重难点解析山东省禹城市中考数学真题分类（勾股定理）汇编章节训练试题

山东省禹城市中考数学真题分类（勾股定理）汇编章节训练考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题14分）一、单选题（7小题，每小题2分，共计14分）1、如图，中，，将折叠，使点C与的中点D重合，折痕交于点M，交于点N，则线段的长为（

）.A． B． C．3 D．2、如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为（

）.A． B． C． D．3、如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（

）A．29 B．32 C．36 D．454、下列各组数据为三角形的三边，能构成直角三角形的是（

）A．4，8，7 B．2，2，2 C．2，2，4 D．13，12，55、如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F.若DG＝GE，AF＝6，BF＝4，△ADG的面积为8，则点F到BC的距离为（）A． B． C． D．6、如图，在由边长为1的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．若再选择一个格点C，使△ABC是直角三角形，且每个直角三角形边长均大于1，则符合条件的格点C的个数是（

）A．2 B．4 C．5 D．67、如图，长方形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF，则△ABE的面积为（

）A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2第Ⅱ卷（非选择题86分）二、填空题（8小题，每小题2分，共计16分）1、（2011贵州安顺，16，4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是．2、如图，点在正方形的边上，若，，那么正方形的面积为_．3、如图，CD是△ABC的中线，将△ACD沿CD折叠至，连接交CD于点E，交CB于点F，点F是的中点．若的面积为12，，则点F到AC的距离为______．4、如图，将一个长方形纸片沿折叠，使C点与A点重合，若，则线段的长是_________．5、如图，在中，，于点D．E为线段BD上一点，连结CE，将边BC沿CE折叠，使点B的对称点落在CD的延长线上．若，，则的面积为__________．6、如图，分别以此直角三角形的三边为直径在三角形的外部画半圆，，，则_________．7、如图，在中，，分别以，，边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，阴影部分的面积为________．8、在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_______米.三、解答题（7小题，每小题10分，共计70分）1、如图，高速公路上有A，B两点相距10km，C，D为两村庄，已知DA＝4km，CB＝6km，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，求BE的长．2、如图所示，在中，，，，为边上的中点.（1）求、的长度；（2）将折叠，使与重合，得折痕；求、的长度.3、（1）如图１是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；（2）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（1876年4月1日发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试证明过程．说明：．4、超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？5、已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．尝试化简整式A．发现A＝B2．求整式B．联想：由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图，填写下表中B的值；直角三角形三边n2﹣12nB勾股数组Ⅰ8勾股数组Ⅱ356、如图，已知半径为5的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B两点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO＋CO＝6(1)判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；(2)求AB的长；(3)连接BM并延长交圆M于点D，连接CD，求直线CD的解析式．7、如图所示，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，AC=BC．(1)求证：△ADC≌△BEC．(2)若CD=1，BE=2，求线段AC的长.-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】由折叠的性质可得DN=CN，根据勾股定理可求DN的长，即可得出结果．【详解】解：∵D是AB中点，AB=4，∴AD=BD=2，∵将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，∴DN=CN，∴BN=BC-CN=6-DN，在Rt△DBN中，DN2=BN2+DB2，∴DN2=（6-DN）2+4，∴DN=，∴CN=DN=，故选：D．【考点】本题考查了翻折变换、折叠的性质、勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．2、D【解析】【分析】先根据矩形的判定得出AEPF是矩形，再根据矩形的性质得出EF，AP互相平分，且EF=AP，再根据垂线段最短的性质就可以得出AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小，根据面积关系建立等式求出其解即可．【详解】解：如图，连接AP，∵AB=3，AC=4，BC=5，∴∠EAF=90°，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF，AP互相平分．且EF=AP，∴EF，AP的交点就是M点．∵当AP的值最小时，AM的值就最小，∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．∵AP•BC=AB•AC，∴AP•BC=AB•AC，∵AB=3，AC=4，BC=5，∴5AP=3×4，∴AP=，∴AM=．故选：D．【考点】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解题的关键是求出AP的最小值．3、D【解析】【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果．【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2−AD2，CD2＝AC2−AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2，∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2）＝AC2−AB2＝45．故选：D．【考点】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握．4、D【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理，看较小的两边的平方和是否等于最大的边的平方即可进行判断.【详解】A、42+72≠82，故不能构成直角三角形；B、22+22≠22，故不能构成直角三角形；C、2+2=4，故不能构成三角形，不能构成直角三角形；D、52+122=132，故能构成直角三角形，故选D．【考点】本题考查的是用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，即若三角形的三边符合a2+b2=c2，则此三角形是直角三角形．5、C【解析】【分析】先求出△ABD的面积，根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为h，根据•BD•h＝•BF•DF，求出BD即可解决问题．【详解】解：∵DG＝GE，∴S△ADG＝S△AEG＝8，∴S△ADE＝16，由翻折可知，△ADB≌△ADE，BE⊥AD，∴S△ABD＝S△ADE＝16，∠BFD＝90°，∴•（AF+DF）•BF＝16，∴•（6+DF）×4＝16，∴DF＝2，∴DB＝，设点F到BD的距离为h，则有•BD•h＝•BF•DF，∴h＝4×2，∴h＝，∴点F到BC的距离为．故选：C【考点】此题考查了翻折变换，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．6、D【解析】【分析】分三种情况讨论，当∠A=90°，或∠B=90°，或∠C=90°时，分别画出符合条件的图形，即可解答．【详解】解：分三种情况讨论，当∠A=90°，或∠B=90°，或∠C=90°如图符合条件的格点C的个数是6个故选：D．【考点】本题考查正多边形和圆的性质、直角三角形的判定与性质、直径所对的圆周角是90°等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．7、A【解析】【分析】根据折叠的条件可得：，在中，利用勾股定理就可以求解．【详解】将此长方形折叠，使点与点重合，，，根据勾股定理得：，解得：．．故选：A．【考点】本题考查了利用勾股定理解直角三角形，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．二、填空题1、6cm2【解析】【分析】先根据勾股定理得到AB=10cm，再根据折叠的性质得到DC=DC′，BC=BC′=6cm，则AC′=4cm，设DC=xcm，在Rt△ADC′中根据勾股定理列方程求得x的值，然后根据三角形的面积公式计算即可．【详解】∵∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，∴AB=10cm，∵将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，∴△BCD≌△BC′D，∴∠C=∠BC′D=90°，DC=DC′，BC=BC′=6cm，∴AC′=AB-BC′=4cm，设DC=xcm，则AD=（8-x）cm，在Rt△ADC′中，AD2=AC′2+C′D2，即（8-x）2=x2+42，解得x=3，∵∠AC′D=90°，∴△ADC′的面积═×AC′×C′D=×4×3=6（cm2）．考点：折叠的性质，勾股定理点评：折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点的连线段被折痕垂直平分．2、．【解析】【分析】根据勾股定理求出BC，根据正方形的面积公式计算即可．【详解】解：由勾股定理得，，正方形的面积，故答案为．【考点】本题考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．3、【解析】【分析】过点F作FH⊥AC于点H，由翻折的性质可知S△AA'D=24，由D为AB的中点，则S△AA'B=2S△AA'D=48，得AA'=12，再通过AAS证明△A'BF≌△ECF，得CE=A'B=8，在Rt△CAE中，由勾股定理求出AC的长，最后通过面积法即可求出FH的长．【详解】解：如图，过点F作FH⊥AC于点H，根据翻折的性质得：AD=A'D，AA'⊥CD，AE=A'E，∵CD是△ABC的中线，∴CD=BD，∴AD=BD=A'D，∴∠AA'B=90°，又∵S△A'DE=12，∴S△ADE=12，∴S△ADA'=24，又∵D为AB的中点，∴S△AA'B=2S△AA'D=48，即×AA′×A′B＝48，∴AA'=12，又∵F为A'E的中点，∴A'F=EF，在△A'BF与△ECF中，，∴△A'BF≌△ECF（AAS），∴CE=A'B=8，∵AA'=2A'E，A'E=2EF=6，∴EF=3，AF=9，在Rt△CAE中，由勾股定理得：CA==10，在△CAF中，CA•HF=AF•CE，∴HF==，即点F到AC的距离为，故答案为：．【考点】本题主要考查了翻折的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用等积法求垂线段的长是解题的关键．4、【解析】【分析】根据折叠的性质和勾股定理即可求得．【详解】解：∵长方形纸片，∴，，根据折叠的性质可得，，，设，，根据勾股定理，即，解得，故答案为：．【考点】本题考查折叠与勾股定理．能正确表示直角三角形的三边是解题关键．5、【解析】【分析】在△ABC中由等面积求出，进而得到，设BE=x，进而DE=DB-BE=，最后在中使用勾股定理求出x即可求解．【详解】解：在中由勾股定理可知：，∵，∴，∴，在中由勾股定理可知：，∴，设BE=x，由折叠可知：BE=B’E，且DE=DB-BE=，在中由勾股定理可知：，代入数据：∴，解得，∴，∴，故答案为：．【考点】本题考查了勾股定理求线段长、折叠的性质等，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练使用勾股定理求线段长．6、【解析】【分析】根据题意设直角三角形的三边为，分别表示出，得出，进而即可求解．【详解】解：设直角三角形的三边为，如图，，，，，S1＝18π，S3＝50π，故答案为：．【考点】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．7、24【解析】【分析】根据勾股定理得到AC2=AB2-BC2，先求解AC，再根据阴影部分的面积等于直角三角形的面积加上以AC，BC为直径的半圆面积，再减去以AB为直径的半圆面积即可．【详解】解：由勾股定理得，AC2=AB2-BC2=64，则阴影部分的面积，故答案为24．【考点】本题考查的是勾股定理、半圆面积计算，掌握勾股定理和半圆面积公式是解题的关键．8、【解析】【分析】由题意知AD＋DB＝BC＋CA，设BD＝x，则AD＝15－x，且在直角△ACD中，代入勾股定理公式中即可求x的值，树高CD＝(5＋x)米即可．【详解】解：由题意知AD＋DB＝BC＋CA，且CA＝10米，BC＝5米，设BD＝x，则AD＝15－x，∵在Rt△ACD中，由勾股定理可得：CD2＋CA2＝AD2，即，解得x＝2.5米，故树高为CD＝5＋x＝7.5（米），答：树高为7.5米．故答案为：7.5．【考点】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到AD＋DB＝BC＋CA的等量关系，并根据勾股定理列方程求解是解题的关键．三、解答题1、4km【解析】【分析】根据题意设出BE的长为xkm，再由勾股定理列出方程求解即可．【详解】解：设BE＝xkm，则AE＝（10﹣x）km，由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝42+（10﹣x）2，在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝62+x2，由题意可知：DE＝CE，所以：62+x2＝42+（10﹣x）2，解得：x＝4．所以，EB的长是4km．【考点】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．2、（1）BD＝2，；（2），【解析】【分析】（1）由勾股定理求出BC=4，再根据中点的性质可得到BD，然后再一次运用勾股定理求出AD即可；（2）设，则，，利用勾股定理列出方程解，从而得解.【详解】（1）∵在中，，，∴在中，∴又∵为边上的中点∴∴在中，∴（2）折叠后如图所示，为折痕，联结设，则，在中，，即解得：∴∴【考点】本题主要考查了勾股定理的应用，也考查了折叠的性质.是常见中考题型.3、（1）；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据正方形面积计算公式解答；（2）利用面积法证明即可得到结论．【详解】（1）；（2）如图，∵Rt△DEC≌Rt△EAB，∴∠DEC=∠EAB，DE=AE，∵，∴，∴△AED为等腰直角三角形，∵，∴，即，∵，∴，∴．【考点】此题考查勾股定理的证明，完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解各部分图形之间的关系，正确分析它们之间的面积等量关系是解题的关键．4、此车超过每小时80千米的限制速度．【解析】【分析】首先，根据在直角三角形BPO中，∠BPO=45°，可得到BO=PO=100m，再根据在直角三角形APO中，∠APO=60°，运用三角函数值，可得到AO=100，根据AB=AO-BO可求得AB的长；再结合速度的计算方法，求出车的速度，然后将车的速度与80千米/时进行比较，即可得到结论.【详解】解：在Rt△APO中，∠APO＝60°，则∠PAO＝30°.∴AP＝2OP＝200m，AO＝＝＝100(m)．在Rt△BOP中，∠BPO＝45°，则BO＝OP＝100m.∴AB＝AO－BO＝100－100≈73(m)．∴从A到B小车行驶的速度为73÷3≈24.3(m/s)＝87.48km/h>80km/h.∴此车超过每小时80千米的限制速度．【考点】本题考查了解直角三角形的应用，从复杂的实际问题中整理出直角三角形并求解是解决此类题目的关键．5、A＝（n2+1）2，B＝n2+1，15，17；12，37【解析】【分析】先根据整式的混合运算法则求出A，进而求出B，再把n的值代入即可解答．【详解】A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2，∵A＝B2，B＞0，∴B＝n2+1，当2n＝8时，n＝4，n2﹣1＝42﹣1＝15，n2+1＝42+1＝17；当n2﹣1＝35时，n＝±6（负值舍去），2n＝2×6＝12，n2+1＝37．直角三角形三边n2﹣12nB勾股数组Ⅰ15817勾股数组Ⅱ351237故答案为：15，17；12，37．【考点】本题考查了勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．6、(1)⊙M与x轴相切，理由见解析(2)6(3)【解析】【分析】（1）连接CM，证CM⊥x即可得出结论；（2）过点M作MN⊥AB于N，证四边形OCMN是矩形，得MN=OC，ON=OM=5，设AN=x，则OA=5-x，MN=OC=6-(5-x）=1+x，利用勾股定理求出x值，即可求得AN值，再由垂径定理得AB=2AN即可求解；（3）连接BC，CM，过点D作DP⊥CM于P，得直角三角形BCD，由（2）知：AB=6，OA=2，OC=4，所以OB=8，C（4，0），在Rt△BOC中，∠BOC=90°，由勾股定理，求得BC=，在Rt△BCD中，∠BCD=90°，由勾股定理，即可求得CD，在Rt△CPD和在Rt△MPD中，由勾股定理，求得CP=2，PD=4，从而得出点D坐标，然后用待定系数法求出直线CD解析式即可．(1)解：⊙M与x轴相切，理由如下：连接CM，如图，∵MC=MA，∴∠MCA=∠MAC，∵AC平分∠OAM，∴∠MAC=∠OAC，∴∠MCA=∠OAC，∵∠OAC+∠ACO=90°，∴∠MCO=∠MCA+∠ACO=∠OAC+∠ACO=90°，∵MC是⊙M的半径，点C在x轴上，∴⊙M与x轴相切；(2)解：如图，过点M作MN⊥AB于N，由（1）知，∠MCO=90°，∵MN⊥AB于N，∴∠MNO=90°，AB=2AN，∵∠CON=90°，∴∠CMN=90°，∴四边形OCMN是矩形，∴MN=OC，ON=CM=5，∵OA+O