数学·第五册（五年制高职） 教案 第二十三章 积分及其应用23.2.2 定积分的定义

五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第五册）》教案课题23.2.2定积分的定义授课时间学习目标通过具体实例，理解定积分的概念，掌握定积分表达式中的数学符号；2.了解定积分存在的条件，知道什么样的函数的定积分是存在的；3.会计算简单函数在给定区间上的定积分，体会积分的思想方法.教学重点定积分的概念及计算教学难点定积分与实际问题的联系教学准备PPT教学过程教学内容一、问题探究教师活动问题探究设某物体作直线运动，已知速度是时间区间上的一个连续函数，且，如何求物体在这段时间内所经过的路程？这是一个典型的求变速直线运动路程的问题.我们知道，对于匀速直线运动，路程=速度时间.但是，现在速度随时间而变化，在很短一段时间内，其速度变化也很小，可近似看作匀速的情形.因此，把整段时间分割成若干小段，每个时间段上以匀速直线运动代替变速运动，则可以计算出在每个小时间段内路程的近似值，再求出各个小时间段的路程和，便得到整个路程的近似值，最后通过求极限得到路程的精确值，具体步骤如下：（1）分割.如图23-6，在时间间隔中任意插入个分点：，把T1，T2分成记第个小区间的长度为，即∆ti=ti在每个小时间段ti−1，ti上任取τi，以时刻τi的速度vτ学生活动通过具体实例，体会“分割、求和、取极限”的积分思想方法.教学过程教学内容教师活动学生活动二、抽象概括三、合作交流.（2）求和.将这样得到的n个小时间段上路程的近似值之和作为所求变速直线运动路程的近似值，即.（3）取极限.设，当时，取上述和式的极限，便得到变速直线运动路程的精确值.可以看出，求曲边梯形面积的几何问题、求变速直线运动路程的物理问题等，尽管实际背景完全不同，但通过“分割、求和、取极限”，最终都归结为和式的极限.由此，可以给出定积分的定义.抽象概括定义23.3设函数在上有定义，任取分点满足，将区间分成个小区间，其长度为．在每个小区间上任取一点(xi−1≤ξi≤xi)，作乘积的和式．如果不论对区间采取何种分法以及如何选取，当最大小区间的长度趋向于零时，上面和式极限存在，则称此极限为函数在区间上的定积分，记作，即.其中称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量，与分别称为积分的下限与上限，称为积分区间．如果函数在区间上的定积分存在，则称在区间上可积，否则称在区间上不可积．合作交流根据定积分定义，将函数的图象与直线和轴所围成平面图形的面积用定积分表示.关于定积分的概念，还应注意以下几点：(1)定积分是一个和式的极限，是一个确定的常量．定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量使用的字母无关，即有通过曲边梯形面积的几何问题、求变速直线运动路程的物理问题等，进一步加深积分思想方法.理解定积分的概念，掌握定积分表达式中的数学符号.了解定积分存在的条件，知道什么样的函数的定积分是存在的.利用定积分d的知识，解决问题.深刻理解定积分是一个和式的极限，是一个确定的常量.教学过程教学内容教师活动学生活动四、例题讲析五、课内练习七、课堂小结(2)定义中区间的分法和的取法是任意的.(3)在定积分的定义中，总假定，如果,规定,即互换定积分的上、下限，定积分变号.特别地,四、例题讲析例3根据定义计算定积分五、课内练习1.根据定积分的定义，证明：若，则.2.根据定义计算定积分七、课堂小结1.理解定积分的概念，掌握定积分表达式中的数学符号；2.了解定积分存在的条件，知道什么样的函数的定积