《信号与系统》课件第8章 2

第8章离散时间系统的Ｚ变换分析8.1离散时间系统的系统函数8.2利用系统函数求系统的响应8.3离散时间系统的频率响应8.4系统的稳定性8.5朱里判据(补充内容)8.6小结习题与应用拉普拉斯变换进行连续LTI系统的分析类似，Z变换可以用于分析离散LTI系统。对离散系统的差分方程进行Z变换，可以得到系统的Z域描述，以及系统函数的定义。通过离散系统的Z变换分析，不仅可以得到离散系统差分方程的一种代数解法，还可以研究系统的时域和频域特性。

本章重点研究如何通过差分方程或系统框图获得离散LTI系统的系统函数，如何用Z变换的方法求解差分方程，讨论系统函数的零极点对系统时域响应和频域响应的影响，并介绍离散系统稳定性的判断方法。8.1离散时间系统的系统函数

8.1.1差分方程的Z变换和系统函数

设描述一个N阶离散LTI系统的差分方程为（8.1）式中：x［n］为系统的输入信号；y［n］为系统的输出信号；系数ak(k=0,1,2,…,N)和bk(k=0,1,2,…,M)为实数，a0一般等于1（如果a0不等于1，可以将式（8.1）两边都除以a0）。这里我们分析因果离散LTI系统，对式（8.1）两边做单边Z变换，根据移位特性有

（8.2）式中:x［－1］,x［－2］,…,x［－M］为输入信号的初始值；

y［－1］,y［－2］,…,y［－N］为系统的初始状态。设系统的输入信号x［n］为因果信号，即n<0时，x［n］=0,那么式（8.2）可以写为（8.3）则（8.4）式（8.4）为式（8.1）描述的输入-输出差分方程所定义的离散系统的Z域表示形式。式（8.4）中输出信号Z变换的右边第一项为输入信号x［n］产生的，第二项为系统的初始状态y［－1］,y［－2］,…,y［－N］产生的。

如果系统的初始状态为零，即y［－1］,y［－2］,…,

y［－N］都等于零，那么式（8.4）可以进一步化简为（8.5）定义（8.6）则式（8.5）可以表示为（8.7）式中：函数H(z)定义为离散系统的系统函数，表示系统在零状态条件下，在Z域内输入信号到输出信号的转移关系，也称为传输函数或转移函数。由式（8.6）可见，系统函数H(z)可以表示为（8.8）式（8.8）表明，系统函数H(z)是由系统结构决定的，它与系统的输入-输出方程的系数有关。一般情况下，系统函数H(z)是一个有理函数，其分母多项式D(z)=0的根称为系统函数的极点，分子多项式N(z)=0的根称为系统函数的零点。在已知初始条件y［－1］,y［－2］,…,y［－N］，以及输入信号x［n］的Z变换X(z)时，对式（8.4）取Z反变换，可以得到y［n］。

通过第2章的分析知道，系统的零状态响应可以用激励与系统的单位样值响应的卷积得到，即

yzs［n］=x［n］*h［n］

由卷积定理可得

Yzs(z)=X(z)H(z)

由此可见，系统函数H(z)是系统的单位样值响应h［n］的Z变换。与连续系统的理论一样，式（8.7）提供了时域与变换域的联系。以上分析表明，若给出离散系统的差分方程，则系统函数可以表示为

（8.9）它等于系统零状态条件下输出信号与输入信号的Z变换之比。H(z)是惟一的，它不会随着输入信号x［n］的不同而变化，只取决于输出和输入关系构成的系统本身，因此能够表示系统的特性。

例8.1

已知离散系统的差分方程为

y［n］+1.5y［n－1］+0.5y［n－2］=x［n］－x［n－1］求系统函数H(z)，并求系统的单位样值响应h［n］。解设系统的初始状态为零，将差分方程两边做单边Z变换，有根据式（8.9）得用部分分式展开法得则单位样值响应为如果给出系统的输入信号x［n］和系统的初始状态y［－1］,y［－2］,…,y［－N］，用式（8.4）的结果，可以通过Z反变换求得系统的响应y［n］。具体的例子在8.2节讨论。8.1.2方框图的系统函数

1.1.2节提到，除了用差分方程描述外，线性时不变离散系统还可以用单位延时单元或框图构成。系统函数可以由互联系统直接求得。

1.单位延时单元构成的系统

由式（8.1）所示的差分方程可以看出，离散系统可以用单位延时单元、加法器及数乘器的互联形式给出。

已知单位延时单元的符号如图8.1所示。图8.1单位延时单元其输入-输出关系为

y［n］=x［n－1］（8.10）

式(8.10)表示输出信号y［n］为输入信号x［n］延时一个单位。在x［－1］=0的情况下，对式（8.10）两边取单边Z变换，可以得到单位延时单元的系统函数为（8.11）因此，在Z域中，单位延时单元的符号如图8.2所示。图8.2单位延时单元Z域符号系统用单位延时单元互联构成时，其系统函数可以直接在Z域中计算出来。

例8.2

离散系统的结构图如图8.3所示。求系统函数H(z)。图8.3例8.2离散系统结构图解从图8.3可以得到

Y(z)=bX(z)－az－1Y(z)

整理得所以，系统函数为

例8.3

离散系统的结构图如图8.4所示。求系统函数H(z)。图8.4例8.3离散系统结构图解从图8.4可以得到整理得所以，系统函数为

2.方框图构成的系统

与连续LTI系统一样，离散LTI系统也可以用方框图表示，每个方框用一个系统函数描述，看做是一个子系统。串联系统、并联系统以及反馈系统的系统函数的表示方法与连续系统形式相同，这里不再推导，直接给出结果，如图8.5所示。图8.5基本互联形式的系统函数

例8.4

系统由方框图给出，如图8.6所示。对方框图化简，并求出系统函数H(z)。图8.6例8.4系统方框图解图8.6所示方框图可以化简为图8.7的形式。根据串联及反馈系统的化简结果可得

图8.7图8.6化简结果

3.由系统函数获得系统框图

与连续系统一样，由离散系统的系统函数H(z)也可以得到模拟系统的框图。分析的过程与连续系统相同，只要将复变量s换成z即可，这里就不再重复（请参考6.1节）。

例8.5

已知离散系统的差分方程为

y［n］+ay［n－1］=bx［n］

求出模拟系统的框图。

解将差分方程作Z变换得到系统函数为图8.8例8.5系统框图则用单位延时单元、加法器和数乘器构成的系统框图如图8.8所示。

例8.6

已知离散系统的差分方程为

y［n］－3y［n－1］+3y［n－2］－y［n－3］=x［n］

求出模拟系统的框图。

解将差分方程作Z变换得到系统函数为则用单位延时单元、加法器和数乘器构成的系统框图如图8.9所示。图8.9例8.6系统框图8.2利用系统函数求系统的响应

由8.1节式（8.4）的结论可知，通过Z变换可以将时域的差分方程变换为Z域的代数方程，并且可以直接将系统的初始状态包含在Z域代数方程中。这样，我们可以先在Z域中求解方程，再通过Z反变换得到差分方程的时域解。在求解Z域方程时，不仅可以分别求出系统的零输入响应和零状态响应，还可以求出系统的全响应。8.2.1零状态响应与零输入响应

由8.1节内容可知，如果描述离散LTI系统的差分方程为

那么通过Z变换，可以得到系统响应的Z域表达式:式中：等式右边第一项仅与系统的输入信号有关，与系统的初始状态无关，是系统的零状态响应yzs［n］的Z变换Yzs(z)；等式右边第二项仅与系统的初始状态有关而与系统的激励无关，是系统的零输入响应yzi［n］的Z变换Yzi(z)。因此上式可以简写为

Y(z)=Yzi(z)+Yzs(z)（8.12）

分别求式（8.12）中右边两项的反变换，即可得到系统的零输入响应yzi［n］和零状态响应yzs［n］:

y［n］=yzi［n］+yzs［n］（8.13）

如果将式（8.4）中右边两项合并，即为系统全响应的

Z变换，求其反变换即可得到系统的全响应的时域表达式

y［n］。

例8.7

已知离散系统的差分方程为

y［n］+1.5y［n－1］+0.5y［n－2］=x［n］－x［n－1］

系统的输入信号为x［n］=u［n］，系统的初始状态为y［－1］=2,y［－2］=1，求系统的零输入响应yzi［n］、零状态响应yzs［n］和全响应y［n］。解将差分方程做Z变换得则整理得将输入信号的Z变换和初始状态y［－1］=2,y［－2］=1代入上式有（8.14）因此有取反变换，得该系统的零输入响应为

yzi［n］=［1.5(－0.5)n－5(－1)n］u［n］零状态响应为

yzs［n］=［(－1)(－0.5)n+2(－1)n］u［n］（8.15）全响应为（8.16）如果直接将式（8.14）右边两项合并，可以得到全响应的Z变换：取Z反变换，得与式（8.16）的结果相同。8.2.2单位样值响应与单位阶跃响应

离散系统的单位样值响应h［n］定义为系统在单位样值

信号δ［n］激励下的零状态响应。离散系统的单位阶跃响应s［n］定义为系统在单位阶跃序列u［n］激励下的零状态响应。对于离散LTI系统，单位样值响应h［n］和单位阶跃响应s［n］是两类重要的响应，特别是单位样值响应h［n］直接表征了系统的特性。

由8.1节内容可知，系统函数是H(z)系统的单位样值响应

h［n］的Z变换。因此，对系统函数H(z)取Z反变换即可得到系统的单位样值响应h［n］。因为单位阶跃序列可以表示成单位样值信号的累加，即（8.17）又有

δ［n］→h［n］根据线性时不变特性，有（8.18）即

s［n］=u［n］*h［n］（8.19）所以（8.20）求式（8.20）的Z反变换就可以得到单位阶跃响应为（8.21）

例8.8

已知离散系统的差分方程为

y［n］+1.5y［n－1］+0.5y［n－2］=x［n］－x［n－1］求系统的单位阶跃响应S［n］。解由例8.2可知，系统函数为由式（8.20）得对上式取Z反变换，有

s［n］=［(－1)(－0.5)n+2(－1)n］u［n］（8.22）

比较式（8.22）和式（8.15）可以看出，二者相等，因为例8.7中所求的零状态响应正是该系统的单位阶跃响应。

由系统函数的定义Y(z)=X(z)H(z)可知，系统零状态响应的Z变换等于系统的输入信号的Z变换乘以系统函数，求该式的

Z反变换即可得到系统的零状态响应。这是一个求系统零状态响应的通用方法，而例8.8所求的单位阶跃响应是零状态响应的一个特例。8.2.3系统函数的零极点对时域响应的影响

如8.1节所述，离散系统的系统函数H(z)可以表示为式中:系数ak(k=0,1,2,…,N)和bk(k=0,1,2,…,M)为实数。系统函数H(z)是一个有理函数，其分母多项式D(z)=0的根称为系统函数的极点，分子多项式N(z)=0的根称为系统函数的零点。将式（8.8）改写为因式乘积的形式为（8.23）式中：z=zi(i=1,2,…,M)为H(z)的零点;z=pj(j=1,2,…,N)为H(z)的极点；H0为常数。极点和零点可能为实数或复数。由于系统函数是一个有理函数，分母多项式和分子多项式的系数都是实数，因此，如果零极点为复数，那么一定是共轭成对出现的。零极点可能有以下几种类型：一阶实数、一阶共轭复数、二阶及二阶以上的实数或共轭复数。

由8.1节内容可知，系统函数H(z)和单位样值响应h［n］是一对Z变换对。单位样值响应的形式完全由系统函数的极点确定，下面讨论系统函数极点的位置与单位样值响应的函数形式之间的关系。

首先，以一阶极点的情况为例讨论极点的位置与时域响应之间的关系。因为分析的是因果系统，所以系统函数的表达式中M≤N。式（8.23）可以展开为（8.24）取式（8.24）的Z反变换得系统的零状态响应为（8.25）考虑到Z变换的收敛域是以Z平面上的圆为边界的，所以，把极点的位置分为：单位圆内、单位圆上和单位圆外三种情况。

如果极点pi是一个实数，可以写成pi=a，系统函数的分

母多项式中有因式(z－a)，所对应的单位样值响应形式为

kanu［n］。当极点位于单位圆内时，|a|<1，响应按指数衰减，当n→∞时，响应趋近于零；当极点位于单位圆上时，|a|=1（即a=1或a=－1），响应形式为ku［n］或k(－1)nu［n］，响应的幅度不随n的变化而变化；当极点位于单位圆外时，|a|>1，响应按指数增长，当n→∞时，响应的幅度趋近于无穷大。如果极点p1,2是一对共轭复数，可以写成p1,2=α±jβ=

re±jθ,系统函数的分母多项式中有因式(z2－2rzcosθ+r2)，所对应的单位样值响应形式为krncos(θn+ψ)u［n］，其中，r=|p1|，θ=∠p1，ψ为常数。当极点位于单位圆内时，r<1，响应按指数衰减，当n→∞时，响应趋近于零；当极点位于单位圆上时，

r=1，响应形式为kcos(θn+ψ)u［n］，响应的幅度不随n的变化而变化；当极点位于单位圆外时，r>1，响应按指数增长，当n→∞时，响应的幅度趋近于无穷大。如果系统函数有二阶极点，那么单位样值响应将包含

k［nrncos(θn+ψ)］u［n］或

k(npn)u［n］的响应形式。当极点位于单位圆内时，响应衰减；当极点位于单位圆上时，响应随着n的增大而增大；当极点位于单位圆外时，响应也随着n的增大而增大。如果系统函数有二阶以上的极点，情况与二阶极点的相同。

综上所述，可以得到极点位置与单位样值响应的关系

如下：

（1）离散LTI系统的单位样值响应的函数形式由系统函数的极点确定。（2）当极点在单位圆内时，对应的响应序列是衰减的。（3）当极点在单位圆上时，一阶极点对应的响应序列的幅度不随n的变化而变化；二阶及二阶以上的极点对应的响应序列的幅度随着的n增大而增大。

（4）当极点在单位圆外时，对应的响应序列的幅度随着n的增大而增大。

（5）与连续系统的系统函数一样，系统函数的零点影响响应的幅度和相位，但对响应的形式没有影响。

图8.10给出了一阶极点与单位样值响应的对应关系。图8.10一阶极点与单位样值响应关系图8.3离散时间系统的频率响应

8.3.1离散时间系统的频率响应及其特性

与连续系统类似，对离散系统的频率响应的分析也是很重要的。离散系统的频率响应表示稳定的离散系统对不同频率正弦序列的响应特性。在本节的分析中，我们假定系统是稳定的，系统函数H(z)的所有极点都位于z平面的单位圆内。因为分析的是因果系统，所以H(z)的收敛域为一个包含单位圆|z|=1的圆外区域。一般的情况下，设离散系统的系统函数为系统的输入为（8.26）式中：K和ω0均为实数。输入信号的Z变换为根据式（8.7），系统的输出信号的Z变换可以表示为（8.27）因为系统是稳定的，由前面分析可知，系统函数的极点都在单位圆内，不会与和相等，所以式（8.27）可以进行部分分式展开为（8.28）式中:C(z)为z的多项式，阶数小于系统函数分母多项式D(z)的阶数N。系数k1为系数为k1的共轭复数。所以（8.29）将式（8.29）进行Z反变换，设右边第三项的时域表达式为ytr［n］。因为系统是稳定的，所以系统函数的极点均在单位圆内。当n→∞时，ytr［n］趋于零。所以，系统的稳态响应为因为和是共轭复数，所以令则（8.30）比较输入信号和系统的稳态输出信号可以看出，系统的稳态响应是与系统的输入信号同频率的正弦信号，但是幅度变为原来的倍，相位改变。输入信号的变化是通过体现出来的，而是离散系统的单位样值响应h［n］的离散时间傅里叶变换H(ejΩ)在Ω=ω0的值。H(ejΩ)是频率变量Ω的函数，随着输入信号频率的不同而变化，与连续系统的H(jω)一样，H(ejΩ)称为离散系统的频率响应。

H(ejΩ)通常是一个复数，一般写成（8.31）式中：|H(ejΩ)|为H(ejΩ)的模函数；j(Ω)为它的相位函数。|H（ejΩ）|随Ω变化而变化的规律称为离散系统的幅频特性；j(Ω)随Ω变化而变化的规律称为离散系统的相频特性。可以证明，H(ejΩ)就是离散系统单位样值响应h［n］的离散时间傅里叶变换（DTFT）：（8.32）对于稳定的因果系统，

H(z)的收敛域包括|z|=1，系统的频率响应H(ejΩ)就等于z=ejΩ时的系统函数:（8.33）这里需要特别注意的是，H(ejΩ)是一个周期为2π的周期函数。在画幅频特性和相频特性曲线时，只需要在某一个2π间隔内画出曲线即可，一般选择0≤Ω<2π或－π≤Ω<π的区间。另外，|H(ejΩ)|是Ω的偶函数，j(Ω)是Ω的奇函数，在画图时应该注意。

例8.9

分析图8.11所示一阶系统的频率响应。图8.11一阶系统框图解根据框图得到系统函数为所以，系统的频率响应为为了保证系统稳定，要求|a|<1。根据欧拉公式，上式可以写为系统的幅频特性为相频特性为可以证明，若0<a<1，系统呈“低通”特性；若－1<a<0，系统呈“高通”特性。a=0.5时系统的频率响应如图8.12所示，其中上图为系统的幅频特性，下图为系统的相频特性。

a=－0.5时系统的频率响应如图8.13所示，其中上图为系统的幅频特性，下图为系统的相频特性。图8.12a=0.5时系统的频率特性（低通滤波器）图8.13a=－0.5时系统的频率特性（高通滤波器）

例8.10

两个离散线性时不变因果系统的差分方程分别

如下：

系统1y［n］=x［n－3］；

系统2

（1）写出这两个系统的系统函数H(z)。

（2）分别求出这两个系统的频率响应，画出幅频特性图和相频特性图。解（1）通过系统差分方程的Z变换得到系统函数为系统1系统2（2）求系统的频率响应。系统1的极点为z=0的三阶极点，H1(z)在单位圆上收敛，所以系统的频率响应函数为系统1的幅频响应和相频响应分别为幅频响应和相频响应的图形如图8.14所示。图8.14系统1的频率响应曲线系统2的极点为z=3／４，H2(z)在单位圆上收敛，所以系统的频率响应函数为系统2的幅频响应和相频响应分别为幅频响应和相频响应的图形如图8.15所示。从频率响应可以看出，系统1和系统2都是全通系统，但是系统1具有线性相位特性,系统2的相位特性是非线性的。图8.15系统2的频率响应曲线8.3.2由系统函数的零极点求频率响应

由6.3节的分析可知，在s平面jω上的拉普拉斯变换就是傅里叶变换，根据系统函数H(s)在s平面上的零极点图可以用几何的方法求得系统的频率响应。在离散时间系统分析中，利用z平面内系统函数H(z)的零极点向量也可以求得离散系统的频率响应。不过离散时间系统的傅里叶变换是在z平面的|z|=1单位圆上求出的，所以所需的向量应该是零点和极点到单位圆上的向量。

下面就分别讨论一阶和二阶系统的零极点对其频率响应的影响。

1.一阶系统

一阶离散因果系统的差分方程为

y［n］－ay［n－1］=bx［n］

其系统函数为（8.34）因此可得其收敛域为|z|>|a|。设b=1，如果|a|<1，那么收敛域包括单位圆，一阶离散系统的频率响应为（8.35）图8.16画出了由式（8.34）所示系统函数H(z)的零极点图以及从极点z=a(0<a<1)和零点z=0到单位圆上的向量。图中，向量A1是极点到单位圆的向量，向量B1是零点到单位圆的向量，可以分别表示为

A1=ejΩ－0=A1ejθ1=A1∠θ1

B1=ejΩ－a=B1ej1=B1∠f1图8.16一阶系统零极点向量图（－1<a<0）式中：A1为向量A1的模；θ1为向量A1的相位角；B1为向量B1的模；f1为向量B1的相位角。式（8.35）所示的频率响应函数可以写成:

（8.36）其中幅频响应和相频响应分别为频率响应在频率Ω处的模就是向量B1与向量A1的长度之比，频率响应的相位就是向量B1相对于实轴的角度f1减去向量A1相对于实轴的角度θ1。

由图8.16可以看出，从零点（原点）到单位圆的向量B1的长度不变，恒等于1，因此对频率响应H(ejΩ)的模没有影响；从极点（z=a(0<a<1))到单位圆的向量A1在Ω=0处长度最小，随着Ω从0增加到π，长度单调增加。因此，频率响应H(ejΩ)的模在Ω=0处最大，随着Ω从0增加到π，模值单调减小。零点产生的相位f1是零点向量相对于实轴的角度，等于Ω；极点向量相对于实轴的角度在Ω=0时为0，然后随着Ω从0增加到π，角度θ1单调增加。由于f1<θ1，因此在0≤Ω<π时，∠f1－∠θ1≤0；在

－π≤Ω<0时，∠f1－∠θ1≥0。图8.17所示的是两个不同的a值对应的频率响应曲线。图8.17a=0.5和a=0.95时的频率响应曲线由图8.17可以看出，|H(ejΩ)|在Ω=0的峰值随着|a|→0而减小，并且变化相对平坦。|H(ejΩ)|在Ω=0的峰值随着|a|→1而增大，并且变化相对陡峭。这说明极点的模|a|影响到系统滤波的选择性和放大情况，|a|越接近1，|H(ejΩ)|就呈现出越陡峭的峰值，系统的选择性越好。

由式（8.34）可以求出系统的单位样值响应为

h［n］=anu［n］（8.37）

从式（8.37）可以看出，当|a|增大时，单位样值响应的衰减速度变慢，说明响应中包含的高频分量较少；当|a|减小时，单位样值响应的衰减变得迅速，响应速度加快，说明响应中包含的高频分量增加。在离散一阶系统中，|a|的作用与连续一阶系统中时间常数τ的作用类似。

2.二阶系统

二阶离散的因果系统的差分方程为

y［n］－a1y［n－1］－a2y［n－2］=bx［n］

其系统函数为（8.38）设系数a1、a2为实数，且a21+4a2<0，b=1，则H(z)有一对共轭极点，用极坐标形式表示为对于因果系统，收敛域为|z|>r。容易求得r、θ与系数a1、a2的关系为即

r2=－a2

2rcosθ=a1于是，式（8.38）可以写成（8.39）并且在z=0有二阶零点。如果0<r<1，0≤θ≤π，那么系统的频率响应为（8.40）图8.18画出了式（8.39）所示系统函数H(z)的零极点图以及零极点向量。图8.18二阶系统零极点向量图图中，向量B1是零点向量，向量A1和A2是极点向量，可以分别表示为B1A1A2式（8.40）所示的频率响应函数可以写成（8.41）其中幅频响应和相频响应分别为频率响应在频率Ω处的模就是向量B1模的平方（原点是二阶零点）除以向量A1和A2模的乘积。由于从零点（原点）到单位圆的向量B1长度恒等于1，因此频率响应H(ejΩ)的模等于两个极点向量模的乘积的倒数。频率响应的相位就是向量B1相对于实轴的角度的2倍减去向量A1和A2相对于实轴的角度之和。图8.19所示的是两个不同的r值（0<θ<π/2）对应的频率响应曲线。图8.19r=0.75和r=0.95时的频率响应曲线由图8.19可以看出，随着Ω沿单位圆从Ω=0向Ω=π移动，向量A1的长度先减小，然后增加，在Ω=θ附近有一个最小值，频率响应的模在Ω=θ附近出现峰值。根据极点向量的性质，随着r接近1，极点向量的最小长度也跟着减小，因此频率响应的峰值随着r增加而变得更加尖锐。另外，随着r接近1，向量A1的角度在Ω=θ附近的变化也更加剧烈。

一般情况下，系统函数的因式形式可以写成则系统的频率响应可以写成（8.42）令式中:ejΩ为单位圆上的向量，模为1，相位角为Ω;Bi为向量(ejΩ－zi)的模；fi为向量(ejΩ－zi)的相位角；Aj为向量(ejΩ－pj)的模;θj为向量(ejΩ－pj)的相位角。于是，式（8.42）表示的频率响应可以写成（8.43）其中，幅频响应为（8.44）（8.45）当Ω从变化到2π时，复变量从单位圆|z|=1上沿着单位圆逆时针旋转一周，各向量的模和相位角也随之变化，从而根据式（8.44）和式（8.45）得到系统的幅频特性曲线和相频特性曲线。由零极点位置可以看出，位于z=0的零点和极点对幅频响应不产生作用，但会影响到时域响应的形式。当ejΩ旋转到某个极点附近时，如果向量Aj长度最短，则频率响应在该点可能出现峰值。极点越靠近单位圆，Aj的长度越短，则频率响应在峰值附近越尖锐。

8.4系统的稳定性

与连续系统一样，稳定性在离散系统的分析和设计中十分重要。对于离散系统，稳定性的定义也与连续系统相似：若对任意有界的输入序列，系统输出序列的值总是有界的，那么系统称为稳定系统。可以证明，对于因果的离散LTI系统，稳定性的充要条件是单位样值响应绝对可和，即（8.46）式（8.46）也可以写成下面的形式:（8.47）要满足式（8.46）或式（8.47）的要求，单位样值响应h［n］一定是收敛的，即n→∞时，h［n］→0。对于因果的离散系统，系统的稳定性可以通过检查系统函数极点的位置来判断。因为一个因果系统的单位样值响应是一个右边序列，即

h［n］=0,n<0（8.48）所以因果序列h［n］的收敛域是一个圆外区域，且包括无限远点。如果系统函数H(z)是有理函数，那么该系统要是因果的，收敛域一定位于最外层极点对应的圆外区域，且包括无限远点。由8.2.3节的分析可知，如果要使因果的离散系统稳定，系统的单位样值响应收敛，系统函数的极点必须在单位圆内，也就是说，系统函数的收敛域必须包括单位圆。所以，一个具有有理系统函数的因果LTI系统，当且仅当系统函数H(z)的极点都在z平面的单位圆内，即全部极点的模都小于1时，系统才稳定。

例8.11

某离散因果系统的方框图如图8.20所示，为使系统稳定，试确定β（β为实数）的范围。

解由方框图求出系统的系统函数为

图8.20例8.11系统方框图系统的极点为为使系统稳定，极点应全部位于单位圆内，所以即8.5朱里判据(补充内容）

要判别离散系统的稳定性，需要判断系统函数

的分母多项式D(z)=0的所有根的模是否都小于1。对于离散系统，利用朱里（Jury）判据也可以不需要计算特征根来判断系统的稳定性。和劳斯判据相似，朱里判据也是一种列表检验的方法。设分母多项式为（8.49）将D(z)的系数排列如表8-1的第1行和第2行（假设D(z)的阶数大于等于2）。表8-1中，第1行按z的降幂排列出D(z)的系数，第2行按z的升幂排列出D(z)的系数，即把第1行反过来。第3行按下列规则求出:，，,…（8.50）第4行将第3行的元素反序排列。用第3、4行的元素再按式（8.50）所述规则求得第5行的元素如下:,…,（8.51）依次类推，直到第(2N－3)行。朱里判据指出，D(z)=0的所有根都在单位圆内的充分必要条件是:（8.52