第03讲不等式与基本不等式必刷好题()

第3讲不等式与基本不等式配套必刷好题必会题型一：不等关系和不等式性质1．(2022·山东济南·高一期中)已知a，b∈R，若ab<0，a+b>0，a>b，则下列不等式正确的是(

)A．1a<1C．a2>b【答案】C【分析】由ab<0，a+b>0，a>b，可得a>0,b<0，再结合不等式的性质逐一判断即可．【解析】因为ab<0，a+b>0，a>b，所以a>0,b<0，所以1a>0>1则ba<0,ab<0由a+b>0得a>-b，即a>b，所以a2>b2故选：C．2．(2022·江苏·宿迁市文昌高级中学高一期中)若a<0,-1<b<0，则下列不等关系正确的是(

)A．ab>ab2>aC．ab>a>ab2 D【答案】A【分析】利用作差法比较即可得到答案．【解析】因为a<0,-1<b<0，所以ab>0，1-b>0，b-1<0，b+1>0所以ab-ab2=abab所以ab>ab故选：A3．[多选](2022·广东·深圳外国语学校致远高中高一阶段练习)下列结论正确的是(

)A．若a>b，则a+c>b+c B．若ac>bc，则a>bC．若ab>c，b>0，则a>cb D．若a>b，c>d【答案】AC【分析】对于A,B,C根据不等式性质即可判定正误，对于D可以举a=2,b=1,c=3,d=0这样的反例．【解析】对于A根据不等式性质，两边同加一个数，不等号方向不变，故A正确，对于B，若c<0，则约去c，不等号方向改变，故B错误，对于C，若b>0，两边同除b，不等号方向不变，且得到a>cb，故对于D，假设a=2,b=1,c=3,d=0，满足a>b,c>d，此时a-c=-1，b-d=1，但不满足a-c>b-d，故D错误，故选：AC．4．(2020·湖南·武冈市教育科学研究所高一期中)已知-1≤a+b≤1,1≤a+2b≤3，则a+3b的取值范围是【答案】1,7【分析】根据不等式的性质求得正确答案．【解析】设a+3b=x所以x+y=1x+2y=3，解得所以a+3b=--1≤-a+b所以1≤a+3b≤7所以a+3b的取值范围是1,7故答案为：1,7必会题型二：利用基本不等式求函数和代数式的最值1．(2022·湖北·高一期中)函数f(x)=4x-3+x(x<3)的最大值是A．-4 B．1 C．5 D．-1【答案】D【分析】将函数等价变换为f(x)=-(3-x+4【解析】∵x<3，∴3-x>0，则f(x)=-(3-x+43-x)+3⩽-2(3-x)⋅43-x+3=-1(即当x=1时，f(x)取得最大值-1．故选：D．2．[多选](2022·陕西·户县第三高级中学高一期中)已知函数fx=x+4x-1A．若x>1，则fx有最小值5 B．若x>1，则fxC．若x<1，则fx有最大值-3 D．若x<1，则fx【答案】AC【分析】分x>1和x<1两种情况，结合均值不等式即可得出结果．【解析】当x>1时，fx=x+4x-1=x-1+4x-1当x<1时，fx=x+4x-1=x-1+4x-1故选：AC．3．[多选](2022·辽宁·高一期中)若a>0，b>0，a+b=4，则下列不等式中对一切满足条件的a，b恒成立的是(

)A．ab≤4 B．aC．a2+b【答案】ABC【分析】利用给定条件，结合均值不等式，逐项分析、计算判断作答．【解析】因a>0，b>0，a+b=4，则ab≤(a+b2)2a+b=(aa2+b2=1a+1b=1故选：ABC4．(2022·江苏宿迁·高一期中)已知x>0，y>0，且2x+y=2，则xy的最大值为___________，2x+x【答案】

12【分析】根据基本的不等式直接应用即可得xy的最大值，利用“1”的代换可求2x【解析】x>0，y>0，且2x+y=2，所以2x+y≥2当且仅当2x=y，即x=12,y=1时等号成立，所以又2x+xy=2x+yx+故答案为：12；45．(2022·湖北·高一期中)设正实数x，y满足2x+3y=xy，试求：(1)x+y的最小值(2)xy的最小值．【答案】(1)x+y的最小值为5+26(2)xy的最小值为24．【分析】(1)由已知得，3x+2y=1(2)直接根据基本不等式得到2x+3y≥26【解析】(1)解法1：由2x+3y=xy得所以，x+y=x+y当且仅当3yx=2x∴x+y的最小值为5+26解法2：由2x+3y=xy得由于x，y均为正数，故x-3>0．则x+y=x+2xx-3∴x+y的最小值为5+26(2)解法1：∵2x+3y≥26xy，当且仅当又2x+3y=xy∴xy≥26xy，

则∴xy的最小值为24．解法2：由2x+3y=xy得由于x，y均为正数，故x-3>0．xy=2当且仅当x=6等号成立，∴xy的最小值为24．必会题型三：应用“1”的代换转化为基本不等式求最值1．(2022·宁夏·银川市第六中学高三阶段练习)若正实数a，b满足a+b＝1，则1a+A．43 B．6 C．23 D【答案】D【分析】根据给定的条件，利用“1”的妙用求解作答．【解析】因正实数a，b满足a+b＝1，则当且仅当ba＝3ab，即b故选：D2．(2022·安徽·马鞍山二中高一期中)设a>0，b>0，且a+2b＝1，则2b+aA．有最小值为42+6 BC．有最小值为143 D．有最小值为【答案】D【分析】利用已知条件变形凑配出积为定值，然后由基本不等式求得最小值，注意使用“1”的代换．【解析】因为a>0，b>0，且a+2b＝1所以2a当且仅当4ba＝所以2b+a2故选：D．3．(2022·天津·南开大学附属中学高一期中)已知x，y均为正实数．x+y=1，则yx【答案】3【分析】x，y均为正实数，x+y=1，使用“1”的代换，使用基本不等式求最值即可．【解析】因为x+y=1，x，y均为正实数，所以当且仅当x=y=12时yx故答案为：34．(2022·甘肃·卓尼县第一中学高一期中)(1)已知x>0,y>0，且2x+3y＝6，求(2)已知x>0,y>0，1x+9【答案】32；16【分析】(1)根据已知条件，直接利用基本不等式，即可求得结果；(2)根据已知条件，利用基本不等式中“1”的妙用，即可求得结果．【解析】(1)因为x>0,y>0，则2x+3y＝当且仅当2x＝3y，且故xy的最大值为32(2)因为x>0,y>0，1x故x+y＝当且仅当9xy＝yx故x+y的最小值为16．必会题型四：含有多个变量的条件最值及恒成立问题1．(2022·江苏·常州市第三中学高一期中)已知a>0, b>0，且ab＝1，则1A．4+22 B．8 C．62 D【答案】B【分析】利用基本不等式求得正确答案．【解析】1a当且仅当a+b＝16a+b故选：B2．(2022·陕西·西安高新唐南中学高一期中)若两个正实数x，y满足4x+y-xy=0，且不等式xy≥m2-6m恒成立．则实数m的取值范围是A．[-2,8] B．(-2,8] C．[-2,6] D．(-2,6]【答案】A【分析】不等式xy≥m2-6m恒成立，即为不等式xy【解析】因为4x+y≥4xy，所以4xy-xy≤0，解得xy所以xy≥16，当且仅当4x=y=8所以xy的最小值为16，则不等式xy≥m2-6m解得-2≤m≤8，所以实数m的取值范围是[-2,8]．故选：A．3．(山东省德州市、烟台市20222023学年高一上学期期中数学试题)已知x>0，y>0，且x+y+xy=3，若不等式x+y≥m2-m恒成立，则实数m的取值范围为A．-2≤m≤1 B．-1≤m≤2C．m≤-2或m≥1 D．m≤-1或m≥2【答案】B【分析】首先根据基本不等式得到x+ymin=2，结合题意得到m2【解析】xy=3-x+y≤x+y解得x+y≥2，即x+ymin因为不等式x+y≥m2所以m2-m≤x+ymin，即故选：B4．(2022·广东·高一期中)已知正实数a,b,c满足a2+ab+b2-c＝0【答案】3【分析】利用基本不等式可得当且仅当a＝b时abc有最大值1【解析】由a2+ab+b所以abc其中ab+ba≥2ab⋅b故abc≤13，此时c＝a2所以a+2b-c故当a＝12,b＝故答案为：345．(2022·海南华侨中学高一期中)已知正实数x，y满足x+y＝(1)求x2(2)若1x+4y【答案】(1)2(2)a【分析】(1)由基本不等式、完全平方公式得解；(2)根据不等式恒成立以及基本不等式“1”的代换可求a的取值范围．【解析】(1)因为x+y＝2，有所以x2当且仅当x＝所以x2+y(2)若a≤1x+4因为1x当且仅当yx＝4xy所以1x+4y的最小值为故实数a的取值范围是a必会题型五：基本不等式综合问题1．(2022·山东·青岛二中高一期中)设正实数a、b满足a+b＝1，则下列结论正确的是(A．ab≤14 B．a2+b【答案】B【分析】根据已知条件，结合基本不等式求各项中代数式的范围，注意等号成立条件．【解析】A：由a,b>0，则a+b＝1≥2ab，仅当aB：由a2+b2≥C：由12a+1bD：由a+b＝1≥(a+故选：B2．(2022·浙江台州·高一期中)以下说法正确的是(

)A．x2+2+B．x+1xC．正实数a，b满足a+b＝1，则a+D．x2+【答案】D【分析】利用基本不等式，逐一验证，注意检验等号是否成立，可得答案．【解析】对于A，x2+2+1x2对于B，当x>0时，x+1x≥2x⋅1当x<0，即-x>0时，x+1x＝--x+1-x对于C，a+1ab+1b＝ab+ab对于D，x2+1x＝故选：D．3．[多选](2022·浙江·杭州市余杭第二高级中学高一期中)设a>0，b>0且2a+b＝1，则下列结论正确的是(A．4a+2b的最小值为22C．1a+1b的最小值为3+22【答案】AC【分析】根据a>0，b>0且2a+b【解析】对于A选项：4a+2b⩾2对于B选项：4a2+b2＝2a+b2-4ab对于C选项，1a+1b＝1a对于D选项，1a+a+2bb＝2故选：AC．4．[多选](2022·湖南·宁乡一中期中)设a>0,b>0,a+b＝1，则下列不等式中一定成立的是(A．1a+1b≥4 B．a2【答案】ABD【分析】对于A：利用基本不等式“1”的妙用直接证明；对于B：利用基本不等式直接证明；对于C：利用基本不等式直接证明出a+1+对于D：结合立方和公式得a3+b【解析】对于A：因为a>0，所以1a+1b＝所以1a+1对于B：因为a>0，所以ab≤a+b22所以a2+b对于C：因为a>0，b>0，所以3＝记u＝a+1+所以u2所以0<u≤6，即a+1+b+1对于D：因为a>0,b>0,a+b＝所以，a3由B选项知ab≤a+b所以1-3ab≥14，即a故选：ABD5．[多选](2022·安徽·合肥一六八中学高三阶段练习)已知a，b均为正实数，下列结论正确的有(

)A．若a+b＝2B．若a+b＝2C．若a+b＝1D．当且仅当a＝2b时，【答案】ABD【分析】利用基本不等式逐项进行检验即可求解(解题的关键是熟练掌握基本不等式)．【解析】对于A：由21a+1b≤对于B：∵a，b为正实数，且a+b＝∴1+b当且仅当a＝3-3，b对于C：由a+b＝1，即a2+b2＝1对于D：因为a，b均为正数，所以aa+b+2则a＝1+等号成立．条件为a＝2b故选：ABD．6．(2022·宁夏六盘山高级中学高三期中)自“9．20”新冠疫情爆发以来，银川市政府每天都需要组织市民做