2026年高考数学一轮复习 复数（含解析）

高考数学一轮复习复数一．选择题（共8小题）1．（2025•西湖区校级模拟）设i为虚数单位，若复数z=−3−3i1−i，则A．﹣3i B．﹣3 C．3i D．32．（2025春•南宁期末）若z﹣2i＝2+i，则|z|＝（）A．22 B．10 C．13 D．153．（2025春•舟山期末）已知复数z＝2+3i（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．﹣3 B．3 C．﹣3i D．3i4．（2025•沙市区校级模拟）已知a，b∈R，且9−2ia+iA．b＝﹣a2 B．b＝2a C．a＝2b D．|a+b|＝65．（2025春•杭州期末）在复平面内，复数z对应的点的坐标为（1，﹣2），则|z+1|＝（）A．22 B．10 C．3 D．6．（2025春•丹阳市期末）已知复数z满足z•i＝（1+i），则|z|＝（）A．1 B．2 C．2 D．57．（2025春•十堰期末）已知复数z1，z2满足|z1|＝1，|z2|＝2，且z1−z2=2−iA．3 B．5 C．7 D．78．（2025春•安徽期末）已知复数z满足z2+i=3−i，则A．7﹣i B．7+i C．5﹣i D．5+i二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025春•泰州期末）设z是z的共轭复数，则下列说法正确的有（）A．z−z是纯虚数 B．z+zC．zz是实数 D．（多选）10．（2025春•绍兴期末）已知z1＝1+2i，z2＝2﹣i，则（）A．|zB．z1﹣z2的共轭复数是1﹣3i C．z1z2的虚部是3 D．z1（多选）11．（2025春•河南月考）设复数z在复平面内对应的点为Z，i为虚数单位，则下列说法正确的是（）A．若|z1|＝|z2|，则z1B．若|z1﹣z2|＝0，则z1＝z2 C．若z＝3﹣2i，则复数z在复平面内对应的点位于第四象限 D．若1≤|z﹣i|≤2，则点Z的集合所构成的图形的面积为3π（多选）12．（2025春•黄山校级期末）已知i为虚数单位，在复平面内，复数z=2iA．复数z的虚部是45B．|z|＝1 C．复数z的共轭复数是z=−D．复数z对应的点位于第一象限三．填空题（共4小题）13．（2025春•上城区校级期末）复数z满足i（z+i）＝2+i，则|z|＝．14．（2025春•徐汇区期末）设z∈C，且|z|＝1，z与zi（其中i是虚数单位）在复平面上对应的点分别为Z与Z′，则线段ZZ′的长度为．15．（2025春•杨浦区校级期末）已知复数z=a−i1+i为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数a＝16．（2025•杨浦区校级模拟）已知复数z满足：i+2+iz=0（i为虚数单位），则|z四．解答题（共4小题）17．（2025春•河南月考）已知复数z，w是方程x2﹣2x+2＝0的两根，且在复平面内，z对应的点在w对应的点的上方．（1）求z；（2）求|z﹣3w|；（3）求(z18．（2025春•江西月考）已知复数z满足|z|=2（1）求z；（2）若z的实部为正数，z，z2，2z+z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求cos∠BAC．19．（2025春•江西期中）已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1（0，1），Z2（2，﹣1）．（1）若z＝z1﹣z2，求|z|；（2）若复数z＝z1+mz1z2在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围．20．（2025春•贵州期中）已知复数z1＝1+i，z2＝a﹣2i（a∈R）．（1）若z1z2是纯虚数，求a的值；（2）若复数z1z2在复平面内所对应的点位于第四象限内，求a的取值范围．

高考数学一轮复习复数参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2025•西湖区校级模拟）设i为虚数单位，若复数z=−3−3i1−i，则A．﹣3i B．﹣3 C．3i D．3【考点】复数的除法运算．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】A【分析】利用复数的除法化简复数z即可．【解答】解：z=−3−3i1−i=−故选：A．【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．2．（2025春•南宁期末）若z﹣2i＝2+i，则|z|＝（）A．22 B．10 C．13 D．15【考点】复数的模．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】C【分析】先根据已知条件求出复数z，再根据复数的模的计算公式求出|z|．【解答】解：由题意可知，z＝2+i+2i＝2+3i．所以|z|=2故选：C．【点评】本题主要考查复数的模的计算公式，属于基础题．3．（2025春•舟山期末）已知复数z＝2+3i（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．﹣3 B．3 C．﹣3i D．3i【考点】共轭复数；复数的实部与虚部．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】A【分析】利用共轭复数的概念和复数的定义可得出结果．【解答】解：由题意，z=2−3i故选：A．【点评】本题考查复数的应用，属于基础题．4．（2025•沙市区校级模拟）已知a，b∈R，且9−2ia+iA．b＝﹣a2 B．b＝2a C．a＝2b D．|a+b|＝6【考点】复数的除法运算．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】D【分析】利用复数的乘法运算以及复数相等的概念即可求出a，b，再逐一判断．【解答】解：由题意可知，9﹣2i＝（b﹣i）（a+i）＝ab+1+（b﹣a）i，则9＝ab+1，2＝a﹣b，解得a＝4，b＝2或a＝﹣2，b＝﹣4，若a＝4，b＝2，则AB错误，D正确；若a＝﹣2，b＝﹣4，则C错误，D正确．故选：D．【点评】本题主要考查复数的乘法运算以及复数相等的概念，属于基础题．5．（2025春•杭州期末）在复平面内，复数z对应的点的坐标为（1，﹣2），则|z+1|＝（）A．22 B．10 C．3 D．【考点】复数的模．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】A【分析】结合复数的几何意义，以及复数模公式，即可求解．【解答】解：复数z对应的点的坐标为（1，﹣2），则z＝1﹣2i，故|z+1|＝|2﹣2i|=4+4故选：A．【点评】本题主要考查复数的几何意义，以及复数模公式，属于基础题．6．（2025春•丹阳市期末）已知复数z满足z•i＝（1+i），则|z|＝（）A．1 B．2 C．2 D．5【考点】复数的模；复数的除法运算．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】B【分析】根据复数的除法运算先求解z，然后计算模．【解答】解：由已知可得z=i+则|z|=1故选：B．【点评】本题考查复数的除法，复数的模，属于基础题．7．（2025春•十堰期末）已知复数z1，z2满足|z1|＝1，|z2|＝2，且z1−z2=2−iA．3 B．5 C．7 D．7【考点】复数的模．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】D【分析】根据复数的几何意义与加减法的平行四边形法则，结合余弦定理得出|z1+z2|，从而得出结论．【解答】解：设z1，z2在复平面内对应的向量分别为OZ1→由题意可知|OZ1→−则以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形中，∠Z1OZ2＝60°；在△OZ1Z2中，由余弦定理可得|z故选：D．【点评】本题主要考查复数的几何意义，以及余弦定理，属于基础题．8．（2025春•安徽期末）已知复数z满足z2+i=3−i，则A．7﹣i B．7+i C．5﹣i D．5+i【考点】复数的除法运算．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】B【分析】结合复数的四则运算法则，即可求解．【解答】解：复数z满足z2+i则z＝（2+i）（3﹣i）＝7+i．故选：B．【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025春•泰州期末）设z是z的共轭复数，则下列说法正确的有（）A．z−z是纯虚数 B．z+zC．zz是实数 D．【考点】共轭复数；复数的模．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】BCD【分析】利用复数的概念，四则运算及模长公式逐项验证即可．【解答】解：设复数z＝a+bi（a，b∈R），所以z−z=2bi，当b＝0时，z−zz−z=2a∈R，故zz=a|z−z|=|2bi|=|2b|，所以|z−z|≤2|z故选：BCD．【点评】本题主要考查复数的概念，复数模公式，属于基础题．（多选）10．（2025春•绍兴期末）已知z1＝1+2i，z2＝2﹣i，则（）A．|zB．z1﹣z2的共轭复数是1﹣3i C．z1z2的虚部是3 D．z1【考点】复数的运算；复数的模．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】ACD【分析】对于A，由复数的加法运算和复数的模的计算公式可判断；对于B，由复数的减法运算及共轭复数的概念即可判断；对于C，由复数的乘法运算可求得z1z2，进而求其虚部；对于D，由复数的除法运算即可求解判断．【解答】解：z1+z2＝1+2i+2﹣i＝3+i，∴|z1+z1﹣z2＝（1+2i）﹣（2﹣i）＝﹣1+3i，故z1﹣z2的共轭复数是﹣1﹣3i，故B错误；z1z2＝（1+2i）（2﹣i）＝4+3i，∴z2z2的虚部是3，故C正确；z1＝1+2i，z2＝2﹣i，则z1z2=1+2i故选：ACD．【点评】本题主要考查复数的四则运算，复数的概念，属于基础题．（多选）11．（2025春•河南月考）设复数z在复平面内对应的点为Z，i为虚数单位，则下列说法正确的是（）A．若|z1|＝|z2|，则z1B．若|z1﹣z2|＝0，则z1＝z2 C．若z＝3﹣2i，则复数z在复平面内对应的点位于第四象限 D．若1≤|z﹣i|≤2，则点Z的集合所构成的图形的面积为3π【考点】复数对应复平面中的点；复数的模．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】BD【分析】结合特殊值法，复数模公式，复数的几何意义，即可求解．【解答】解：令z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但z12≠设z1＝a+bi，z2＝c+di，若|z1﹣z2|＝0，则(a−c)2+(b−d)2=0，所以a＝c，b＝d，即z1＝易知z=3+2i，复数z在复平面内对应的点位于第一象限，故C记z＝x+yi，则|z−i|=|x+(y−1)i|=x2+(y−1)2，所以1≤x2圆x2+（y﹣1）2＝1的面积为π，圆x2+（y﹣1）2＝4的面积为4π，所以点Z的集合所构成的图形的面积为4π﹣π＝3π，故D正确．故选：BD．【点评】本题主要考查复数模公式，复数的几何意义，属于基础题．（多选）12．（2025春•黄山校级期末）已知i为虚数单位，在复平面内，复数z=2iA．复数z的虚部是45B．|z|＝1 C．复数z的共轭复数是z=−D．复数z对应的点位于第一象限【考点】复数的除法运算；复数的实部与虚部；复数对应复平面中的点；共轭复数．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】AD【分析】首先化简复数，再根据复数的定义，性质和几何意义，判断选项．【解答】解：∵z=2i∴z的虚部是45，故A|z|=(25z=25复数z在复平面内对应的点的坐标是(25，故选：AD．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念与复数模的求法，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．三．填空题（共4小题）13．（2025春•上城区校级期末）复数z满足i（z+i）＝2+i，则|z|＝10．【考点】复数的模．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】10．【分析】先利用复数运算法则求出z，进而求出模长．【解答】解：根据题意可知，i（z+i）＝2+i，则z+i=2+i可得到z＝1﹣2i﹣i＝1﹣3i，所以|z|=1故答案为：10．【点评】本题考查了复数运算法则，属于基础题．14．（2025春•徐汇区期末）设z∈C，且|z|＝1，z与zi（其中i是虚数单位）在复平面上对应的点分别为Z与Z′，则线段ZZ′的长度为2．【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的模．【专题】转化思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】2．【分析】设z＝a+bi（a，b∈R），且a2+b2＝1，根据复数的几何意义，写出Z，Z′的坐标，根据两点间距离公式求解．【解答】解：由已知可设z＝a+bi（a，b∈R），则a2+b2＝1，且点Z（a，b），所以zi＝i（a+bi）＝﹣b+ai，则点Z′（﹣b，a），所以线段ZZ′的长度为(a+b)2故答案为：2．【点评】本题考查复数的乘法，模，属于基础题．15．（2025春•杨浦区校级期末）已知复数z=a−i1+i为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数a＝【考点】纯虚数．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】1．【分析】由复数除法结合纯虚数定义可得答案．【解答】解：z=a−i则a−1=0a+1≠0故答案为：1．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的概念，属于基础题．16．（2025•杨浦区校级模拟）已知复数z满足：i+2+iz=0（i为虚数单位），则|z|＝【考点】共轭复数；复数的运算．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】5．【分析】根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．【解答】解：∵i+2+i∴z=∴z＝﹣1﹣2i，∴|z|=(−1故答案为：5．【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．四．解答题（共4小题）17．（2025春•河南月考）已知复数z，w是方程x2﹣2x+2＝0的两根，且在复平面内，z对应的点在w对应的点的上方．（1）求z；（2）求|z﹣3w|；（3）求(z【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】（1）z＝1+i；（2）|z−3w|=25（3）（0，1）．【分析】（1）求解一元二次方程，然后根据复数z，w的位置关系即可确定复数z．（2）先求出复数z﹣3w，然后求模即可．（3）先求出复数zw，然后求出(【解答】解：（1）因为复数z，w是方程x2﹣2x+2＝0的两根，则（x﹣1）2＝﹣1，解得x1＝1﹣i或x2＝1+i；又因为在复平面内，z对应的点在w对应的点的上方，所以z的虚部更大，故z＝1+i；（2）由（1）可得z＝1+i，w＝1﹣i，故z﹣3w＝﹣2+4i，故|z−3w|=(−2)（3）由题意可得zw所以(z所以(z【点评】本题主要考查复数的几何意义，复数的四则运算，属于基础题．18．（2025春•江西月考）已知复数z满足|z|=2（1）求z；（2）若z的实部为正数，z，z2，2z+z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求cos∠BAC．【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的实部与虚部．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】（1）z＝1﹣i或z＝﹣1+i；（2）55【分析】（1）设z＝x+yi（x，y∈R），根据复数的乘方、模的公式及虚部的定义求解即可；（2）由（1）可得z＝1﹣i，进而求得z2＝﹣2i，2z+z2＝2﹣4i，可得A，B，C的坐标，再结合平面向量夹角余弦的坐标表示求解即可．【解答】解：（1）设z＝x+yi（x，y∈R），则z2＝（x+yi）2＝x2﹣y2+2xyi，复数z满足|z|=2则x2+y2=∴z＝1﹣i或z＝﹣1+i．（2）∵z的实部为正数，∴z＝1﹣i，∴z2＝（1﹣i）2＝﹣2i，2z+z2＝2﹣4i，z，z2，2z+z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，则A（1，﹣1），B（0，﹣2），C（2，﹣4），则AB→∴cos∠BAC=AB【点评】本题主要考查向量的坐标运算法则，以及复数的几何意义，属于基础题．19．（2025春•江西期中）已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1（0，1），Z2（2，﹣1）．（1）若z＝z1﹣z