《医用高等数学》课件 第三章 一元函数积分学

第三章一元函数积分学

(integral)内容不定积分定积分定积分的应用第一节不定积分一、原函数与不定积分的概念定义不定积分的性质基本积分公式二、换元积分法第一类换元积分法（凑分法）第二类换元积分法三、分部积分法有理函数的积分不要求一、原函数与不定积分的概念1、原函数的定义不定积分的几何意义积分曲线：函数f(x)的一个原函数F(x)，在几何上表示的是一条曲线，称为积分曲线(integralcurve)。其方程为y=F(x)积分曲线族：f(x)的不定积分在几何上表示的是积分曲线y=F(x)上、下平移所得到的一簇曲线，称为其方程为y=F(x)+c3、不定积分的性质不定积分的导数等于被积函数，不定积分的微分等于被积表达式函数的导数的不定积分等于该函数加上一个任意常数3、不定积分的性质4、基本积分公式(书P66)4、基本积分公式4、基本积分公式注意:求不定积分时,尽量化为基本积分公式某一对应形式课堂练习二、换元积分法第一类换元积分法小结第一类换元积分法（凑分法）xatx=asintxatx=atantxatx=asect例27结论例28结论第二类换元积分法小结三角代换可令可令可令换元法小结两类换元积分法：（一）凑微分（二）三角代换、根式代换、倒数代换三角代换常有下列规律可令可令可令三、分部积分法设u，v都是可微函数，由微分的运算法则结论：如果被积函数包含幂函数和三角函数设u=幂函数结论：如果被积函数包含幂函数和指数函数设u

=幂函数结论：如果被积函数包含幂函数和反三角函数设u=反三角函数结论：如果被积函数包含幂函数和对数函数设u=对数函数例27结论求不定积分总结第一节不定积分小结一、原函数与不定积分的概念定义不定积分的性质基本积分公式二、换元积分法第一类换元积分法（凑分法）第二类换元积分法三、分部积分法四、有理函数的积分第二节定积分

（DefiniteIntegral）第二节定积分定积分的概念2个实例曲边梯形的面积变速直线运动的路程定义几何意义性质定积分与不定积分的关系定积分的计算反常积分abxyo实例1

（求曲边梯形的面积）一、定积分的概念abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．播放观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．曲边梯形面积近似分割△Ai(3)求和曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为求和取极限曲边梯形面积实例2路程问题（DistanceProblem)

把整段时间分割成若干小时间段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程的近似值,再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．对于匀速运动，我们有公式路程=速度X时间解决变速运动的路程的基本思路（1）分割部分路程值某时刻的速度（3）求和（4）取极限路程的精确值（2）近似路程问题(1)分割(3)求和(4)取极限(2)近似两个具体实例小结曲边梯形的面积变速运动的路程求解步骤：1、定积分的定义定义被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限积分和1、定积分的定义注意：（2）定义中区间的分法和ix的取法是任意的.

设某质点作直线运动，速度)(tvv=是时间间隔],[21TT上t的一个连续函数，物体在这段时间内所经过的路程等于v(t)在区间上的定积分。

],[21TT注意（1）函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。（2）函数f(x)在闭区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。解：(1)分割（2）取点xyo1例1利用定义求定积分（3）求和例1利用定义求定积分曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值2、定积分的几何意义abxyooyabxxyoab定积分定义的补充规定：abxyoabxyoxyoab定积分的性质例比较积分值的大小例比较积分值的大小定积分的性质7).积分中值定理证明积分中值定理证明积分中值定理证明定积分思想小结１．定积分的实质：特殊和式的极限．２．定积分的思想和方法：求和积零为整取极限精确值——定积分化整为零分割直（不变）代曲（变）近似3．定积分几何意义“曲边梯形面积的代数和”二.定积分与不定积分的关系

牛顿---莱布尼兹公式利用导数定义和积分中值定理证明Newton-Leibnizformula证明定积分换元法特点:换元必须换限为什么负号没有了？3.微积分基本公式1.积分上限函数2.积分上限函数的导数小结牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．例3-51(定理1）已知函数f(x)在[-a,a]上连续，试证明：例3-51奇函数例9计算解原式偶函数单位圆的面积定积分的分部积分公式推导（三）分部积分法例8

药物从患者的尿液中排出,一种典型的排泄速率函数是,其中k是常数.求在时间间隔内,排出药物的量D

了解反常积分（无穷区间上的反常积分，无穷型不连续函数的反常积分）的概念。会计算反常积分四、反常积分（ImproperIntegral）1.无穷区间上的反常积分(广义积分)xyπ/2-π/2xyπ/2-π/22.无界函数的反常积分注意：计算定积分时，首先应判断是常义积分还是反常积分，若是反常积分，一定要按定义的表达形式进行计算。问题1:曲边梯形的面积问题2:变速直线运动的路程存在定理反常积分定积分的性质定积分的计算法牛顿-莱布尼茨公式定积分小结定积分第四节定积分的应用微元法平面图型的面积旋转体的体积定积分在医药学上的应用．定积分的应用回顾曲边梯形求面积的问题定积分的元素法问题的提出abxyoxx+dxA微元法面积表示为定积分的步骤如下abxyoxx+△xiA△Ai面积表示为定积分的步骤如下（3）求和，得A的近似值abxyoxx+△xiA△Aiabxyo（4）求极限，得A的精确值提示面积元素求解U的一般步骤：1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如x为积分变量，并确定它的变化区间

],[ba2）设想把区间],[ba分成n个小区间，取其中任一小区间并记为],[dxxx+，求出相应于这小区间的部分量U△的近似值.如果U△能近似地表示为],[ba上的一个连续函数在x处的值)(xf与dx的乘积，就把dxxf)(称为量U的微元且记作dU，即dxxfdU)(=；abxyo△UdU应用：

平面图形的面积；旋转体的体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等。求解U的一般步骤：3)以所求量U的微元dU=f(x)dx为被积表达式，在区间[a,b]上作定积分，得：即为所求量U的积分表达式。这种方法叫做微元法。A0Ay+dyycdA1A2xx+dxxx+dxA1A2解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．画出草图，便于合理选择积分变量（重要环节）；求出交点坐标，以便确定积分上下限；写出微元（大减小；即上减下，右减左）（关键环节）；以微元为被积表达式，求起点至终点的定积分。平面图形面积小结

旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体，这直线叫做旋转轴。圆柱圆锥圆台二、旋转体的体积xyoxx+dxxyo旋转体的体积为yy+dy解直线方程为求微元dV2xx+dx2yy+dy(2,4)三、定积分在医学中的应用举例积分中值公式的几何解释：1、胰岛素平均浓度的测定例6、由实验测定病人的胰岛素浓度，先让病人禁食，以降低体内血糖水平，然后通过注射给病人大量的糖。假定由实验测得病人的血液中的胰岛素的浓度C(t)(单位/ml)为其中,时间t

的单位是分钟，求血液中的胰岛素在一小时内的平均浓度C(t)（判断患者是否患有糖尿病）2、染料稀释法确定心输出量

例7、心输出量是指每分钟心脏泵出的血量，在生理学实验中常用染料稀释法来测定。把一定量的染料注入静脉，染料将随血液循环通过心脏到达肺部，再返回心脏而进入动脉系统。

假定在时刻t=0时注入5mg的染料，自染料注入后便开始在外周动脉中连续30秒监测血液中染料的浓度，它是时间的函数C(t):

18138330532146C(t)t(