2025-2026学年云南省普洱市景东彝族自治县一中数学高三第一学期期末联考模拟试题

2025-2026学年云南省普洱市景东彝族自治县一中数学高三第一学期期末联考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为（）A． B． C． D．2．已知，则“直线与直线垂直”是“”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知类产品共两件，类产品共三件，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件类产品或者检测出3件类产品时，检测结束，则第一次检测出类产品，第二次检测出类产品的概率为（）A． B． C． D．4．从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则在方程表示双曲线的条件下，方程表示焦点在轴上的双曲线的概率为（）A． B． C． D．5．设直线过点，且与圆：相切于点，那么（）A． B．3 C． D．16．“且”是“”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）A．若,,则 B．若，,则C．若,,则 D．若,,则8．设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且,则直线的斜率的最大值为()A． B． C． D．19．复数的实部与虚部相等，其中为虚部单位，则实数()A．3 B． C． D．10．盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球，从中任取个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后放回，此时盒中黑球的个数，则()A．， B．，C．， D．，11．二项式的展开式中，常数项为（）A． B．80 C． D．16012．已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若，则______.14．三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为160，240，400，为调查联考数学学科的成绩，现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本，若在学校抽取的数学成绩的份数为30，则抽取的样本容量为____________.15．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程中，p为“隅”，q为“实”．即若的大斜、中斜、小斜分别为a，b，c，则.已知点D是边AB上一点，，，，，则的面积为________．16．已知双曲线的渐近线与准线的一个交点坐标为，则双曲线的焦距为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴，且两坐标系取相同的长度单位.已知曲线的参数方程：（为参数），直线的极坐标方程：（1）求曲线的极坐标方程；（2）若直线与曲线交于、两点，求的最大值.18．（12分）如图是圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不同于的任意一点（1）求证：平面平面；（2）设为的中点，为上的动点（不与重合）求二面角的正切值的最小值19．（12分）已知是递增的等比数列，，且、、成等差数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，，求数列的前项和.20．（12分）在中，内角的对边分别是，满足条件．（1）求角；（2）若边上的高为，求的长．21．（12分）已知，，分别是三个内角，，的对边，．（1）求；（2）若，，求，．22．（10分）已知，，为正数，且，证明：（1）；（2）.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A【解析】

根据球的特点可知截面是一个圆，根据等体积法计算出球心到平面的距离，由此求解出截面圆的半径，从而截面面积可求.【详解】如图所示：设内切球球心为，到平面的距离为，截面圆的半径为，因为内切球的半径等于正方体棱长的一半，所以球的半径为，又因为，所以，又因为，所以，所以，所以截面圆的半径，所以截面圆的面积为.故选：A.本题考查正方体的内切球的特点以及球的截面面积的计算，难度一般.任何一个平面去截球，得到的截面一定是圆面，截面圆的半径可通过球的半径以及球心到截面的距离去计算.2．B【解析】

由两直线垂直求得则或，再根据充要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，“直线与直线垂直”则，解得或，所以“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件，故选B.本题主要考查了两直线的位置关系，及必要不充分条件的判定，其中解答中利用两直线的位置关系求得的值，同时熟记充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.3．D【解析】

根据分步计数原理，由古典概型概率公式可得第一次检测出类产品的概率，不放回情况下第二次检测出类产品的概率，即可得解.【详解】类产品共两件，类产品共三件，则第一次检测出类产品的概率为；不放回情况下，剩余4件产品，则第二次检测出类产品的概率为；故第一次检测出类产品，第二次检测出类产品的概率为；故选：D.本题考查了分步乘法计数原理的应用，古典概型概率计算公式的应用，属于基础题.4．A【解析】

设事件A为“方程表示双曲线”，事件B为“方程表示焦点在轴上的双曲线”，分别计算出，再利用公式计算即可.【详解】设事件A为“方程表示双曲线”，事件B为“方程表示焦点在轴上的双曲线”，由题意，，，则所求的概率为.故选：A.本题考查利用定义计算条件概率的问题，涉及到双曲线的定义，是一道容易题.5．B【解析】

过点的直线与圆：相切于点，可得.因此，即可得出.【详解】由圆：配方为，，半径.∵过点的直线与圆：相切于点，∴；∴；故选：B.本小题主要考查向量数量积的计算，考查圆的方程，属于基础题.6．A【解析】

画出“,,,所表示的平面区域,即可进行判断.【详解】如图，“且”表示的区域是如图所示的正方形，记为集合P，“”表示的区域是单位圆及其内部，记为集合Q，显然是的真子集,所以答案是充分非必要条件，故选:.本题考查了不等式表示的平面区域问题,考查命题的充分条件和必要条件的判断,难度较易.7．C【解析】

在A中，与相交或平行；在B中，或；在C中，由线面垂直的判定定理得；在D中，与平行或．【详解】设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则：在A中，若，，则与相交或平行，故A错误；在B中，若，，则或，故B错误；在C中，若，，则由线面垂直的判定定理得，故C正确；在D中，若，，则与平行或，故D错误．故选C．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．8．C【解析】试题分析：设，由题意，显然时不符合题意，故，则，可得：，当且仅当时取等号，故选C．考点：1．抛物线的简单几何性质；2．均值不等式．【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件，利用向量的运算可知，写出直线的斜率，注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问题．9．B【解析】

利用乘法运算化简复数即可得到答案.【详解】由已知，，所以，解得.故选：B本题考查复数的概念及复数的乘法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.10．C【解析】

根据古典概型概率计算公式，计算出概率并求得数学期望，由此判断出正确选项.【详解】表示取出的为一个白球，所以.表示取出一个黑球，，所以.表示取出两个球，其中一黑一白，，表示取出两个球为黑球，，表示取出两个球为白球，，所以.所以，.故选：C本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望的计算，属于中档题.11．A【解析】

求出二项式的展开式的通式，再令的次数为零，可得结果.【详解】解：二项式展开式的通式为，令，解得，则常数项为.故选：A.本题考查二项式定理指定项的求解，关键是熟练应用二项展开式的通式，是基础题.12．A【解析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得的坐标得出答案.【详解】解：，在复平面内对应的点的坐标是.故选：A.本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

直接利用关系式求出函数的被积函数的原函数，进一步求出的值．【详解】解：若，则，即，所以．故答案为：．本题考查的知识要点：定积分的应用，被积函数的原函数的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．14．【解析】

某层抽取的人数等于该层的总人数乘以抽样比.【详解】设抽取的样本容量为x，由已知，，解得.故答案为：本题考查随机抽样中的分层抽样，考查学生基本的运算能力，是一道容易题.15．.【解析】

利用正切的和角公式求得,再求得,利用余弦定理求得,代入“三斜求积术”公式即可求得答案.【详解】，所以，由余弦定理可知，得.根据“三斜求积术”可得，所以.本题考查正切的和角公式,同角三角函数的基本关系式,余弦定理的应用,考查学生分析问题的能力和计算整理能力,难度较易.16．1【解析】

由双曲线的渐近线，以及求得的值即可得答案．【详解】由于双曲线的渐近线与准线的一个交点坐标为，所以，即①，把代入，得，即②又③联立①②③，得．所以．故答案是：1．本题考查双曲线的性质，注意题目“双曲线的渐近线与准线的一个交点坐标为”这一条件的运用，另外注意题目中要求的焦距即，容易只计算到，就得到结论．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）；（2）10【解析】

（1）消去参数，可得曲线C的普通方程，再根据极坐标与直角坐标的互化公式，代入即可求得曲线C的极坐标方程；（2）将代入曲线C的极坐标方程，利用根与系数的关系，求得，进而得到=，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）由题意，曲线C的参数方程为，消去参数，可得曲线C的普通方程为，即，又由，代入可得曲线C的极坐标方程为.（2）将代入，得，即，所以=，其中，当时，取最大值，最大值为10.本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及曲线的极坐标方程的应用，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题.18．（1）见解析（2）【解析】

（1）推导出，，从而平面，由面面垂直的判定定理即可得证．（2）过作，以为坐标原点，建立如图所示空间坐标系，设，利用空间向量法表示出二面角的余弦值，当余弦值取得最大时，正切值求得最小值；【详解】（1）因为，面，，平面，平面，平面，又平面，平面平面；（2）过作，以为坐标原点，建立如图所示空间坐标系，则，设，则平面的一个法向量为设平面的一个法向量为则，即，令，如图二面角的平面角为锐角，设二面角为，则，时取得最大值，最大值为，则最小值为本题考查面面垂直的证明，利用空间向量法解决立体几何问题，属于中档题.19．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）设等比数列的公比为，根据题中条件求出的值，结合等比数列的通项公式可得出数列的通项公式；（Ⅱ）求得，然后利用裂项相消法可求得.【详解】（Ⅰ）设数列的公比为，由题意及，知.、、成等差数列成等差数列，，，即，解得或（舍去），.数列的通项公式为；（Ⅱ），.本题考查等比数列通项的求解，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于基础题.20．（1）．（2）【解析】

（1）利用正弦定理的边角互化可得，再根据，利用两角和的正弦公式即可求解.（2）已知，由知，在中，解出即可.【详解】（1）由正弦定理知由己知，而∴，（2）已知，则由知先求∴∴∴本题主要考查了正弦定理解三角形、三角形的性质、两角和的正弦公式，需熟记定理与公式，属于基础题.21．（1）；（2），或，.【解析】

（1）利用正弦定理，转化