第08讲函数与方程（高频精讲）（原卷版）

第08讲函数与方程(精讲）目录TOC\o"12"\h\u第08讲函数与方程(精讲） 1第一部分：知识点必背 21、函数的零点 2第二部分：高考真题回归 2第三部分：高频考点一遍过 3高频考点一：函数零点所在区间的判断 3高频考点二：函数零点个数的判断 5高频考点三：根据零点个数求函数解析式中的参数 6高频考点四：比较零点大小关系 7高频考点五：求零点和 8高频考点六：根据零点所在区间求参数 9高频考点七：二分法求零点 10第四部分：新文化（定义）题 11第五部分：数学思想方法 12①函数与方程的思想 12②数形结合的思想 13③分类讨论的思想 14温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背1、函数的零点对于一般函数，我们把使成立的实数叫做函数的零点．注意函数的零点不是点，是一个数.2、函数的零点与方程的根之间的联系函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．3、零点存在性定理如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根.注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.4、二分法对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．求方程的近似解就是求函数零点的近似值．5、高频考点技巧①若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点；②连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；③函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点；④函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点，其中为常数.第二部分：高考真题回归1．（2021·天津·统考高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（2021·北京·统考高考真题）已知函数，给出下列四个结论：①若，恰有2个零点；②存在负数，使得恰有1个零点；③存在负数，使得恰有3个零点；④存在正数，使得恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是_______．3．（2022·天津·统考高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为______.4．（2022·北京·统考高考真题）若函数的一个零点为，则________；________．第三部分：高频考点一遍过高频考点一：函数零点所在区间的判断典型例题例题1．（2023秋·浙江·高一期末）用二分法求方程的近似解，以下区间可以作为初始区间的是（

）A． B． C． D．例题2．（2023春·浙江衢州·高一校考阶段练习）函数零点所在区间为（

）A． B． C． D．例题3．（2023秋·重庆·高一校联考期末）已知均为上连续不断的曲线，根据下表能判断方程有实数解的区间是（

）0123A． B． C． D．例题4．（2023春·山西忻州·高一河曲县中学校校考开学考试）函数的零点所在的一个区间是（

） B． C． D．练透核心考点1．（2023春·安徽阜阳·高一统考开学考试）已知函数在下列区间中，包含零点的区间是（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）已知方程的解在内，则（

）A．0 B．1 C．2 D．33．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）函数的零点所在区间是（

）A． B． C． D．4．（多选）（2023秋·江苏泰州·高一统考期末）已知函数的图象是一条不间断的曲线，它的部分函数值如下表，则（

）123456A．在区间上不一定单调B．在区间内可能存在零点C．在区间内一定不存在零点D．至少有个零点高频考点二：函数零点个数的判断典型例题例题1．（2023春·北京西城·高三北京市第一六一中学校考阶段练习）函数的零点个数是（

）A． B． C． D．例题2．（2023·江西赣州·统考一模）已知函数，则方程的实根个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6例题3．（2023春·湖北·高一校联考阶段练习）已知为定义在上的奇函数，当时，单调递增，且，，，则函数的零点个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．1例题4．（2023秋·天津河西·高一统考期末）已知函数的零点个数为___________.练透核心考点1．（2023·江西赣州·统考一模）若函数，则方程的实根个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．62．（2023秋·内蒙古乌兰察布·高一校考期末）函数的零点个数是（

）．A．3个 B．2个 C．1个 D．0个3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数则解的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．54．（2023春·北京大兴·高三校考开学考试）已知函数，则函数的零点个数为___________.高频考点三：根据零点个数求函数解析式中的参数典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）若方程，且有两个不同实数根，则的取值范围是（

）A． B． C． D．例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．例题3．（2023秋·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考期末）已知函数，函数恰有三个不同的零点，则的取值范围是_______．例题4．（2023秋·四川成都·高一中和中学校考期末）已知函数（且）是奇函数，且.(1)求，的值及的定义域；(2)设函数有零点，求常数的取值范围；练透核心考点1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若恰有两个零点，则的可能取值为（

）．A． B． C．4 D．62．（2023秋·四川雅安·高一统考期末）已知函数若恰有2个零点，则实数a的取值范围是___________.3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数恰有一个零点，则实数a的取值范围为______．4．（2023·高三课时练习）若函数存在零点，则实数的取值范围是________高频考点四：比较零点大小关系典型例题例题1．（2023·高一课时练习）已知，且是方程的两实数根，则，，，的大小关系是（

）A． B．C． D．例题2．（2023秋·广东江门·高一统考期末）已知，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序是（

）A． B． C． D．例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，的零点分别为，，，则（

）．A． B．C． D．练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（

）A． B．C． D．2．（2023·上海·高一专题练习）已知函数，且m，n是方程的两个根（m＜n），则实数a、b、m、n的大小关系可能是（

）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．m＜a＜n＜b D．a＜m＜b＜n3．（2023·全国·高三专题练习）已知是自然对数的底数，函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是A． B． C． D．高频考点五：求零点和典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的所有零点之和为（

）A． B． C． D．例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义域为的偶函数，且满足，当时，，（），则函数所有零点的和为（

）A．3 B．4 C．5 D．6例题3．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数的所有零点之和为______.例题4．（2023春·河北衡水·高一校考开学考试）已知函数，若关于的方程恰有3个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________；若三个不相等的实数根分别为，则的取值范围是__________.练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）函数的所有零点之和为（

）A．0 B．2 C．4 D．62．（多选）（2023秋·广东·高一统考期末）已知函数，函数有四个不同的零点，且，则（

）A．a的取值范围是 B．C． D．3．（2023秋·安徽芜湖·高一统考期末）定义在上的奇函数，当时，，则函数的所有零点之和为___________．4．（2023春·四川雅安·高一雅安中学校考开学考试）定义域为的函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则______．高频考点六：根据零点所在区间求参数典型例题例题1．（2023秋·广东广州·高一广州大学附属中学校考期末）设函数，若函数在上存在零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．例题2．（2023·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）设函数，，若函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．例题3．（2023·全国·高三专题练习）设为实数，函数在上有零点，则实数的取值范围为________．例题4．（2023春·湖南·高一校联考阶段练习）已知函数的零点为，且，则__________.练透核心考点1．（2023·高一课时练习）若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023春·上海青浦·高一统考开学考试）若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是______．3．（2023·高三课时练习）已知函数的零点，，则______．4．（2023春·河南新乡·高一校考开学考试）已知函数与的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是______．高频考点七：二分法求零点典型例题例题1．（2023秋·浙江·高一期末）用二分法求方程的近似解，以下区间可以作为初始区间的是（

）A． B． C． D．例题2．（2023秋·上海浦东新·高一上海市实验学校校考期末）在用二分法求函数零点的近似值时，若某一步将零点所在区间确定为，则下一步应当确定零点位于区间（

）A． B．C． D．例题3．（多选）（2023秋·重庆九龙坡·高一统考期末）某同学求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：则方程的近似解（精确度）可取为（

） B． C． D．练透核心考点1．（2023春·全国·高一校联考开学考试）下列函数中，不能用二分法求零点的是（

）A． B． C． D．2．（多选）（2023秋·内蒙古乌兰察布·高一校考期末）下列函数中，能用二分法求函数零点的有（

）A． B．C． D．3．（2023秋·云南昆明·高一统考期末）小明在学习在二分法后，利用二分法研究方程在（1，3）上的近似解，经过两次二分后，可确定近似解所在的区间为___________.第四部分：新文化（定义）题1．（2023秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如，，，设为函数的零点，则（

）.A．2 B．3 C．4 D．52．（2022春·安徽宣城·高二安徽省宣城中学统考期末）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，意思是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大､小鼠第一天都进一尺，以后每天大鼠加倍，小鼠减半，则在第几天两鼠相遇？这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为10尺，则在第（

）天墙才能被打穿？A．3 B．4 C．5 D．63．（2022·全国·高三专题练习）高斯是世界著名的数学家之一，他一生成就极为丰硕仅以他的名字“高斯”命名的成果就多达110个，为数学家中之最．对于高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，表示实数的非负纯小数，即，如，．若函数（，且）有且仅有个不同的零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2023·全国·高三专题练习）对实数a和b，定义运算“”：设函数．若函数恰有两个零点，则实数c的取值范围是___________．5．（2022秋·山东·高一统考期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，函数称为高斯函数，其中，表示不超过x的最大整数，例如：，．①若函数，则的值域为______；②若函数，则方程所有的解为______．第五部分：数学思想方法①函数与方程的思想1．（2023秋·河北石家庄·高一石家庄一中校考阶段练习）已知函数与的零点分别为a，b，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数若直线与有三个不同的交点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2020秋·安徽合肥·高三长丰县第一中学校考阶段练习）已知函数，则方程的根的个数不可能是（

）A．3 B．4 C．5 D．6（2023·高一课时练习）若正实数是方程的根，则___________．②数形结合的思想1．（2023春·湖北·高一校联考阶段练习）已知为定义在上的奇函数，当时，单调递增，且，，，则函数的零点个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．12．（2023春·湖北·高一赤壁一中校联考阶段练习）已知函数，若关于的方程有8个不相等的实根，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．3．（2023春·上海宝山·高一校考阶段练习）已知函数是定义域为R的偶函数，当时，，若关于x的方程有且仅有5个不同实数根，则____