《数学物理方法初级教程》课件第4章复变函数的幂级数展开3学时

回顾实数项级数建立一般的复数项级数，在实数项级数收敛规则的基础上讨论复数项级数的收敛性。在一般复数项级数基础上讨论特殊复数项级数—幂级数的性质及其收敛性问题。进一步讨论幂级数收敛性问题，研究发现幂级数在收敛区域内收敛为解析函数。

反向思考幂级数收敛为解析函数，那么解析函数是否可以展开为幂级数。泰勒级数定理回答了这一问题，并回答了如何将解析函数展开为泰勒级数。

解析函数展开为泰勒级数的前提是在单连通区域B上是解析的。如果函数是复连通区域上的解析函数，函数是否可以展开为幂级数？数学家发明了洛朗级数，将解析函数的级数展开又推进了一步。前言Introduction目录CONTENTS目录CONTENTS123复数项级数（复数项级数的基本知识）幂级数（幂级数的基本知识）解析函数的幂级数展开5奇点（奇点的定义及其分类）4.1复数项级数（复数项级数的基本知识）4.1复数项级数（复数项级数的基本知识）4.1.1复数项级数的定义4.1.2收敛判据4.1.3收敛级数之间的关系4.1.4函数项级数收敛4.1.5讨论4.1.1．复数项级数的定义及收敛性问题：复数项级数：复数项的每一项：，所以：所以：所以：复数项级数的收敛性问题是两个实数项级数的收敛问题。究竟有哪些收敛判据呢？4.1.2．复数项级数收敛的判据1．柯西收敛判据：复数项级数：

收敛的充分必要条件是：对于给定的任意小的正数为任意正整数。存在，使得时，有：必有

下面介绍第二个收敛判据2．绝对收敛如果复数项级数的各项的模组成的级数：4.1.2．复数项级数收敛的判据

收敛，则称复数项级数绝对收敛。两个收敛级数之间的关系如何？4.1.3．收敛级数之间的关系两个绝对收敛的复数项级数：它们的乘积组成的级数：也绝对收敛，且：各项为函数的复数项级数收敛怎么定义？4.1.4．复数项级数各项为函数的情况收敛定义：若：如果对于区域（或某曲线）上所有点，上式收敛，则称在（或某曲线）上收敛。且与无关，则级数称一致收敛。收敛的充分必要条件：在区域（或某曲线）上各点，对于给定的必有存在，当时：任一小正数，4.1.5．讨论1.2.3.幂级数(特殊的复数项级数)4.24.2.1幂级数定义4.2.2幂级数收敛4.2.3收敛半径级数4.2.4幂级数与解析函数4.2幂级数（特殊的复数项级数）4.2.1特殊的复数项级数幂级数。幂级数定义：各项都为幂函数的复变项级数：（其中都是常数）叫以

为中心的幂级数。幂级数收敛情况如何？4.2.2．幂级数的收敛1．比值判别法（达朗贝尔判别法）证明：各项模组成的正项级数：是实数项级数。应用比值判别法考查它的收敛性有：如果上式极限小于1，即：则实数项级数收敛，绝对收敛。从而复数项级数引入符号：则：变为：，级数：当发散。，级数：当：绝对收敛，即：与实数项级数比较，有第二种收敛判据吗？4.2.2．幂级数的收敛2．根值判别法证明：各项模组成的正项级数：是实数项级数。应用根值判别法考查它的收敛性有：如果上式极限小于1，即：则实数项级数收敛，绝对收敛。从而复数项级数引入符号：则：变为：，级数：当发散。，级数：当：绝对收敛，即：所以如前一节的描述，级数：在收敛圆内部绝对收敛且一致收敛。4.2.2．幂级数的收敛如何计算收敛半径（区域）？4.2.3．收敛半径例题例1．求幂级数的收敛圆，为复变数。解：根据收敛半径的定义：收敛圆为以为圆心，半径为1的圆，收敛圆的内部可表示为例2．求幂级数的收敛圆，为复变数。解：将记着，级数变为：系数为－1，＋1交叉出现的级数，所以在平面上的收敛半径为：所以，在平面上的收敛半径为，其值为1。所以收敛半径为4.2.3．收敛半径例题BABCD提交单选题1分AABCD提交单选题1分两个例题都告诉我们，级数：在收敛圆内部绝对收敛且一致收敛。且收敛为解析函数4.2.3．收敛半径例题幂级数在收敛圆内部一定收敛为解析函数吗？4.2.4．幂级数与解析函数在收敛圆内一定收敛为解析函数。证明：作为稍稍小于收敛圆的圆周，则级数在上可逐项积分。为了应用柯西积分公式，将写为：在收敛圆内取一点，构造有界函数：遍乘上式得：上面的级数在上一致收敛，可沿逐项积分：上式中在开平面上解析，可对上式右边各项应用柯西积分公式有：即可表示为连续函数的回路积分，而这个连续函数的回路积分，即可在积分号下求导任意多次，所以幂级数是解析函数，即在收敛圆内是解析函数。1.幂级数的和在收敛圆内不会出现奇点。2.幂级数的和在收敛圆内部可以逐项求导多次。3.幂级数的和在收敛圆内部可以逐项积分多次。4.逐项积分或求导不改变幂级数的收敛半径。4.2.4．幂级数与解析函数在收敛圆内一定收敛为解析函数。解析函数在解析区域一定可以展开为幂级数：吗？感谢欣赏复数项级数主讲人：肖世发部门：物理学院时间：2025年9月1日4.3解析函数的幂级数展开4.3.1泰勒级数展开4.3.2洛朗级数展开4.3解析函数的幂级数展开1、泰勒级数展开定理2、定理证明3、展开实例4.3解析函数的幂级数展开（泰勒级数展开）4.3.1泰勒级数的展开其中：展开定理：在以为圆心的圆设内解析，则在内任一点有：跳1、泰勒级数定理证明：是为了避免讨论上的收敛性做的，对圆周应用柯西积分公式有：为比稍小一点的同心圆，比较所要证明的式子：2、泰勒级数定理证明现在来证明成立。成立，则定理成立。构造法：比较（Ⅰ）和（Ⅱ）式可发现，只要：2、泰勒级数定理证明因为，可将上式中：展开为：将上式带入（Ⅰ）式得：2、泰勒级数定理证明定理得证。另外：函数展开为泰勒级数是唯一的。2、泰勒级数定理证明其中：展开定理：在以为圆心的圆设内解析，则在内任一点有：4.3.1泰勒级数的展开函数展开为泰勒级数主要的工作是计算级数系数：另外：函数展开为泰勒级数是唯一的。例1：在的邻域上把展开。解：…所以有：4）计算收敛半径：即取任何有限值级数都是收敛的。5）确定级数展开恒等式：跳例2．在的邻域上将展开。解：所以：…所以有：4）计算收敛半径5）确定级数展开恒等式：例3．在的邻域上将展开。解：所以：…所以有：4）计算收敛半径5）确定级数展开恒等式：跳展开（m不是整数）例4．在的邻域上把解：………………所以得：4）计算收敛半径5）确定级数展开恒等式：BABCD提交4.3.1泰勒级数展开4.3.2洛朗级数展开4.3解析函数的幂级数展开1、双边级数2、

洛朗级数定理3、

洛朗级数证明4、

洛朗级数实例4.3解析函数的幂级数展开（洛朗级数展开）1.双边级数定义－－含有正，负幂项的幂级数称为双边级数。---（1）设它的正幂部分有收敛半径为同时，引进可将负幂部分写为----（2）1、双边级数4.3.2洛朗级数的展开设（2）式级数有收敛半径为的收敛圆，即在圆的内部收敛，即的外部收敛。

如果，含有正负幂项的级数：在的环内收敛，且绝对一致收敛。如果，级数：处处发散。1、双边级数1.双边级数定义－－含有正，负幂项的幂级数称为双边级数。---（1）1、双边级数洛朗级数定理：跳证明：为避免涉及边界上的函数的解析性及级数的收敛性问题，作如图的区域：在的区域上应用柯西积分公式：（3）和前面泰勒级数展开的证明类似，在展开为：在上展开为：将上面两种情况带入（3）式：(3)得：将上式中第二部分求和令得：将变为的积分为：所以有：其中：为环内任一闭合曲线。证明完成。

因为的负幂项的存在，而负幂项在奇异，但可能不是的奇点，所以级数奇点可能不是的奇点。关于洛朗级数：2.系数与泰勒级数的相似，但有区别。3.当只有环心为奇点时，称其为孤立奇点。例1．在的邻域上把展开。解：例2．在的邻域上将函数展开为洛朗级数。先把分解为分项公式：解：第一项：第二项：在的邻域是解析的，可展开为泰勒级数：所以：跳跳例3．在的邻域上把展开。因为：是的奇点，凑出洛朗级数的结果可得：，应将：要得到正幂项的全部乘以式中的项，上式中是逐项相乘的，相乘中有的正幂项，也有的负幂项，相应的系数为：要得到负幂项，应取：的全部乘以：的的项，相应项的系数为：所以：将上式第二项中改为，则：改作上式中的系数正是数学物理中常用到的阶的贝塞尔函数，即：，这在Bessel函数的生成函数中将提到。孤立奇点(孤立奇点的定义与分类)4.44.4.1函数奇点定义4.4.2级数奇点定义4.4.3函数奇点分类4.4奇点（函数奇点定义及其分类）4.4.1函数奇点定义4.4.2双边级数奇点定义4.4.3函数奇点分类主要部分：洛朗级数负幂部分（无