，使点和点在直线同侧．(1)直接写出线段的长___________；(2)当时，求正方形的面积；(3)当正方形与重叠部分是四边形且为轴对称图形时，直接写出的取值范围；(4)当与的边所在直线有交点时，记交点为，连结；当将正方形的面积分为两部分时，直接写出的长．（写出两个即可）23．如图，在中，，，点是的中点．点在的边上，连结，作点关于直线的对称点，连结，．

(1)点到的距离为______；(2)当点与点重合时，求线段的长；(3)连结，求线段长的最小值；(4)若，直接写出线段的长．24．在中，，点是的中点，点在边上，过点作的垂线，交直线于点．【特例感知】如图①，当点与点重合时，，请说明理由．【提出问题】如图②，当点与点不重合时，还成立吗？【解决问题】答：图②中的依然成立；下面是针对点在线段上的情形进行的一种证明，请你补充完整：如图③，取中点，连结，，．，．点是的中点，，，________________________（填依据），点是的中点，，，即点，，，在以______为直径的圆上．______．由【特例感知】可知，，．【拓展应用】若，，当的面积被的一条边平分时，的长为______．25．用甲、乙两个机器加工一批零件，两个机器同时开始加工，加工一段时间后，甲机器进行检修，乙机器以原来的效率加工，检修结束后，甲机器提高工作效率继续加工，两个机器共用了完成任务，两个机器加工的零件总数（件）与乙机器加工时间之间的函数图象如图所示．

(1)乙机器的工作效率是______件，甲机器提速后的工作效率是______件；(2)当时，求与之间的函数关系式；(3)当甲机器加工个零件时，的值为______．26．如图，在四边形中，，，对角线交于O，平分．(1)求证：四边形是菱形；(2)过点C作的垂线交其延长线于点E，若，，求的长．27．动物分为无脊椎动物和脊椎动物，其中脊椎动物又分为：鱼类、两栖类、爬行类、鸟类和哺乳动物．下面有三张正面印有不同动物的卡片，A是老虎，B是燕子，C是鹦鹉，三张卡片除正面印的动物不同，其余均相同，将三张卡片背面向上放在桌面上．先从中随机抽取一张，记下动物名称后放回，再从中随机抽取一张，并记下动物名称．请用画树状图（或列表）的方法求抽取的两张卡片都是鸟类的概率．28．计算：(1)；(2)．29．如图，在四边形中，平分，．(1)求证：；(2)若，，求的面积．30．如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点A测得该楼顶部点C的仰角为，测得底部点B的俯角为，点A与楼的水平距离，求这栋楼的高度（结果保留根号）．31．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：(1)在图1中，过点B画边上的高（H为垂足）．(2)在图2中，在边上找一点D，连结，使．(3)在图3中，在边上找一点P，画射线，使．32．如图，在中，，于点D，．动点P以每秒5个单位长度的速度从点C出发沿向终点B运动，过点P作于点Q，以与为边作．设点P的运动时间为t（s）（），与的重叠部分图形的面积为S．(1)______．(2)当点M落在边上时，求t的值．(3)当与的重叠部分图形是四边形时，求S与t之间的函数关系式．(4)连结，当与的一条边垂直时，直接写出t的值．33．如图，为等边三角形，，于点，点在线段上运动，当点不与点重合时，过点作的垂线交折线于点，交边于点F，以、为边作矩形，设线段的长为．(1)线段的长为______；(2)当点在线段上时，用含的代数式表示线段的长，并直接写出的取值范围；(3)作点关于直线的对称点，作直线.当点在边上时，若，求线段的长；当直线将矩形分成两部分图形的面积比为时，直接写出的值．34．用甲、乙两个机器加工一批零件，两个机器同时开始加工，加工一段时间后，甲机器进行检修，乙机器以原来的效率加工，检修结束后，甲机器提高工作效率继续加工，两个机器共用了完成任务，两个机器加工的零件总数（件）与乙机器加工时间之间的函数图象如图所示．

(1)乙机器的工作效率是______件，甲机器提速后的工作效率是______件；(2)当时，求与之间的函数关系式；(3)当甲机器加工个零件时，的值为______．35．有某种零件共个，其中既有正品又有次品．已知从这个零件中随机取出一件，取得的零件为次品的概率为．(1)这个零件中有正品______件；(2)如果从这个零件中随机取出个零件，用画树状图（或列表）的方法，求取出的个零件都是正品的概率《2024-2025学年度初中数学期末考试卷-2》参考答案题号12345678910答案AACABCDACA1．A【分析】本题主要考查矩形的性质、含30度直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握矩形的性质、含30度直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键；由题意易得，，然后可得，进而问题可求解．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，由题意可知：，也垂直于水平面，∵水杯底面与水平面的夹角为，∴，∴，∵，∴，∴；故选A．2．A【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数的图象与性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键；过点D作于点H，由题意易得，然后可得，则有，根据是等腰直角三角形可得，进而可得，最后问题可求解．【详解】解：过点D作于点H，如图示：∵四边形是正方形，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；故选A．3．C【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，含30度角的直角三角形的性质．由作图方法可知垂直平分，平分，则由角平分线的定义可得，即可判断A；利用三角形内角和定理得到，即可判断B；利用三角形内角和定理得到，即可判断C；利用三角形内角和定理和对顶角线段得到，即可判断D．【详解】解：由作图方法可知垂直平分，平分，∴，故A结论正确，不符合题意；∴，∴，∴，故C结论错误，符合题意；∵，，∴，故B结论正确，不符合题意；∵，∴，故D结论正确，不符合题意；故选：C．4．A【分析】由题意设，其中，则，代入，得，根据二次函数的性质即可求得k的取值．【详解】解：由题意设，其中，∴，∴，即，∵函数的图象过点D，∴，∴当时，k有最大值为，∵当时，，当时，，∴当时，，故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化与旋转，二次函数的性质，表示出点D的坐标是解题的关键．5．B【分析】本题考查正投影，解直角三角形，过B点作，利用锐角三角函数求出的长即可．【详解】解：如图，过B点作，是线段在投影面上的正投影，，，四边形是矩形，，，，，，，故选B．6．C【分析】本题考查了勾股定理和直角三角形性质定理，熟记性质是解题的关键．先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，再由勾股定理即可求得的长．【详解】解：在中，，点为边的中点，，又，，，由勾股定理得：，故选：C．7．D【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当时，随着的增大而减小；位于在一、三象限内，且均随着的增大而减小，据此即可得到答案．【详解】解：由函数图象可知，当时，随着的增大而减小；位于一、三象限内，且在每一象限内均随着的增大而减小，当时，，均随着的增大而减小，故选：D．8．A【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键，根据锐角的正弦函数的定义即可求解【详解】解：由题意得：∴千米故选：A9．C【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征．设点的横坐标为，根据函数图像上点的坐标特征可得，继而得到，，得出，，再根据，即可得解．理解和掌握函数图像上点的坐标特征是解题的关键．【详解】解：延长交轴于点，延长交轴于点，∴轴，轴，设点的横坐标为，∵点在函数的图像上，当时，得，∴，∴点的纵坐标为，点的横坐标为，∵顶点、均在函数的图像上，当时，得；当时，得；∴，，∴，，∵，∴，∴或（舍去），∴．故选：C．10．A【分析】本题考查解直角三角形的应用点作于点，交于点，在和中分别求出和即可．正确作出辅助线构造直角三角形并熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．【详解】解：如图，点作于点，交于点，∴，∵，，，，∴，在中，，∴，∴，在中，，∴，∴该椭圆机手柄顶端到底座的距离为．故选：A．11．【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键；因此此题可根据二次根式的运算进行求解．【详解】解：；故答案为．12．【分析】本题考查了直线的平移，可得直线经过，此点向右平移3个单位得，由待定系数法，即可求解；掌握直线的平移的前后的值不变是解题的关键．【详解】解：当时，，直线经过，此点向右平移3个单位得，设直线对应的函数关系式为：，，解得：，直线对应的函数关系式为；故答案为：．13．①②④【分析】连接，根据旋转的性质即可得到为等边三角形，进而可求证①②③的正确性，然后将△AOB绕点A逆时针旋转60°至，连接OD，易得△ACD也为等边三角形，由此可求解．【详解】解：连接，如图所示：∵线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，∴，，∴为等边三角形，∵，，，∴，，故①正确；∴，∴，∴，故②正确；过点B作BE⊥于点E，如图所示，∴，∴，∴，∴，故③错误；将△AOB绕点A逆时针旋转60°至，连接OD，如图所示：同理易得△AOD为等边三角形，OD=OA=3，OB=DC=4，∠ODC=90°，∴，故④正确；∴正确的有①②④；故答案为①②④．【点睛】本题主要考查勾股定理逆定理、等边三角形的性质与判定及旋转的性质，熟练掌握勾股定理逆定理、等边三角形的性质与判定及旋转的性质是解题的关键．14．//【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的判别式，解题关键是熟练掌握一元二次方程的判别式．根据有两个不相等的实数根，列出不等式，解不等式即可．【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，即．故答案为：．15．2【分析】本题考查二次根式的运算，先化简二次根式，再进行减法运算．【详解】解：，故答案为：2．16．/【分析】本题是折叠问题，考查了勾股定理，等腰三角形的判定、等面积法，根据翻折的性质可知，根据勾股定理得，再根据等角对等边和三角形的面积即可求解．解题的关键是熟练运用等面积法．【详解】解：根据两次翻折可知：，，，∵，，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故答案为：．17．6【分析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可．【详解】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为xcm，则：，解得：，即蜡烛火焰的高度为6cm，故答案为：6．【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．18．【分析】本题考查了等可能情形下的概率计算；画树状图法或列表法，可得所有的结果，利用概率计算公式，进行计算即可；能画树状图法或列表法进行求解是解题的关键．【详解】解：列表如下：共有种等可能结果，他们恰好选择了同一门美术课程的结果有种，，答：他们恰好选择了同一门美术课程的概率为．19．(1)见详解(2)【分析】本题主要考查三角函数、菱形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握三角函数、菱形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键；（1）由题意易得四边形是平行四边形，，然后可得，则有，进而问题可求证；（2）由（1）可知：四边形是菱形，则有，然后可得，则可求出，进而根据勾股定理可进行求解．【详解】（1）证明：∵，，∴四边形是平行四边形，，∵平分，∴，∴，∴四边形是菱形；（2）解：由（1）可知：四边形是菱形，∴，∵，∴，∵，∴，设，由勾股定理得：，即，∴（负根舍去），∴，∴，∴．20．作法不唯一，见解析【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，矩形的性质，三角形的中线，无刻度的直尺作图，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．图①中，利用矩形对角线互相平分即可作图：连接对角线，，交于点；图②中，利用平行线分线段成比例即可作图：连接，交中间竖格线于点；图③中，利用相似可知只需作出中点，再与点连接即可交于点，再由连接，，交于点，连接并延长交于点，即为线段的中点．【详解】解：如图①，连接对角线，，交于点，点即为线段的中点（作法不唯一），理由如下：由四边形是矩形，则，则点即为线段的中点；如图②，连接，交中间竖格线于点，点即为线段的中点（作法不唯一），理由如下：∵，，∴，∴，则点即为线段的中点；如图③，连接，，交于点，连接并延长交于点，交于点，则点即为线段的中点（作法不唯一），理由如下：由矩形对角线性质可得为中点，∴为中线，由，，∴，∴，即为中点，为中线，∴为中线，∴，∵由，∴，∴，同理可得，∴，∴，则点即为线段的中点．21．(1)6，3，57(2)(3)或【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式及速度、路程、时间之间的关系是解题的关键．（1）甲秒钟飞行了36米，乙秒飞行了米，可求得甲、乙的速度，再求得表演结束后返回地面需要的时间，得到；（2）根据点到点的飞行速度与秒的飞行速度相同，先求出点的坐标，再利用待定系数法求线段所在直线的函数解析式即可；（3）先求得那么秒甲的表达式为：，再秒乙的表达式为，分别求出在秒，秒，秒，由甲、乙两函数差为18，可列出方程，最后算得答案．【详解】（1）解：6，3，57，理由如下：甲秒钟飞行了36米，那么甲的速度为：（米/秒），故；乙秒飞行了（米），那么乙的速度为：（米/秒），故；表演结束后同时以6米/秒的速度返回地面，那么需要的时间为：（秒），所以（秒），故；故答案为：6，3，57；（2）解：观察图象可知，点到点，甲飞行了（米），根据题意，点到点的飞行速度与秒的飞行速度相同，那么从点飞到点需要的时间为（秒），点横坐标为，，设直线为，代入，，得到，解得，；线段所在直线的函数关系式为：；（3）解：设秒乙的表达式为：，代入和，得到，解得，；设秒甲的表达式为：，代入，可得，解得，那么秒甲的表达式为：，当时间在秒，当甲、乙两架无人机距地面的高度差为18米时，有，解得：，当时间在秒，当甲、乙两架无人机距地面的高度差为18米时，有，解得：，当时间在秒，当甲、乙两架无人机距地面的高度差为18米时，有，解得：，答：当甲、乙两架无人机距地面的高度差为18米时，或．22．(1)10(2)(3)或．(4)2或或【分析】（1）根据勾股定理求解即可；（2）作于，证明求出根据勾股定理求出的值即可求出正方形的面积；（3）设交于点，根据题意可知，当正方形与重叠部分是四边形且为轴对称图形时，当重叠部分是正方形或时，四边形是轴对称图形；（4）当是中点时将正方形的面积分为两部，分两种情况讨论：过的中点；过的中点；的延长线过于点．【详解】（1）解：，，，∴.故答案为：10；（2）解：如图，作于H，∵点是边的中点，，∴.∵，，∴.∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴正方形的面积；（3）当点在上时，正方形与重叠部分是四边形是正方形且为轴对称图形，如图，，，，，，当点在上时，正方形与重叠部分是四边形是正方形且为轴对称图形，如图，，，，，若点从向运动，在这一运动过程中，从点在上到点在上这个过程中，正方形与重叠部分是四边形都是正方形且为轴对称图形，，设交于点，当时，，，在和中，，，四边形是以所在直线为对称轴的轴对称图形，由得，，，综上可知，或．（4）分情况讨论：当过的中点时，将正方形的面积分为两部分，过点作于点，在中，，在中，，，设，则，，，，，即：，，，当过的中点时，将正方形的面积分为两部分，如图，作矩形，使点在上，过点作于点，，，，，，，，，，，，，中，，，又，，，，，令，则，，，，，解得，；当的延长线过的中点时，将正方形的面积分为两部分，则，过点于点，，，，，，，，设，，，，解得，，，，综上所述，或6或8．【点睛】本题综合考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，轴对称的图形的性质，正方形的性质，三角函数及分类讨论思想，解题的关键是灵活构造辅助线，数形结合简化问题．23．(1)；(2)；(3)线段长的最小值是；(4)若，线段的长为或．【分析】（1）作交于点，结合解直角三角形计算可得，解得，再由勾股定理可得点到的距离的长；（2）由折叠性质可知，当点与点重合时，有，结合解直角三角形计算即可求得线段的长；（3）先由题意得到的运动轨迹为以点为圆心，为半径的圆，结合图形可得当点在线段和靠近点的一边时，线段取最小值，作交于点，根据解直角三角形的计算和勾股定理进行计算即可得解；（4）分两种情况求解：①点在中点左边，先作交于点，利用解直角三角形的计算和勾股定理求出长，再由中位线定理可得，通过证明、平行线性质、等腰三角形性质推得后即可得到；②点在中点右边，结合平行线性质和全等三角形性质推得后可得．【详解】（1）解：作交于点，

，点是的中点，，，，，，即点到的距离为．故答案为：．（2）解：由对称性质可知，当点与点重合时，有，如下图，

此时，．（3）解：点是点关于直线的对称点，直线是线段的垂直平分线，，即点在以点为圆心，为半径的圆上运动，则线段取最小值时，点在线段和靠近点的一边，

此时，作交于点，，，，，，，．故线段长的最小值是．（4）解：由题意知，当时，分两种情况求解：①点在中点左边，连接，作交于点，

，，，，，，，点是的中点，点是的中点，是的中位线，，，直线是线段的垂直平分线，，，和中，，，，，，，，，，，，；②点在中点右边，

同理可证，，又，，即，，点是的中点，，．综上，若，线段的长为或．【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形、勾股定理、对称性质、中位线定理、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等角对等边，解题关键是分析出的运动轨迹及分情况讨论．24．【特例感知】证明见解析；【解决问题】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；；；【拓展应用】或．【分析】【特例感知】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质即可得证；【解决问题】取中点，连结，，，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、四点共圆的判定与性质、圆周角定理得到，再利用【特例感知】的结论解答即可；【拓展应用】利用分类讨论的思想分两种情况讨论：①当平分的面积时，设与交于点，过点作于点，结合中位线定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三线合一即可得解；②当平分的面积时，设与交于点，过点作交于点，利用同高的三角形的面积性质得到，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解一元一次方程即可得解．【详解】【特例感知】证：当点与点重合时，，点是的中点，，．【解决问题】解：图②中的依然成立，如图③，取中点，连结，，，，，点是的中点，，，__直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半_（填依据），点是的中点，，，即点，，，在以_____为直径的圆上，___．由【特例感知】可知，，．故答案为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；；．【拓展应用】解：，，，，①当平分的面积时，设与交于点，过点作于点，如图：，，，点是中点，是的中位线，，，平分的面积，，即，、，和中，，，，，，又，是等腰直角三角形，是的垂线，也是该等腰直角三角形的中线，，；②当平分的面积时，设与交于点，过点作交于点，如图：平分的面积，，，是斜边上的中线，，，，和中，，，，，设，则，，，，，，，，点是的中点，，，，中，，即，解得，即；综上所述，的长为或．故答案为：或．【点睛】本题考查的知识点是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、四点共圆的判定与性质、圆周角定理、中位线定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三线合一、同高的三角形的面积性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解一元一次方程，解题关键是利用分类讨论的思想解题．25．(1)；(2)(3)【分析】本题考查从函数图象中获取信息，一次函数的应用，一元一次方程的应用，（1）由函数图象列式可得甲和乙的工作效率；（2）当时，设与之间的函数关系式为，再将和代入得到关于、的二元一次方程组，求解可得答案；（3）先求出甲机器提速前的工作效率，然后根据题意列出关于的方程即可．【详解】（1）解：∵（件），∴乙的工作效率是件，∵（件），∴甲机器提速后的工作效率是件，故答案为：；；（2）解：设当时，关于的函数解析式为，将和代入得：，解得：，∴与之间的函数关系式为；；（3）解：甲机器提速前的工作效率：，甲机器提速后的工作效率：，依题意，得：，解得：，∴甲机器加工个零件时，所需时间为，的值为．故答案为：．26．(1)见解析(2)【分析】此题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．（1）先证，再证，得，然后证四边形是平行四边形，即可得出结论；（2）根据菱形的性质结合三角函数得出，，求出，在中，解直角三角形，即可得出结论．【详解】（1）证明：平分，，，，，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形；（2）解：四边形是菱形，，，，中，，，，，，过点C作的垂线交其延长线于点E，，中，，．27．【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．画出树状图，共有9个等可能的结果，两次抽出的卡片图案相同的结果有4种，再由概率公式求解即可．【详解】解：根据题意画树状图如下：共有9个等可能的结果，抽取的两张卡片都是鸟类有4种，所以，（两次抽出的卡片图案相同）．28．(1)(2)【分析】本题考查了三角函数值的混合运算，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．（1）根据特殊角的三角函数值，进行计算即可求解；（2）根据特殊角的三角函数值，进行计算即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：．29．(1)证明见解析(2)37.5【分析】（1）根据所给条件证出，即可得出；（2）先根据三角函数求出的值，再根据勾股定理求出的值，最后根据和三角形面积公式求解即可．【详解】（1）证明：∵平分，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，，∴，在中，，，，∴，由（1）知，∴，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，三角函数和勾股定理是解题的关键．30．这栋楼的高度为【分析】本题考查解直角三角形—仰角俯角问题．注意准确构造直角三角形是解答此题的关键．根据题意得，然后利用三角函数求解即可．【详解】解：依题意，．在中，，在中，，∴，答：这栋楼的高度为．31．(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】本题主要考查了格点作图，解直角三角形，相似三角形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．（1）取格点，连接，延长交于，则即为所求；（2）由三角形面积可知，，取格点、，连接、、，利用相似三角形对应边成比例可知，与的交点为点，（3）取格点、、，连接、交于点，连接交于点，点即为所求．【详解】（1）解：如图所示，即为所求；取格点，连接，延长交于，则即为所求；由网格的特点可知，则；（2）解：如图所示，即为所求；，，，，即求的三等分点；取格点、，连接、、，与的交点为点；（3）解：如图所示，点即为所求；取格点、、，连接、交于点，连接交于点，点即为所求；由网格的特点可知，，，则，即．32．(1)(2)(3)(4)【分析】（1）解直角三角形求出，进而求出，再根据正切的定义即可解答；（2）由题意可得，根据勾股定理求得，证明，得到，求出，根据平行四边形的性质可得，当点M在边上时，易证，从而可得，即，即可求解；（3）分三种情况：①当时，；②当时，分别交于点G、点H，，③当时，交于点K，，分别进行求解即可；（3）分两种情况：①当时，则时平行四边形；②当时，易证，分别进行求解即可．【详解】（1）解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，在中，；（2）解：由题意可得，∵，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∵四边形是平行四边形，∴，当点M在边上时，∴，∴，即，∴，即，解得：；（3）解：①当时，如图，此时，重叠部分的面积为：，由（2）知，∴，；∵，则，∴点P运动到点D的时间为，②当时，分别交于点G、点H，此时，重叠部分的面积为：，∵，∴，即，在中，，∴（负值舍去），∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，，∵，则，∴点P运动到点B的时间为，③当时，交于点K，此时，重叠部分的面积为：，同理②得：，∵，∴，∴，∴，∴，∴，综上所述，；（4）解：①当时，∵，∴，∵，∴时平行四边形，∴，∴∴；②当时，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即，∴，解得：（舍去）或，∴当与的一条边垂直时