辽宁省重点高中联合体2024-2025学年高一下学期7月期末检测试题 数学 含解析

辽宁省重点高中联合体2024-2025学年高一下学期7月期末检测数学试题一、单选题1．复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知向量，，则（

）A． B． C． D．3．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则C和a的值分别为（

）A．， B．， C．， D．，4．已知某扇形的周长为60，圆心角为4，则该扇形的面积为（

）A．75 B．150 C．200 D．4005．将函数的图象上的每个点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，并将所得图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到函数的图象，则（

）A． B． C． D．6．在中，已知，，则面积的最大值为（

）．A．1 B． C．3 D．27．如图，在直三棱柱中，，，点P为棱的中点，则点P到直线AB的距离为（

）A． B． C． D．8．已知直线族：与曲线在区间内的图象共有2025个交点，则（

）A． B．1013 C． D．1012二、多选题9．关于斜二测画法，下列命题为真命题的有（

）A．平行关系在直观图与原图中保持不变 B．斜二测画法不会改变边长比例C．斜二测画法会改变直角关系 D．通过斜二测画法得到的直观图和原图的面积相等10．已知复数，是方程的两个根，且在复平面内，对应的点在对应的点的上方，为坐标原点，则（

）A． B．C． D．11．已知，则的取值可以为（

）A． B． C． D．三、填空题12．已知，则.13．已知边长为4的菱形的一个内角为，则．14．如图，在三棱锥中，D为BC的中点，平面平面ABC，，，，三棱锥的体积为，则锐二面角的正切值为．

四、解答题15．已知平面向量，.(1)若⊥，求的值；(2)若，且与的夹角为锐角，求的取值范围.16．如图，已知正四面体，分别是棱的中点．

(1)证明：四边形为菱形；(2)求异面直线与所成角的余弦值．17．在中，A是锐角，且.(1)求B；(2)设P是所在平面内的一点，A，P位于直线BC两侧，若，且，求四边形的面积.18．已知函数.(1)若，求的最小正周期；(2)若在区间上有定义.（i）求的最大值；（ⅱ）若曲线至少有两个对称中心在区间上，求的取值范围.19．①斜圆锥，顾名思义，即圆锥锥体中轴线被拉斜后所形成的锥体.保持圆锥的顶点到圆锥底面的距离不变，将顶点位置改变后，所得到的锥体即为斜圆锥.②祖暅原理指出：“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积相等，则体积相等.(1)如图，已知圆柱的上底面圆心为，下底面圆心为，圆锥的顶点为，底面与圆柱的下底面相同.是圆柱的上底面圆周上一点，将与圆柱下底面圆周上的点相连，记构成的封闭几何体为斜圆锥.是平行于圆柱底面且与圆柱有交点的平面，A，B是圆柱下底面圆周上的两点，.（i）证明：；（ii）证明：截所得的图形为圆面；(2)已知斜圆锥的底面半径为，底面中心与顶点的连线长度为，且其与底面所成的角为，求该斜圆锥的体积.

题号12345678910答案ACDCBBAAACACD题号11答案AD1．A计算得到，在复平面内对应的点为，得到所在象限.【详解】，故z在复平面内对应的点为，位于第一象限.故选：A.2．C根据给定条件，利用向量夹角公式列式求解.【详解】依题意，.故选：C3．D利用正弦定理求解.【详解】由三角形内角和可得，由正弦定理可得，解得.故选：D.4．C根据给定条件，利用扇形弧长及面积公式列式求解.【详解】设该扇形的弧长、半径分别为l，r，则，解得，所以该扇形的面积为.故选：C5．B根据三角函数图象平移的规则进行求解即可.【详解】将函数的图象上的每个点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，函数解析式变为；将所得图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，可得函数的图象.故选：B.6．B根据余弦定理结合基本不等式求出的最大值，再根据三角形的面积公式即可得解.【详解】由题意可得，，设，，由余弦定理可得，所以，可得，当且仅当时取等号，所以，故面积的最大值为．故选：B．7．A根据直三棱柱条件，可判断为等腰三角形，进而可求出点P到直线的距离.【详解】因为，，点P为棱的中点，所以，所以，，所以为等腰三角形.设点P到直线AB的距离为h，因为，，则.故选：A.8．A画出在区间内的图象，可知方程分别有两个不同实根，且各根均不同，从而得到，求出答案.【详解】当时，，当时，，当时，，…，由题意及曲线在区间内的图象，可知方程分别有两个不同实根，且各根均不同，所以需满足，所以.故选：A.9．AC根据斜二测画法的性质依次判断即可．【详解】对于选项A，根据斜二测画法的规则，平行关系在直观图与原图中保持不变，故选项A正确；对于选项B，斜二测画法可能会改变边长比例，故选项B错误；对于选项C，斜二测画法会改变直角关系，故选项C正确；对于选项D，直观图的面积是原图面积的，故选项D错误．故选：AC．10．ACDA选项，计算出方程的两根，从而得到；A正确；B选项，，利用向量数量积公式计算；C选项，计算得到，利用模长公式进行求解；D选项，计算出，利用复数的乘方运算法则求解.【详解】A选项，方程的判别式，的两根为，两根对应的点分别为，故，A正确；B选项，，故，B错误；C选项，，，故，C正确；D选项，，故，D正确.故选：ACD11．AD根据正切的和角公式可得，把表示成关于的函数，进而可求出的范围，转化即可得到的范围.【详解】由题可得，整理得，所以，所以，又因为，所以.记，则，解得，故可能取值有，.故选：AD.12．10利用诱导公式可求得，利用诱导公式与同角三角函数的商数关系化简即可.【详解】由正切函数诱导公式可得，故.故答案为：1013．或由平面向量数量积的定义即可求解．【详解】由题可知，或，若，则，若，则，故答案为：或．14．2过点P作，垂足为E，根据面面垂直，线面垂直及线线垂直的性质得到为二面角的平面角，再结合锥体的体积公式及勾股定理即可求解．【详解】如图，在平面PAD内，过点P作，垂足为E，因为平面平面ABC，又平面平面，平面PAD，所以平面ABC，又因为平面ABC，所以，因为，即，又，PD，平面PAD，所以平面PAD，又因为平面PAD，所以，又因为，所以为二面角的平面角，因为三棱锥的体积，解得，由勾股定理可得，所以二面角的正切值为．故答案为：．

15．(1)(2)且（1）根据向量垂直得到数量积为0，得到，齐次化变形，代入求值；（2）计算出，利用夹角为锐角，得到且与不同向共线，从而得到不等式，求出答案.【详解】（1）⊥，故，故，；（2），，，与的夹角为锐角，故，解得，且与不同向共线，即，即，综上，且；16．(1)证明见解析；(2).（1）利用中位线即可求证四边形为平行四边形，再求证即可；（2）根据异面直线所成角的定义找出或其补角为所求角，在中利用余弦定理求得即可.【详解】（1）由题知，为的中位线，是的中位线，所以，且，，且，故，且，故四边形为平行四边形，又是的中位线，则，因为在正四面体中，，所以，故四边形为菱形．（2）因为，所以或其补角为异面直线与所成的角，设正四面体的棱长为，则，，在中，利用余弦定理得，，故异面直线与所成角的余弦值为．

17．(1)(2)（1）利用两角和的正弦公式及诱导公式化简即可求得结果；（2）本题可先判断和的形状，再结合已知条件求出相关角度，最后计算和的面积，即求得结果.【详解】（1）依题意得，故.在中，，，，所以，所以，故.（2）由（1）知，，因为，所以，且点B为的外接圆的圆心，圆的半径为2.由正弦定理得，，解得.因为，所以，故.故的面积为，的面积为，所以四边形的面积为.18．(1)(2)（i）（ⅱ）（1）根据正切型函数最小正周期的计算公式直接计算即可；（2）根据正切型函数的定义域与对称中心直接计算.【详解】（1）当时，，易得的最小正周期；（2）（i）当时，，，若函数在区间上有定义，则，解得，故的最大值为；（ii）函数的对称中心满足，，解得，，其图象至少有两个对称中心在区间上，则在区间上至少有两解，故至少存在两个值使，故至少有，两个取值，所以，综上，的取值范围为.19．(1)（i）证明见解析；（ii）证明见解析(2)【详解】（1）（ⅰ）由题可知平面平面OAB，且平面平面.又因为，即平面，所以.由于平行线分线段成比例，所以，即.（ii）如图，连接，记，连，因为，，所以平面平面，又平面平面，平面平面，所以，于是有，同理可得，所以，又，所以，由于是圆柱下底面圆周上的任意两点，故结论具有一般性，所以截所得的图形是以为圆心的圆面.

（2）不妨去除斜圆锥的顶点在圆柱上底面圆周的限制，保留在圆柱上底面所在平面内，则即为（