第06讲数论专题口奥3（原卷版）

第06讲数论专题+口奥3掌握数论七大知识点基础概念灵活运用数论知识答题掌握口奥知识及完成训练模块一：数论一：知识点梳理整数与整除1、整数的意义和分类自然数：零和正整数统称为自然数；整数：正整数、零、负整数，统称为整数。正整数自然数正整数自然数零零负整数整数负整数 2、整除（1）整数除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说能被b整除；或者说b能整除。（2）整除的条件（两个必须同时满足）：①除数、被除数都是整数；②被除数除以除数，商是整数而且余数为零。3、除尽与整除的异同点相同点：除尽与整除，都没有余数，即余数都为0；除尽中包含整除不同点：整除中被除数、除数和商都为整数，余数为零；除尽中被除数、除数和商不一定为整数，余数为零。因数和倍数1、因数和倍数整数能被整数b整除，就叫做b的倍数，b就叫做的因数（也称为约数）。注意：（1）在整除的条件下，才有因数和倍数的概念。倍数和因数是相互依存的，不能单独存在。2、求一个数的因数的方法（1）列乘法算式：根据因数的意义，有序地写出某数的所有两个数乘积的乘法算式，乘法算式中的因数就是该数的因数。（2）列除法算式：用此数除以任意整数，所得商是整数而无余数，这些除数和商就是该数的因数。3、求一个数的倍数的方法求一个数的倍数，就是用这个数，依次与非零自然数相乘，所得之数就是这个数的倍数。4、因数和倍数的性质（规律总结）1是任何一个整数的因数，任何整数都是1的倍数；0是任何一个不等于0的整数的倍数，任何一个不等于0的整数都是0的因数；一个正整数既是它本身的最大因数，也是它本身的最小倍数。3、素数、合数与分解素因数1、素数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的因数，这个数叫做素数（也叫做质数）。一个数除了1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。要特别记住：0和1不是素数，也不是合数。常用的100以内的素数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的素数都是奇数；除了2和5，其余的素数个位数字只能是1，3，7或9。考点：（1）值得注意的是很多题都会以素数2的特殊性为考点；（2）除了2和5，其余素数个位数字只能是1，3，7或9。这也是很多题解题思路，需要大家注意。2、素因数与分解素因数素因数：如果一个素数是某个数的因数，那么就说这个素数是这个数的素因数。互素：公因数只有1的两个自然数，叫做互素。分解素因数：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。例如：部分特殊数的分解；；；；；；；；3、判断一个数是否为素数的方法根据定义如果能够找到一个小于p的素数q（均为整数），使得q能够整除p，那么p就不是素数，所以我们只要拿所有小于p的素数去除p就可以了。例如：，13<17，所以233是素数4、最大公因数与最小公倍数1、最大公因数的概念及求法几个整数公有的因数，叫做这几个整数的公因数，其中最大的一个叫做这几个整数的最大公因数。求几个整数的最大公因数，只要将它们所有的公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数（分解素因数法）；另一种方法是短除法（除到两个商互素为止）。两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数。如果这两个数互素，则它们的最大公因数为1。2、最小公倍数的概念及求法几个整数的公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做这几个整数的最小公倍数。求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公倍的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数（分解素因数法）；另一个方法是短除法（除到两个商互素为止）。如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数。如果这两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数。5、完全平方数1、完全平方数的定义若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。完全平方数是非负数。例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…2、完全平方数的性质性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。

性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。性质9：完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。6、能被2、3、5数整除的特征1.能被2整除的整数，叫做偶数．0、2、4、6、8．10……是偶数。不能被2整除的整数，叫做奇数．1、3、5、7、9……是奇数。偶数和奇数有如下运算性质：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数，偶数±奇数=奇数，奇数±偶数=奇数，偶数×偶数=偶数，偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数7、余数问题余数性质：余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：（1）大小法则：余数小于除数（2）式子变换：被除数=除数×商+余数除数=（被除数余数）÷商商=（被除数余数）÷除数余数=被除数除数×商（3）减法法则：如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。【例】17与11除以3的余数都是2，所以1711能被3整除。（4）加法法则：a与b的和除以c的余数（不包括能整除），等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。【例】23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。【例】23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。（5）乘法法则：a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。【例】23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。【例】23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。（6）倍数法则：除数与余数相同时，两被除数相减的差是除数的倍数。模块二、口奥（下式中被乘数与乘数中各有500个“0”)00…0024×0.00…005=500个500个一艘轮船顺水航行100千米，逆水航行64千米，共用9小时；顺水航行80千米、逆水航行128千米共用12小时。问：轮船的顺水速度与逆水速度各是多少？地形ABCD中，AB平行于CD，对角线AC，BD交于O点，OE平行于AB、CD，交腰BC于E点，如果三角形ADE的面积是90平方厘米，那么三角形BOC的面积是多少平方厘米。在一根绳子12等分点、15等分点及18等分点都剪一刀，这根绳子被剪成了段？5、如果1！=1；2！=2×1=2；3！=3×2×1=6计算：（1）6！=？（2）x！=5040，求x6、有两只蜗牛同时从一个等腰三角形的顶点A出发，分别沿两腰爬行。一只蜗牛每分钟行2.5米,另一只蜗牛每分钟行2米,8分钟后在离C点6米处的P点相遇,BP的长度是米。ABPC模块一：数论【例1】有三个自然数，其和是27，将它们分别填入下式的三个括号中，满足等式要求：（）+5=（）÷3=（）2【例2】一个整数既是54的因数，又是9的倍数，求这个数。【例3】将1到20中满足条件的数填入适当的圈内。4的倍数但非100的因数4的倍数但非100的因数100的因数但非4的倍数4的倍数又是100的因数【例4】三个连续自然数的乘积是210，求这三个数。【例5】一个数是5个2、3个3、2个5、1个7的连乘积，这个数的两位数的因数中，最大的是几？【例6】在长为1.5千米的公路一边，等距离种树（两端都种），开始每隔10米种一棵，后来改成每隔12米种一棵，不用改种的树有多少棵？【例7】一张长方形的纸片，长为36cm，宽为21cm，要把这张纸片裁成同样大小的正方形小纸片而且没有任何剩余，则裁成的正方形纸片的边长最大可以是多少厘米？至少有多少个小正方形？【例8】一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。【例9】求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方。【例10】下面的连乘积中，末尾有多少个0？【例11】有一个不等于1的整数，它除967，1000，2O01得到相同的余数，那么这个整数是多少？【例12】一个三位数,被17除余5,被18除余12,那么它可能是________________;一个四位数,被131除余112,被132除余98,那么它可能是_______________;1．今年是2010年，从今年起年份数正好为三个连续正整数乘积的第一个年份是()。2．已知a＝b＋1（a、b均为非0自然数），a、b的最小公倍数是()；如果a是合数，那么b()是奇数（填“一定”或“不一定”）。3．在20以内的合数中，是3的倍数的数是()，并用括号中的数组成比例，这个比例是()。4．两个质数的和是20，要使它们的积最大，这两个质数分别是()和()。5．一列数1，1，2，3，5，8，13，21…从第三项开始每一项是前两项的和，第2021个数是()数（填“奇”或“偶”）；第2021个数除以3的余数是()。6．若9位数20082008能够被3整除，则里的数是________。7．，都是整数，大于，且，那么的最大值为()，最小值为()。8．幼儿园里给小朋友分苹果，420个苹果正好均分。但今天刚好又新人园一位小朋友，这样每个小朋友就要少分2个苹果。原来有()个小朋友。9．抽奖箱中有1－10的数字卡，任意抽一张，摸到奇数的可能性比摸到质数的可能性()。（填“大”“小”“相等”）10．如果两个合数互质，它们的最小公倍数是126，那么，它们的和是()。11．丁丁也不甘示弱：你们知道著名的“斐波那契”数列吗？它是这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，21，……从第三个数开始，以后每个数都是它前两个数的和，请问：前2016个数中共有多少个偶数？12．将八个不同的合数填入下面的括号中，如果要求相加的两个合数互质，那么A最小是几？A＝（

）＋（

）＝（

）＋（

）＝（

）＋（

）＝（

）＋（

）13．两个四位数和相乘，要使它们的乘积能被72整除，求和。14．，，都是质数，并且，，，那么____。15．六位自然数，能被12整除，末两位数有()种情况。16．使得是的倍数的最小正整数n是()。17．甲、乙两个三位数的乘积是一个五位数，这个五位数的后四位为1031。如果甲数的数字和为10，乙数的数字和为8，那么甲乙两数之和是_________。18．的结果除以，所得到的商再除以…重复这样的操作，在第____次除以时，首次出现余数。19．用0～9这10个数字组成若干个合数，每个数字都恰好用一次，那么这些合数之和的最小值是________。20．写出所有数字和为11，数字乘积为20的四位偶数