2025年广东省广州市黄埔区中考一模数学试题及答案

试题试题2025年广东省广州市黄埔区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）截至2025年3月18日，电影《哪吒之魔童闹海》的票房约，科学记数法表示为（）A．15.2×1011 B．15.2×1010 C．1.52×1011 D．1.52×10103．（3分）下列几何体中，俯视图是三角形的是（）A． B． C． D．4．（3分）下列运算正确的是（）A．4a﹣2a＝2 B．（﹣2a）2＝﹣4a2 C．﹣12a2÷4a＝3a D．205．（3分）中华人民共和国第十五届运动会将于2025年11月9日至21日在粤港澳三地共同举行．两名运动员进行了10次某运动项目的测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名运动员的成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们成绩的（）A．中位数 B．众数 C．方差 D．以上都不对6．（3分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝3，则∠A的正弦值为（）A．53 B．23 C．357．（3分）如图，正比例函数y1＝kx的图象与反比例函数y2=4x的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为4，当y2＞yA．x＜﹣4或x＞4 B．x＜﹣4或0＜x＜4 C．﹣4＜x＜0或0＜x＜4 D．﹣4＜x＜0或x＞48．（3分）对于任意4个实数a，b，c，d，定义一种新的运算abcd=ad−bc，例如：32A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断9．（3分）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于E，DE＝2，AB＝8，则AC的长为（）A．8 B．10 C．45 D．4310．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点O，O1，A，A1，B，B1，C⋯⋯都是平行四边形的顶点，点A，B，C⋯⋯在x轴正半轴上，∠AOO1＝45°，OA＝1，AB＝2，BC＝3，OO1=2，AA1＝22A．(6，52) B．（10，3） C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）11．（3分）若二次根式x−1有意义，则x的取值范围是．12．（3分）物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为12cm，蜡烛AB与凸透镜的距离BE为28cm，蜡烛的像CD与凸透镜的距离DE为7cm，则像CD的高为cm．13．（3分）2025年我国人工智能领域取得重大突破，国产大模型DeepSeek（深度求索）凭借开源模式和成本优势火爆全球．在单词DeepSeek中任意选择一个字母，选到字母“e”的概率是．14．（3分）若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝3的解，则2025﹣3a+b的值为．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，AE平分∠BAD交BC于点E．点F，G分别是AD，AE的中点，则FG的长为．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB=10，点D是平面内一点，且CD＝1．过点B作BE⊥AD于点E①若CD⊥AE，则AD的长为；②当线段CD绕点C在平面内旋转时，线段BE长度的最大值为．三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（4分）解方程：x2﹣2x﹣8＝0．18．（4分）如图，已知∠BAC＝∠ABD＝90°，∠ABC＝∠BAD，求证：AC＝BD．19．（6分）已知T=(1−1（1）化简T；（2）若点P（m，m﹣1）在反比例函数y=2x的图象上，求20．（6分）为响应“非遗进校园”活动，某校开设了四类非遗文化社团：A粤剧，B粤绣，C英歌舞，D醒狮，每位同学只能选择其中一个社团参加．学校随机调查了部分参与社团的学生的情况，根据调查结果绘制了不完整的统计图（如图）：（1）本次共调查了名学生，其中参与B社团的人数是人；（2）学校计划从A，B，C，D四个社团中任选两个社团进行成果展示，请用列表或画树状图的方法，求同时选中A和C两个社团的概率．21．（8分）清明节是中国的传统节日之一，主要有踏青、扫墓、吃青团等习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的青团．已知购进90袋甲种青团和120袋乙种青团的总金额是2340元，购进150袋甲种青团和60袋乙种青团的总金额是2220元．（1）求甲、乙两种青团每袋的单价分别是多少元；（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种青团共150袋，若总金额不超过1750元，最少应购进多少袋甲种青团？22．（10分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°．（1）尺规作图：作⊙O，使圆心O在边AC上，且⊙O与AB，BC所在直线相切（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若AC＝9，cos∠ABC=45，求⊙O的半径23．（10分）如图，直线y＝2x+6与反比例函数y=kx（x＞0）的图象交于点A（m，8），与x轴交于点（1）求m的值和反比例函数的解析式；（2）点N是直线AB上的一点，过点N作平行于x轴的直线MN交反比例函数的图象于点M，连接BM，BNAN=3，求△24．（12分）如图，在矩形ABCD中，AD=23+2，∠ACD=30°，点P为射线CA上一动点，连接DP，将线段DP绕点P逆时针旋转30°得到线段EP，连接（1）当点P为线段AC的中点时，求证：△ADP是等边三角形；（2）当PE与矩形ABCD的边平行时，求线段DP的长；（3）在点P的运动过程中，线段DE的长度是否存在最小值？如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．25．（12分）平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y=14x（1）求抛物线G的对称轴；（2）已知A（x1，y1）和B（x2，y2）是抛物线G上的两点，若对于x1=32m，1≤x2≤2，都有y1（3）当1＜x＜t时（其中t为实数且t＞1），抛物线G的图象总在直线l：y＝x的下方，求t的最大值．

2025年广东省广州市黄埔区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BD．ADCABBCD一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：B．2．（3分）截至2025年3月18日，电影《哪吒之魔童闹海》的票房约，科学记数法表示为（）A．15.2×1011 B．15.2×1010 C．1.52×1011 D．1.52×1010【解答】解1.52×1010．故选：D．3．（3分）下列几何体中，俯视图是三角形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．俯视图是三角形，故符合题意；B．俯视图是圆，故不符合题意；C．俯视图是有圆心的圆，故不符合题意；D．俯视图是正方形，故不符合题意．故选：A．4．（3分）下列运算正确的是（）A．4a﹣2a＝2 B．（﹣2a）2＝﹣4a2 C．﹣12a2÷4a＝3a D．20【解答】解：∵4a﹣2a＝2a，∴A选项的运算不正确，不符合题意；∵（﹣2a）2＝4a2，∴B选项的运算不正确，不符合题意；∵﹣12a2÷4a＝﹣3a，∴C选项的运算不正确，不符合题意；∵20−∴D选项的运算正确，符合题意．故选：D．5．（3分）中华人民共和国第十五届运动会将于2025年11月9日至21日在粤港澳三地共同举行．两名运动员进行了10次某运动项目的测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名运动员的成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们成绩的（）A．中位数 B．众数 C．方差 D．以上都不对【解答】解：由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生立定跳远成绩的方差．故选：C．6．（3分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝3，则∠A的正弦值为（）A．53 B．23 C．35【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝3，∴BC=A∴sinA=BC故选：A．7．（3分）如图，正比例函数y1＝kx的图象与反比例函数y2=4x的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为4，当y2＞yA．x＜﹣4或x＞4 B．x＜﹣4或0＜x＜4 C．﹣4＜x＜0或0＜x＜4 D．﹣4＜x＜0或x＞4【解答】解：∵正比例函数y1＝kx的图象与反比例函数y2=4x的图象相交于A，∴点A的横坐标为﹣4．根据函数图象可知：当y2＞y1时，x的取值范围是0＜x＜4或x＜﹣4．故选：B．8．（3分）对于任意4个实数a，b，c，d，定义一种新的运算abcd=ad−bc，例如：32A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断【解答】解：∵ab∴关于x的方程x18x−k=0可化为x（x﹣k）﹣8＝0，即x∵a＝1，b＝﹣k，c＝﹣8，∴Δ＝（﹣k）2﹣4×1×（﹣8）＝k2+32＞0，∴有两个不相等的实数根．故选：B．9．（3分）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于E，DE＝2，AB＝8，则AC的长为（）A．8 B．10 C．45 D．43【解答】解：连接OA，设⊙O的半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣2，∵CD⊥AB，CD过圆心O，AB＝8，∴AE＝BE＝4，∠AEC＝90°，由勾股定理得：OA2＝OE2+AE2，即R2＝（R﹣2）2+42，解得：R＝5，即OA＝OC＝5，OE＝5﹣2＝3，∴CE＝OC+OE＝5+3＝8，∴AC=CE2故选：C．10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点O，O1，A，A1，B，B1，C⋯⋯都是平行四边形的顶点，点A，B，C⋯⋯在x轴正半轴上，∠AOO1＝45°，OA＝1，AB＝2，BC＝3，OO1=2，AA1＝22A．(6，52) B．（10，3） C．【解答】解：如图所示，连接O1M⊥x轴于点M，∵∠AOO1＝45°，OO1=2∴OM＝O1M＝1，∵OA＝1，∴M，A重合，∴O1A⊥OA，则O1A的中点即为第1个平行四边形的对称中点，其坐标为（1，12同理可得：A1B⊥AB，OB＝0A+AB＝3，A1B＝AB＝2，则A1B的中点即为第2个平行四边形的对称中点，其坐标为（1+2，1）；同理可得：第3个平行四边形的对称中心的坐标是（1+2+3，32⋯同理可得：第n个平行四边形的对称中心的坐标是（1+2+3+⋯+n，n2∴第6个平行四边形的对称中心的坐标是（1+2+3+4+5+6，62），即（6×7故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）11．（3分）若二次根式x−1有意义，则x的取值范围是x≥1．【解答】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0，∴x≥1．故答案为：x≥1．12．（3分）物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为12cm，蜡烛AB与凸透镜的距离BE为28cm，蜡烛的像CD与凸透镜的距离DE为7cm，则像CD的高为3cm．【解答】解：由题意得：AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDE，∠BAE＝∠DCE，∴△ABE∽△CDE，∴ABCD∴12CD解得：CD＝3，∴像CD的高为3cm，故答案为：3．13．（3分）2025年我国人工智能领域取得重大突破，国产大模型DeepSeek（深度求索）凭借开源模式和成本优势火爆全球．在单词DeepSeek中任意选择一个字母，选到字母“e”的概率是12【解答】解：选到“e”的概率是：4÷8=1故答案为：1214．（3分）若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝3的解，则2025﹣3a+b的值为2024．【解答】解：把x＝3代入方程ax2﹣bx＝3得：9a﹣3b＝3，即3a﹣b＝1，2025﹣3a+b＝2025﹣（3a﹣b）＝2025﹣1＝2024，故答案为：2024．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，AE平分∠BAD交BC于点E．点F，G分别是AD，AE的中点，则FG的长为10．【解答】解：连接DE，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE＝45°，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE＝6，∴EC＝BC﹣BE＝2，∴DE=C∵点F、G分别为AD、AE的中点，∴FG是△ADE的中位线，∴FG=1故答案为：10．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB=10，点D是平面内一点，且CD＝1．过点B作BE⊥AD于点E①若CD⊥AE，则AD的长为3；②当线段CD绕点C在平面内旋转时，线段BE长度的最大值为4．【解答】解：（1）∵CD⊥AE，∴AD=A故答案为：3；（2）∵BE⊥AE，∴∠BEA＝90°，∴点E是在以AB为直径的圆上运动，∵CD＝1，且CD是绕点C旋转，∴点D是在以C为圆心，以1为半径的圆上运动，如图，当AE与圆C相切于点D，且D在△ABC外部时，∠BAE最大，BE最大，由题意可得：AD＝3，∵四边形AECB为圆的内接四边形，∠ACB＝90°，CA＝CB=10∴∠CED＝∠CBA＝45°，∠CEB＝∠CAB＝45°，AB＝25，∴DE＝CD＝1，∠AEB＝90°，∴AE＝2，∴BE=A故答案为：4．三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（4分）解方程：x2﹣2x﹣8＝0．【解答】解：原方程化为（x+2）（x﹣4）＝0，解得x+2＝0，x﹣4＝0，x1＝﹣2，x2＝4．18．（4分）如图，已知∠BAC＝∠ABD＝90°，∠ABC＝∠BAD，求证：AC＝BD．【解答】证明：在△ABC与△BAD中，∠BAC=∠ABDAB=BA∴△ABC≌△BAD（ASA），∴AC＝BD．19．（6分）已知T=(1−1（1）化简T；（2）若点P（m，m﹣1）在反比例函数y=2x的图象上，求【解答】解：（1）T=(1−=mm+1•=m(m−1)（2）∵点P（m，m﹣1）在反比例函数y=2∴m﹣1=2整理得m2﹣m﹣2＝0，解得m＝2或m＝﹣1（舍去），当m＝2时，T=2×(2−1)20．（6分）为响应“非遗进校园”活动，某校开设了四类非遗文化社团：A粤剧，B粤绣，C英歌舞，D醒狮，每位同学只能选择其中一个社团参加．学校随机调查了部分参与社团的学生的情况，根据调查结果绘制了不完整的统计图（如图）：（1）本次共调查了50名学生，其中参与B社团的人数是5人；（2）学校计划从A，B，C，D四个社团中任选两个社团进行成果展示，请用列表或画树状图的方法，求同时选中A和C两个社团的概率．【解答】解：（1）本次共调查了10÷20%＝50（名）学生，∴参与B社团的人数是50﹣10﹣25﹣10＝5（人）．故答案为：50；5．（2）列表如下：ABCDA（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）共有12种等可能的结果，其中同时选中A和C两个社团的结果有：（A，C），（C，A），共2种，∴同时选中A和C两个社团的概率为21221．（8分）清明节是中国的传统节日之一，主要有踏青、扫墓、吃青团等习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的青团．已知购进90袋甲种青团和120袋乙种青团的总金额是2340元，购进150袋甲种青团和60袋乙种青团的总金额是2220元．（1）求甲、乙两种青团每袋的单价分别是多少元；（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种青团共150袋，若总金额不超过1750元，最少应购进多少袋甲种青团？【解答】解：（1）设每袋甲种青团的单价是x元，每袋乙种青团的单价是y元，根据题意得：90x+120y=2340150x+60y=2220解得：x=10y=12答：每袋甲种青团的单价是10元，每袋乙种青团的单价是12元；（2）设再次购进m袋甲种青团，则再次购进（150﹣m）袋乙种青团，根据题意得：10m+12（150﹣m）≤1750，解得：m≥25，∴m的最小值为25．答：最少应购进25袋甲种青团．22．（10分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°．（1）尺规作图：作⊙O，使圆心O在边AC上，且⊙O与AB，BC所在直线相切（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若AC＝9，cos∠ABC=45，求⊙O的半径【解答】解：（1）如图，作∠ABC的平分线，交AC于点O，以点O为圆心，OC的长为半径画圆，则⊙O即为所求．（2）设⊙O与AB相切于点D，连接OD，∴OC＝OD，∠ADO＝∠ACB＝90°，∴∠AOD+∠A＝∠ABC+∠A＝90°，∴∠AOD＝∠ABC，∴cos∠ABC＝cos∠AOD=4设⊙O的半径为r，则OC＝OD＝r，OA＝AC﹣OC＝9﹣r，∴cos∠AOD=OD解得r＝4，经检验，r＝4是原方程的解且符合题意，∴⊙O的半径为4．23．（10分）如图，直线y＝2x+6与反比例函数y=kx（x＞0）的图象交于点A（m，8），与x轴交于点（1）求m的值和反比例函数的解析式；（2）点N是直线AB上的一点，过点N作平行于x轴的直线MN交反比例函数的图象于点M，连接BM，BNAN=3，求△【解答】解：（1）∵直线y＝2x+6与反比例函数y=kx（x＞0）的图象交于点A（∴8＝2m+6，∴m＝1，∴A（1，8），把A（1，8）代入y=kx得，8∴k＝8，∴反比例函数的解析式为y=8（2）如图，∵MN∥x轴，∴M（8n，n），N（n−62，∴MN=8∵BNAN∴S△AMN=13S△∴8﹣n=13解得，n＝6，∴S△BMN=12MN•yn=12×如图，∵BNAN∴ABAN∵MN∥x轴，∴M（8n，n），N（n−62，∴MN=n−6∴S△AMN＝S△BMN，∴n﹣8=13解得，n＝12，∴S△BMN=12MN•yn=12×综上所述，△BMN的面积为4或14．24．（12分）如图，在矩形ABCD中，AD=23+2，∠ACD=30°，点P为射线CA上一动点，连接DP，将线段DP绕点P逆时针旋转30°得到线段EP，连接（1）当点P为线段AC的中点时，求证：△ADP是等边三角形；（2）当PE与矩形ABCD的边平行时，求线段DP的长；（3）在点P的运动过程中，线段DE的长度是否存在最小值？如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，∠ADC＝90°，∵点P为线段AC的中点，∴DP=1∵∠ACD＝30°，∴∠DAP＝90°﹣∠ACD＝60°，∴△ADP是等边三角形；（2）解：①当PE∥AB时，如图，∴∠APE＝∠ACD＝30°，∴∠APD＝∠APE+∠DPE＝60°，∴∠APD＝∠DAP＝60°，∴△ADP是等边三角形，∴DP=AD=23②当PE∥AD时，如图，在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，AD=23∴CD=AD⋅tan60°=6+23∵PE∥AD，∴∠ADP＝∠DPE＝30°，∴∠PDC＝∠ADP+∠ADC＝120°，∴∠APD＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD＝30°，∴∠APD＝∠PCD，∴DP=CD=6+23综上，线段DP的长为23+2或（3）解：方法一：如图，过点D作DM⊥EP于点M，∵∠DPE＝30°，设DM＝x，则DP＝2x，∴MP=3∴ME=PE−PM=2x−3∴DE当DP⊥AC时，DP取得最小值，DP最小值为12∵当DP最小时，DE最小，∴DE最小值为(2−3方法二：在AC上取一点H，使得CH＝CD，连接DH，EH，（i）如图，当点P在线段CH上时，∵∠DHC=∠CDH=180°−∠DCH∠DEP=∠PDE=180°−∠DPE∴∠DHP＝∠DEP，∴D，E，H，P四点共圆；（ii）如图，当点P在线段CH