3.2.1.1函数的单调性(第二课时)课件-高一上学期数学人教A版

3.2.1.1函数的单调性

(第二课时)2019人教A版第一册第三章复习回顾1.单调递增

2.单调递减

特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数探究一根据函数图象求函数的单调区间[知能解读]

判断函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若函数不是上述函数且函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出函数单调区间．一般来说，在某区间内，由左至右图象是上升的，该区间就是函数的单调递增区间；在某区间内，由左至右图象是下降的，该区间就是函数的单调递减区间．探究一根据函数图象求函数的单调区间例1

作出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象并指出它的单调区间．解

根据绝对值的意义

作出函数图象如图所示，根据图象可知，函数的单调递增区间是(－∞，－1]，[0，1]；单调递减区间是(－1，0)，(1，＋∞).探究一根据函数图象求函数的单调区间[变式]

作出函数f(x)＝|x2＋2x－3|的图象并指出它的单调区间．解令g(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.先作出g(x)的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方就得到f(x)＝|x2＋2x－3|的图象，如图所示．由图象可知，函数的单调递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；函数的单调递减区间是(－∞，－3)，(－1，1).探究一根据函数图象求函数的单调区间[方法总结]图象法求函数单调区间的步骤(1)作图：作出函数的图象．(2)结论：上升图象对应单调递增区间，下降图象对应单调递减区间．提醒当函数有多个单调区间时，区间之间用“和”或“，”连接，而不能用“∪”连接．

探究一根据函数图象求函数的单调区间[训练1]

求函数f(x)＝|x＋1|－|2x－4|的单调递减区间．画出函数f(x)的图象如图所示，函数f(x)的单调递减区间是[2，＋∞).探究二函数单调性的简单应用[知能解读]

由函数单调性求参数范围的类型及处理方法(1)由函数解析式求参数探究二函数单调性的简单应用[知能解读]

由函数单调性求参数范围的类型及处理方法(1)由函数解析式求参数探究二函数单调性的简单应用(2)抽象函数求参数①依据：单调增(减)函数中函数值与自变量的关系．∀x1，x2∈I，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在区间I上是增函数；∀x1，x2∈I，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在区间I上是减函数．②方法：依据函数单调性的特点去掉符号“f”，转化为不等式问题求解．探究二函数单调性的简单应用例2

已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在(－∞，4]上是减函数．求实数a的取值范围．解∵f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2＝[x＋(a－1)]2－(a－1)2＋2，∴此二次函数的对称轴为直线x＝1－a．∴f(x)的单调递减区间为(－∞，1－a].∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合．∴1－a≥4.解得a≤－3.∴实数a的取值范围是(－∞，－3].[分析]

二次函数，开口向上，在(－∞，4]上是减函数，看对称轴与单调区间端点的位置关系．探究二函数单调性的简单应用[变式1]

若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增，则f(4)＝__________．

解析由题意得f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2关于直线x＝4对称，即－(a－1)＝4，∴a＝－3，∴f(x)＝x2－8x＋2，∴f(4)＝42－8×4＋2＝－14.－14探究二函数单调性的简单应用[变式2]

若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间为(－∞，4]，则a为何值？若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在[4，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是什么？解若f(x)的单调递减区间为(－∞，4]，则1－a＝4，∴a＝－3.若f(x)在[4，＋∞)上是增函数，则1－a≤4，∴a≥－3，即a的取值范围为[－3，＋∞).探究二函数单调性的简单应用[变式3]

已知f(x)是定义在(－1，1)上的减函数，且f(1－a)＜f(2a－1)，求实数a的取值范围．探究二函数单调性的简单应用[方法总结](1)利用函数的单调性求字母的取值范围时，往往利用函数的图象解决，在解题时要注意函数的定义域．(2)函数的单调区间与函数在某一区间上单调是两个不同的概念，其中后者的区间是函数单调区间的子集．

探究二函数单调性的简单应用[训练2]

(1)已知函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(3a－7)>f(11＋8a)，则实数a的取值范围是________．探究二函数单调性的简单应用

例3

f(x)对任意实数x与y都有f(x)-f(y)=f(x-y)-2，当x>0时，f(x)>2.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(1)=2.5，解不等式f(2a-3)<3.

f(x1

)-f(x2)=f(x1-x2)-2

因为x1>x2，所以

x1-x2>0当x>0时，f(x)>2所以f(x1-x2)-2>0

则f(x1

)-f(x2)>0

所以f(x)在R上是增函数.(2)令x=2，y=1，则f(2)-f(1)=f(2-1)-2所以原不等式可化为f(2a-3)<

f(3)因为f(x)在R上是增函数.所以2a-3<3解得a>2.5赋值法探究三抽象函数与函数的单调性探究三抽象函数与函数的单调性

解(1)令x＝y＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0.赋值法探究四分段函数在R上单调求参数常考选择填空解析要使此分段函数为R上的增函数，必须使函数g(x)＝(2b－1)x＋b－1在(0，＋∞)上是增函数，函数h(x)＝－x2＋(2－b)x在(－∞，0]上是增函数，且满足h(0)≤g(0).根据一次函数和二次函数的单调性可得∴1≤b≤2，即实数b的取值范围是[1，2].[1，2]探究四分段函数在R上单调求参数[方法总结]①每一段都要单调②作图，看端点值位置yxOyxOyxOyxO在R上单调递增在R上单调递增在R上单调递减在R上单调递减探究四分段函数在R上单调求参数[训练4]若函数f(x)＝

是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是(

)A．(－