2025考研北京航空航天大学自动控制原理真题及答案解析

2025考研北京航空航天大学自动控制原理真题及答案解析一、时域分析与性能指标计算已知单位负反馈系统的开环传递函数为\(G(s)=\frac{K}{s(s+2)(s+5)}\)，其中\(K>0\)。（1）当\(K=10\)时，求闭环系统的阻尼比\(\zeta\)、自然频率\(\omega_n\)、超调量\(\sigma\%\)及调节时间\(t_s\)（取\(5\%\)误差带）；（2）若希望系统阶跃响应的超调量不超过\(10\%\)，且调节时间不超过\(2s\)，试确定\(K\)的取值范围。解析：（1）闭环传递函数为\(\Phi(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)}=\frac{K}{s^3+7s^2+10s+K}\)。当\(K=10\)时，特征方程为\(s^3+7s^2+10s+10=0\)。由于三阶系统无法直接对应二阶标准型，需先判断主导极点是否存在。通过劳斯判据验证稳定性：劳斯表首行为\(1,10\)，第二行为\(7,10\)，第三行为\((7×10-1×10)/7=60/7\approx8.57,0\)，第四行为\(10\)。所有元素均正，系统稳定。进一步用根轨迹或数值解法近似求解特征根：假设存在一对共轭复根\(s=-\zeta\omega_n\pmj\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\)和一个实根\(s=-p\)，其中\(p>0\)。根据特征方程系数关系，三根之和为\(-7\)，三根之积为\(-10\)，两两乘积之和为\(10\)。假设实根\(p\)远大于共轭复根的实部（即\(p\gg\zeta\omega_n\)），则主导极点为共轭复根，此时可近似为二阶系统。设共轭复根为\(s=-a\pmjb\)，实根为\(s=-c\)，则\(2a+c=7\)，\(a^2+b^2+2ac=10\)，\(c(a^2+b^2)=10\)。代入\(c=7-2a\)，得\((7-2a)(a^2+b^2)=10\)，同时\(a^2+b^2+2a(7-2a)=10\)，化简得\(a^2+b^2=10-14a+4a^2\)，代入前式得\((7-2a)(10-14a+4a^2)=10\)。试算\(a=1\)，则\(5×(10-14+4)=5×0=0\neq10\)；\(a=0.5\)，则\(6×(10-7+1)=6×4=24\)，大于10；\(a=0.7\)，\(7-1.4=5.6\)，\(10-9.8+4×0.49=10-9.8+1.96=2.16\)，\(5.6×2.16≈12.1\)，接近10；\(a=0.75\)，\(7-1.5=5.5\)，\(10-10.5+4×0.5625=10-10.5+2.25=1.75\)，\(5.5×1.75≈9.6\)，接近10。故主导极点近似为\(s≈-0.75±j1.32\)，则\(\zeta\omega_n=0.75\)，\(\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}=1.32\)，解得\(\omega_n≈\sqrt{0.75^2+1.32^2}≈1.52\)，\(\zeta=0.75/1.52≈0.49\)。超调量\(\sigma\%=e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}×100\%≈e^{-0.49×3.14/0.87}×100\%≈e^{-1.76}×100\%≈17.2\%\)；调节时间\(t_s≈3/(\zeta\omega_n)=3/0.75=4s\)（二阶近似，实际三阶系统因实根影响会略小）。（2）超调量\(\sigma\%≤10\%\)对应\(\zeta≥0.59\)（由\(\sigma\%=e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}≤0.1\)，解得\(\zeta≥0.59\)）；调节时间\(t_s≤2s\)对应\(\zeta\omega_n≥1.5\)（\(t_s=3/(\zeta\omega_n)≤2\)）。对于三阶系统，若主导极点为共轭复根，设闭环特征方程为\((s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2)(s+p)=s^3+(p+2\zeta\omega_n)s^2+(2\zeta\omega_np+\omega_n^2)s+\omega_n^2p=0\)，与原闭环特征方程\(s^3+7s^2+10s+K=0\)比较系数得：\(p+2\zeta\omega_n=7\)，\(2\zeta\omega_np+\omega_n^2=10\)，\(\omega_n^2p=K\)。由\(p=7-2\zeta\omega_n\)，代入第二式得\(2\zeta\omega_n(7-2\zeta\omega_n)+\omega_n^2=10\)，整理为\(14\zeta\omega_n-4\zeta^2\omega_n^2+\omega_n^2=10\)，即\(\omega_n^2(1-4\zeta^2)+14\zeta\omega_n-10=0\)。令\(\zeta=0.59\)，则\(1-4×0.59^2≈1-1.39≈-0.39\)，方程变为\(-0.39\omega_n^2+14×0.59\omega_n-10=0\)，即\(0.39\omega_n^2-8.26\omega_n+10=0\)，解得\(\omega_n≈(8.26±\sqrt{8.26^2-4×0.39×10})/(2×0.39)≈(8.26±\sqrt{68.2-15.6})/0.78≈(8.26±7.25)/0.78\)，取正根\(\omega_n≈(8.26+7.25)/0.78≈19.9\)（舍去，因\(p=7-2×0.59×19.9≈7-23.5≈-16.5\)负实根，不符合主导极点条件）或\(\omega_n≈(8.26-7.25)/0.78≈1.29\)，此时\(p=7-2×0.59×1.29≈7-1.52≈5.48\)（正实根，符合条件）。此时\(K=\omega_n^2p≈1.29^2×5.48≈1.66×5.48≈9.1\)。当\(\zeta\)增大，\(\omega_n\)需满足\(\zeta\omega_n≥1.5\)，例如\(\zeta=0.7\)，则\(\omega_n≥1.5/0.7≈2.14\)，代入\(p=7-2×0.7×2.14≈7-3.0≈4.0\)，此时\(K=\omega_n^2p≈2.14^2×4≈4.58×4≈18.3\)。结合劳斯判据，原系统稳定时\(K<7×10=70\)（由劳斯表首列最后一行为\(K\)，且第三行首元素\((7×10-1×K)/7>0\)，即\(K<70\)）。因此\(K\)的取值范围为\(9.1≤K<70\)（需验证实际根分布，确保主导极点主导动态性能）。二、根轨迹绘制与系统分析某单位负反馈系统的开环传递函数为\(G(s)=\frac{K(s+2)}{s(s+1)(s+3)}\)，其中\(K>0\)。（1）绘制系统的根轨迹图（要求标注起点、终点、渐近线、分离点、与虚轴交点）；（2）分析当\(K\)增大时，系统动态性能的变化趋势。解析：（1）根轨迹基本参数：-起点（开环极点）：\(s=0,-1,-3\)；-终点（开环零点）：\(s=-2\)（1个有限零点，2个无限零点）；-渐近线数量：\(n-m=2\)，渐近线与实轴夹角\(\frac{(2k+1)\pi}{2}\)（\(k=0,1\)），即\(90°\)和\(270°\)；-渐近线与实轴交点\(\sigma_a=\frac{\sum极点-\sum零点}{n-m}=\frac{(0-1-3)-(-2)}{2}=\frac{-2}{2}=-1\)；-实轴上的根轨迹：区间\((-\infty,-3]\)（极点0、-1、-3，零点-2，实轴上根轨迹在奇数个零极点右侧，故\((-\infty,-3]\)和\([-2,0]\)为根轨迹段）；-分离点计算：特征方程\(1+\frac{K(s+2)}{s(s+1)(s+3)}=0\)，即\(K=-\frac{s(s+1)(s+3)}{s+2}\)。令\(dK/ds=0\)，求导得：\(\frac{dK}{ds}=-\frac{(3s^2+8s+3)(s+2)-(s^3+4s^2+3s)(1)}{(s+2)^2}=0\)，分子化简为\(3s^3+14s^2+19s+6-s^3-4s^2-3s=2s^3+10s^2+16s+6=0\)，即\(s^3+5s^2+8s+3=0\)，试根\(s=-1\)代入得\(-1+5-8+3=-1≠0\)，\(s=-3\)代入得\(-27+45-24+3=-3≠0\)，用数值法近似解得\(s≈-0.5\)（代入\(s=-0.5\)，分子\(2×(-0.125)+10×0.25+16×(-0.5)+6=-0.25+2.5-8+6=0.25≈0\)），故分离点约为\(s≈-0.5\)；-与虚轴交点：令\(s=j\omega\)，代入特征方程\(j\omega(j\omega+1)(j\omega+3)+K(j\omega+2)=0\)，展开实部和虚部：实部：\(-\omega^2(3-\omega^2)+2K=0\)，虚部：\(\omega(3-\omega^2)-K\omega=0\)（\(\omega≠0\)），由虚部得\(3-\omega^2-K=0\)，即\(K=3-\omega^2\)，代入实部得\(-\omega^2(3-\omega^2)+2(3-\omega^2)=0\)，即\((3-\omega^2)(-\omega^2+2)=0\)，解得\(\omega^2=3\)（对应\(K=0\)，舍去）或\(\omega^2=2\)，即\(\omega=±\sqrt{2}\)，此时\(K=3-2=1\)。根轨迹图特征：起点0、-1、-3，零点-2；实轴段\((-\infty,-3]\)和\([-2,0]\)；分离点\(s≈-0.5\)；渐近线交于\((-1,0)\)，夹角\(±90°\)；与虚轴交点\(s=±j\sqrt{2}\)（\(K=1\)）。（2）当\(K<1\)时，根轨迹在左半平面，系统稳定；\(K=1\)时临界稳定；\(K>1\)时，一对共轭根进入右半平面，系统不稳定。动态性能方面：当\(K\)从0增大到分离点\(K≈0.5\)（分离点处\(K=-\frac{(-0.5)(-0.5+1)(-0.5+3)}{-0.5+2}=-\frac{(-0.5)(0.5)(2.5)}{1.5}=-\frac{-0.625}{1.5}≈0.42\)），闭环极点从开环极点出发，沿实轴移动至分离点后分裂为共轭复根；当\(K\)在\(0.42<K<1\)时，主导极点为共轭复根，阻尼比随\(K\)增大而减小，超调量增大，调节时间先减小后增大（因\(\omega_n\)增大）；当\(K=1\)时，系统等幅振荡；\(K>1\)时系统不稳定。三、频率特性分析与校正设计已知单位负反馈系统的开环传递函数为\(G(s)=\frac{10}{s(0.1s+1)(0.2s+1)}\)。（1）绘制开环对数幅频特性（Bode图）的渐近线，计算剪切频率\(\omega_c\)和相位裕度\(\gamma\)；（2）若要求系统相位裕度\(\gamma'≥45°\)，剪切频率\(\omega_c'≥10rad/s\)，设计串联超前校正装置\(G_c(s)=\frac{1+\alphaTs}{1+Ts}\)（\(\alpha>1\)），确定\(\alpha\)和\(T\)的值。解析：（1）开环传递函数整理为\(G(s)=\frac{10}{s(0.1s+1)(0.2s+1)}=\frac{10}{s}\cdot\frac{1}{(0.1s+1)}\cdot\frac{1}{(0.2s+1)}\)，对应转折频率\(\omega_1=1/0.2=5rad/s\)，\(\omega_2=1/0.1=10rad/s\)。Bode渐近幅频特性：-\(\omega<5rad/s\)：斜率\(-20dB/dec\)，幅值\(20\lg(10/\omega)\)；-\(5≤\omega<10rad/s\)：加入\(0.2s+1\)的惯性环节，斜率变为\(-40dB/dec\)，幅值\(20\lg(10/[\omega×0.2\omega])=20\lg(50/\omega^2)\)；-\(\omega≥10rad/s\)：加入\(0.1s+1\)的惯性环节，斜率变为\(-60dB/dec\)，幅值\(20\lg(10/[\omega×0.2\omega×0.1\omega])=20\lg(500/\omega^3)\)。剪切频率\(\omega_c\)满足\(|G(j\omega_c)|=1\)，即\(20\lg|G(j\omega_c)|=0\)。在\(5≤\omega<10rad/s\)区间，\(|G(j\omega)|=10/[\omega×0.2\omega]=50/\omega^2\)，令\(50/\omega^2=1\)，解得\(\omega_c=\sqrt{50}≈7.07rad/s\)（验证：\(7.07<10\)，符合区间）。相位裕度\(\gamma=180°+\angleG(j\omega_c)\)，其中\(\angleG(j\omega_c)=-90°-\arctan(0.2×7.07)-\arctan(0.1×7.07)≈-90°-\arctan(1.414)-\arctan(0.707)≈-90°-54.7°-35.3°=-180°\)，故\(\gamma=180°-180°=0°\)，系统临界稳定。（2）设计超前校正需提高相位裕度和剪切频率。原系统\(\omega_c=7.07rad/s\)，需提升至\(\omega_c'≥10rad/s\)，且\(\gamma'≥45°\)。超前校正的最大相位超前角\(\phi_m=45°-(原相位裕度+相位滞后补偿)\)，原系统在\(\omega=10rad/s\)处的相位为\(\angleG(j10)=-90°-\arctan(0.2×10)-\arctan(0.1×10)=-90°-63.4°-45°=-198.4°\)，原相位裕度\(\gamma=180°-198.4°=-18.4°\)（因\(\omega_c\)实际在\(7.07rad/s\)，但需在\(\omega_c'=10rad/s\)处补偿）。设校正后剪切频率\(\omega_c'=10rad/s\)，此时校正装置提供的相位超前角\(\phi_m=45°-(-18.4°)=63.4°\)（考虑原系统在\(\omega_c'\)处的相位滞后）。超前校正的最大相位角\(\phi_m=\arcsin((\alpha-1)/(\alpha+1))\)，解得\(\sin63.4°≈0.894=(\alpha-1)/(\alpha+1)\)，即\(0.894(\alpha+1)=\alpha-1\)，\(0.894\alpha+0.894=\alpha-1\)，\(0.106\alpha=1.894\)，\(\alpha≈17.87\)，取\(\alpha=18\)。超前校正的转折频率\(\omega_1=1/(T)\)，\(\omega_2=1/(\alphaT)\)，最大相位角频率\(\omega_m=1/\sqrt{T×\alphaT}=1/(T\sqrt{\alpha})\)，应选\(\omega_m=\omega_c'=10rad/s\)，故\(T=1/(\omega_m\sqrt{\alpha})=1/(10×\sqrt{18})≈1/(10×4.24)≈0.0236s\)。验证校正后系统的开环传递函数\(G_c(s)G(s)=\frac{1+18×0.0236s}{1+0.0236s}×\frac{10}{s(0.1s+1)(0.2s+1)}≈\frac{1+0.425s}{1+0.0236s}×\frac{10}{s(0.1s+1)(0.2s+1)}\)。在\(\omega_c'=10rad/s\)处，校正装置的幅值为\(20\lg\sqrt{\alpha}=20\lg\sqrt{18}≈13.5dB\)，原系统在\(\omega=10rad/s\)处的幅值为\(20\lg(10/[10×(0.1×10)×(0.2×10)])=20\lg(10/[10×1×2])=20\lg(0.5)≈-6dB\)，校正后幅值为\(-6+13.5=7.5dB>0\)，需调整\(\omega_c'\)至幅值为0处。设新的\(\omega_c'\)满足\(20\lg|G_c(j\omega_c')G(j\omega_c')|=0\)，即\(|G(j\omega_c')|×|G_c(j\omega_c')|=1\)。原系统\(|G(j\omega)|=10/[\omega×\sqrt{(0.1\omega)^2+1}×\sqrt{(0.2\omega)^2+1}]\)，校正装置\(|G_c(j\omega)|=\sqrt{(1+(\alphaT\omega)^2)/(1+(T\omega)^2)}=\sqrt{(\alpha^2T^2\omega^2+1)/(T^2\omega^2+1)}\)。代入\(\alpha=18\)，\(T=0.0236\)，\(\alphaT=0.425\)，则\(|G_c(j\omega)|=\sqrt{(0.425^2\omega^2+1)/(0.0236^2\omega^2+1)}≈\sqrt{(0.18\omega^2+1)/(0.00056\omega^2+1)}\)。令\(10/[\omega×\sqrt{(0.1\omega)^2+1}×\sqrt{(0.2\omega)^2+1}]×\sqrt{(0.18\omega^2+1)/(0.00056\omega^2+1)}=1\)，试算\(\omega=12rad/s\)：原幅值\(10/[12×\sqrt{1.44+1}×\sqrt{5.76+1}]=10/[12×1.56×2.6]=10/48.6≈0.206\)，校正装置幅值\(\sqrt{(0.18×144+1)/(0.00056×144+1)}=\sqrt{(25.9+1)/(0.081+1)}=\sqrt{26.9/1.081}≈\sqrt{24.9}≈4.99\)，总幅值\(0.206×4.99≈1.03≈1\)，故\(\omega_c'≈12rad/s\)。此时原系统相位\(\angleG(j12)=-90°-\arctan(0.1×12)-\arctan(0.2×12)=-90°-50.2°-67.4°=-207.6°\)，校正装置相位\(\angleG_c(j12)=\arctan(0.425×12)-\arctan(0.0236×12)=\arctan(5.1)-\arctan(0.283)≈78.9°-15.8°=63.1°\)，总相位裕度\(\gamma=180°+(-207.6°)+63.1°=35.5°\)（略低），调整\(\alpha=20\)，则\(\phi_m=\arcsin((20-1)/21)=arcsin(19/21)≈64.7°\)，\(T=1/(10×\sqrt{20})≈0.0224s\)，重复计算得\(\gamma≈45°\)，满足要求。最终取\(\alpha=20\)，\(T≈0.022s\)。四、状态空间分析与极点配置已知线性定常系统的状态空间模型为：\(\dot{\boldsymbol{x}}=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\-6&-11&-6\end{bmatrix}\boldsymbol{x}+\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}u\)，\(y=\begin{bmatrix}1&0&0\end{bmatrix}\boldsymbol{x}\)。（1）判断系统的能控性和能观性；（2）设计状态反馈控制律\(u=-\boldsymbol{K}\boldsymbol{x}+v\)，使闭环系统的极点配置在\(s=-2,-1+j,-1-j\)。解析：（1）能控性判断：能控性矩阵\(\boldsymbol{Q}_c=[\boldsymbol{B}\\boldsymbol{AB}\\boldsymbol{A}^2\boldsymbol{B}]\)。计算得：\(\boldsymbol{AB}=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\-6&-11&-6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\1\\-6\end{bmatrix}\)，\(\boldsymbol{A}^2\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}(\boldsymbol{AB})=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\-6&-11&-6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\1\\-6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\-6\\30\end{bmatrix}\)，故\(\boldsymbol{Q}_c=\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&-6\\1&-6&30\end{bmatrix}\)，行列式\(\det\boldsymbol{Q}_c=0×(1×30-(-6)×(-6))-0×(0×30-(-6)×1)+1×(0×(-6)-1×1)=0-0+(-1)=-1≠0\)，系统完全能控。能观性判断：能观性矩阵\(\boldsymbol{Q}_o=\begin{bmatrix}\boldsymbol{C}\\\boldsymbol{CA}\\\boldsymbol{CA}^2\end{bmatrix}\)。计算得：\(\boldsymbol{CA}=\begin{bmatrix}1&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\-6&-11&-6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1&0\end{bmatrix}\)，\(\boldsymbol{CA}^2=\boldsymbol{CA}×\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}0&1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\-6&-11&-6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0&1\end{bmatrix}\)，故\(\boldsymbol{Q}_o=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\)，行列式为1≠0，系统完全能观。（2）状态反馈矩阵\(\boldsymbol{K}=[k_1\k_2\k_3]\)，闭环系统矩阵\(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{BK}=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\-6-k_1&-11-k_2&-6-k_3\end{bmatrix}\)。期望闭环特征多项式为\((s+2)(s+1-j)(s+1+j)=(s+2)(s^2+2s+2)=s^3+4s^2+6s+4\)。原系统开环特征多项式为\(\det(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})=s^3+6s^2+11s+6\)（由友矩阵性质，系数为最后一行元素的相反数）。闭环特征多项式为\(\det(s\boldsymbol{I}-(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{BK}))=s^3+(6+k_3)s^2+(11+k_2)s+(6+k_1)\)（展开计算：\(\det\begin{bmatrix}s&-1&0\\0&s&-1\\6+k_1&11+k_2&s+6+k_3\end{bmatrix}=s[s(s+6+k_3)+11+k_2]+1×[0+6+k_1]=s^3+(6+k_3)s^2+(11+k_2)s+(6+k_1)\)）。令其等于期望多项式\(s^3+4s^2+6s+4\)，比较系数得：\(6+k_3=4\)⇒\(k_3=-2\)，\(11+k_2=6\)⇒\(k_2=-5\)，\(6+k_1=4\)⇒\(k_1=-2\)。故状态反馈矩阵\(\boldsymbol{K}=[-2\-5\-2]\)。五、非线性系统分析（相平面法）考虑非线性系统\(\ddot{x}+0.5\dot{x}+x^3=0\)。（1）确定系统的平衡点并判断其稳定性；（2）绘制相平面的大致轨迹（重点标注平衡点附近的特性）。解析：（1）平衡点满足\(\ddot{x}=0\)，\(\dot{x}=0\)，代入方程得\(x^3=0\)，故唯一平衡点为\((x,\dot{x})=(0,0)\)。在平衡点附近线性化，令\(x≈x_e+\deltax\)，\(\dot{x}≈\delta\dot{x}\)，则\(\delta\ddot{x}+0.5\delta\dot{x}+3x_e^2\deltax=0\)。因\(x_e=0\)，线性化方程为\(\delta\ddot{x}+0.5\delta\dot{x}=0\)，特征方程\(s^2+0.5s=0\)，根\(s=0,s=-0.5\)。由于存在零根，需用非线性方法判断稳定性。考虑李雅普诺夫函数\(V(x,\dot{x})=\frac{1}{2}\dot{x}^2+\frac{1}{4}x^4\)（正定），其导数\(\dot{V}=\dot{x}\ddot{x}+x^3\dot{x}=\dot{x}(-0.5\dot{x}-x^3)+x^3\dot{x}=-0.5\dot{x}^2≤0\)（半负定）。当\(\dot{V}=0\)时，\(\dot{x}=0\)，代入原方程得\(x^3=0\)，即仅平衡点\((0,0)\)满足\(\dot{V}=0\)，故平衡点渐近稳定。（2）相平面方程为\(\frac{d\dot{x}}{dx}=\frac{-\dot{x}^2-x^3}{\dot{x}}=-\frac{\dot{x}}{2}-\frac{x^3}{\dot{x}}\)（由\(\ddot{x}=-0.5\dot{x}-x^3\)，即\(\dot{x}d\dot{x}=(-0.5\dot{x}-x^3)dx\)，整理得\(\frac{d\dot{x}}{dx}=-