第一节　平面向量的概念及其线性运算 2026年高三数学第一轮总复习

第五章平面向量及其应用、复数第一节平面向量的概念及其线性运算课程内容要求1.了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.2.理解平面向量的几何表示和基本要素.3.掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义.4.掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义.理解两个平面向量共线的含义.5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.CONTENTS目录123基础扎牢——基础不牢·地动山摇考法研透——方向不对·努力白费思维激活——灵活不足·难得高分4课时跟踪检测基础扎牢—基础不牢·地动山摇011.向量的有关概念由教材回扣基础名称定义备注向量既有_____又有_____的量叫做向量；向量的_____叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量，可在平面内自由平移零向量长度为____的向量记作0大小方向大小0单位向量长度等于____个单位的向量平行向量方向____________的非零向量(又叫做共线向量)0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向______的向量两向量只有相等或不相等，不能比较大小相反向量长度相等且方向_____的向量0的相反向量为0续表1相同或相反相同相反2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算叫做向量的加法(1)交换律：a+b=_____；(2)结合律：(a+b)+c=_________b+aa+(b+c)减法求两个向量的差的运算叫做向量的减法(减去一个向量相当于加上一个向量的相反向量)a-b=_______数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|=|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向_____；当λ<0时，λa的方向与a的方向_____；当λ=0时，λa=0λ(μa)=_______；(λ+μ)a=________；λ(a+b)=________续表a+(-b)相同相反(λμ)aλa+μaλa+λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得______.b=λa

澄清微点·熟记结论

练小题巩固基础

√√

考法研透—方向不对·努力白费02命题视角一平面向量的基本概念(自主练通)√1.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是

(

)A.a与λa的方向相反 B.a与λ2a的方向相同C.|-λa|≥|a| D.|-λa|≥|λ|a解析：对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反；B正确；对于C，|-λa|=|-λ||a|，由于|-λ|的大小不确定，故|-λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|-λa|表示长度，两者不能比较大小.2.(多选)下列命题为真命题的是

(

)A.若a与b为非零向量，且a∥b，则a+b必与a或b平行B.若e为单位向量，且a∥e，则a=|a|eC.两个非零向量a，b，若|a-b|=|a|+|b|，则a与b共线且反向D.“两个向量平行”是“这两个向量相等”的必要不充分条件√√√

√一“点”就过

命题视角二平面向量的线性运算√

√向量线性运算的解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则.(2)用基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.方法技巧

√利用向量的线性运算求参数的方法与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量线性运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数.方法技巧

针对训练√

√√

命题视角三共线向量定理的应用√

平面向量共线定理的3个应用方法技巧证明向量共线若存在实数λ，使a=λb，则a与非零向量b共线证明三点共线求参数的值利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值

针对训练√

√

√思维激活—灵活不足·难得高分03

巧用性质•练转化思维——三点共线定理的妙用

√

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√

√

04课时跟踪检测一、基础练——练手感熟练度1.(多选)已知m，n是实数，a，b是向量，下列命题正确的是(

)A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-naC.若ma=mb，则a=b D.若ma=na，则m=n解析：m(a-b)=ma-mb，故A正确；(m-n)a=ma-na，故B正确；若m=0，则a，b不一定相等，故