基础强化北师大版9年级数学上册期中试题（重点）附答案详解

北师大版9年级数学上册期中试题考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题20分）一、单选题（7小题，每小题2分，共计14分）1、在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（）A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝02、如图，已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值是（）A．5 B．10 C．6 D．83、已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有2个，黑球有个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．64、一元二次方程配方后可化为（

）A． B．C． D．5、爷爷的生日晚宴上，大家两两碰杯一次，总共碰杯45次，那么有几人参加了这次宴会？（

）A．8人 B．9人 C．10人 D．11人6、如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（）A．24 B．18 C．12 D．97、如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是边BC上的一个动点，OE⊥OF，交边AB于点F，点G，H分别是点E，F关于直线AC的对称点，点E从点C运动到点B时，图中阴影部分面积的大小变化是（）A．先增大后减小 B．先减小后增大C．一直不变 D．不确定二、多选题（3小题，每小题2分，共计6分）1、已知关于的一元二次方程，下列命题是真命题的有（

）A．若，则方程必有实数根B．若，，则方程必有两个不相等的实根C．若是方程的一个根，则一定有成立D．若是一元二次方程的根，则2、如图，在正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，点落在正方形内部点处，延长交边于点，连接，．下列结论正确的是（

）A． B．C． D．3、如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论中正确的有（

）A．AE=BF； B．AE⊥BF； C．AO=OE； D．第Ⅱ卷（非选择题80分）三、填空题（10小题，每小题2分，共计20分）1、已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列结论：①若方程两根为-1和2，则2a+c=0；②若b＞a+c，则方程有两个不相等的实数根；③若b=2a+3c，则方程有两个不相等的实数根；④若m是方程的一个根，则一定有b2-4ac=（2am+b）2成立．其中结论正确的序号是__________．2、你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程即为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程的正确构图是_____．（只填序号）3、若m，n是关于x的方程x2-3x-3＝0的两根，则代数式m2+n2-2mn＝_____．4、如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线BD于点F，垂足为点E，连接AF、AC，若∠DCB＝70°，则∠FAC＝______．5、已知关于的方程的一个根是，则____．6、若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________．7、中国“一带一路”倡议给沿线国家带来很大的经济效益．若沿线某地区居民2017年人均收入300美元，预计2019年人均收入将达到432美元，则2017年到2019年该地区居民年人均收入增长率为______________.8、如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝8，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2的值为_____．9、在四边形ABCD中，ABCD，ADBC，添加一个条件________，即可判定该四边形是菱形．10、如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小等边三角形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），则击中黑色区域的概率是____________．四、解答题（6小题，每小题10分，共计60分）1、解方程：(3x-1)2-25＝02、2021年2月10日，“天问一号”火星探测器抵达火星轨道，成为中国首颗人造火星卫星．某学校组织首届“航天梦

报国情”航天知识竞赛活动，九年级全体同学参加了“航天知识竞赛”，为了解本次竞赛的成绩，小彬进行了下列统计活动．收集数据：现随机抽取九年级40名同学“航天知识竞赛”的成绩（单位：分）如下：75

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60整理分析小彬按照如下表格整理了这组数据，并绘制了如下的频数直方图．九年级40名同学“航天知识竞赛”成绩频数分布表成绩x/分频数（人数）11______18______（1）请将图表中空缺的部分补充完整，并直接写出这组数据的中位数．（2）活动组委会决定，给“航天知识竞赛”成绩在90分及以上的同学授予“小宇航员”称号．根据上面的统计结果，估计该校九年级840人中约有多少人将获得“小宇航员”称号．（3）本次活动中获得“小宇航员”称号的小颖得到了A，B，C，D四枚纪念章（除图案外完全相同），如上图所示，她将这四枚纪念章背面朝上放在桌面上，从中随机选取两枚送给小彬，求小颗送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“天问一号”图案的概率．3、如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N．(1)求证：△ABN≌△MAD；(2)若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．4、解方程：（1）x（x－3）－5（3－x）＝0（2）5、解方程：（1）；

（2）．

（3）．6、如图，已知矩形ABCD（AB＜AD）．E是BC上的点，AE=AD．(1)在线段CD上作一点F，连接EF，使得∠EFC＝∠BEA(请用直尺和圆规作图，保留作图痕迹)；(2)在（1）作出的图形中，若AB＝4，AD＝5，求DF的值．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案.【详解】解：小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，所以此时方程为：即：小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，所以此时方程为：即：从而正确的方程是：故选：【考点】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的方法是解题的关键.2、A【解析】【分析】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、BP，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．【详解】解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，则P是AC中点，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，即Q在AB上，∵MQ⊥BD，∴AC∥MQ，∵M为BC中点，∴Q为AB中点，∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，∴BQ∥CD，BQ=CN，∴四边形BQNC是平行四边形，∴PQ∥AD，而点Q是AB的中点，故PQ是△ABD的中位线，即点P是BD的中点，同理可得，PM是△ABC的中位线，故点P是AC的中点，即点P是菱形ABCD对角线的交点，∵四边形ABCD是菱形，则△BPC为直角三角形，,在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5，即NQ=5，∴MP+NP=QP+NP=QN=5，故选：A．【考点】本题考查了轴对称-最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．3、A【解析】【分析】根据题意可得，然后进行求解即可．【详解】解：由题意得：，解得：，经检验是原方程的解；故选A．【考点】本题主要考查分式方程的解法及概率，熟练掌握分式方程的解法及概率是解题的关键．4、B【解析】【分析】根据题意直接对一元二次方程配方，然后把常数项移到等号右边即可．【详解】解：根据题意，把一元二次方程配方得：，即，∴化成的形式为．故选：B．【考点】本题考查配方法解一元二次方程，注意掌握配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．5、C【解析】【分析】此题利用基本数量关系：两两碰杯一次，总次数为（n表示人数）列方程解答即可．【详解】解：设有x人参加了这次宴会，根据题意列方程得，，解得x₁＝10，x₂＝−9（不合题意，舍去），∴有10人参加了这次宴会．故选：C．【考点】此题考查一元二次方程的应用中的基本数量关系：单循环比赛进行的总场数为，依此数量关系推广到一般问题．6、A【解析】【分析】易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解．【详解】∵E是AC中点，∵EF∥BC，交AB于点F，∴EF是△ABC的中位线，∴BC=2EF=2×3=6，∴菱形ABCD的周长是4×6=24，故选A．【考点】本题考查了三角形中位线的性质及菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键．7、C【解析】【分析】连接BD，证明△FOB≌△EOC，同理得到△HOD≌△GOC，即可得到答案．【详解】解：连接BD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，，∴∠BOЕ+∠EOC=90°，∵OE⊥OF，∴∠BOE+∠FOB=90°，∴∠FOB=∠EOC，在△FOB和△EOC，，∴△FOB≌△EOC，同理，△HOD≌△GOC，∴图中阴影部分的面积=△ABD的面积=正方形ABCD的面积．∴阴影部分面积的大小一直不变．故选：C．【考点】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．二、多选题1、ABD【解析】【分析】A正确，利用判别式判断即可．B正确，证明Δ＞0，即可判断．C错误，c＝0时，结论不成立．D正确，利用求根公式，判断即可．【详解】解：A、当x=2是，4a＋2b＋c＝0，故x＝2是方程的根；则方程ax2＋bx＋c＝0必有实数根，A正确，B、∵Δ＝b2−4ac＝（3a＋2）2−4a（2a＋2）＝9a2＋12a＋4−8a2−8a＝a2＋4a＋4＝（a＋2）2，∵a＞0，∴Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故B正确．C、∵若c是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，∴ac2＋bc＋c＝0，∴c（ac＋b＋1）＝0，∴c＝0或ac＋b＋1＝0，故C错误．D、∵t是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根∴t＝，∴b2−4ac＝（2at＋b）2，故D正确，故答案为：A，B，D．【考点】本题考查命题与定理，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．2、ABC【解析】【分析】根据正方形的性质得出AB＝AD＝DC＝6，∠B＝D＝90°，求出DE＝2，AF＝AB，根据HL推出Rt△ABG≌Rt△AFG，推出BG＝FG，∠AGB＝∠AGF，设BG＝x，则CG＝BC﹣BG＝6﹣x，GE＝GF+EF＝BG+DE＝x+2，在Rt△ECG中，由勾股定理得出（6﹣x）2+42＝（x+2）2，求出x＝3，得出BG＝GF＝CG，求出∠AGB＝∠FCG，再根据等角的余角相等即可证得∠BAG＝∠FCE，根据GF＝3，EF＝2可得GF＝GE，进而S△FGC＝S△GCE＝，由此即可求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝DC＝6，∠B＝D＝90°．∵CD＝3DE，∴DE＝2，CE＝4．∵△ADE沿AE折叠得到△AFE，∴DE＝EF＝2，AD＝AF，∠D＝∠AFE＝∠AFG＝90°，∴AF＝AB．∵在Rt△ABG和Rt△AFG中，，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），故A选项正确；∴BG＝FG，∠AGB＝∠AGF，设BG＝x，则CG＝BC﹣BG＝6﹣x，GE＝GF+EF＝BG+DE＝x+2．在Rt△ECG中，由勾股定理得：CG2+CE2＝EG2．∵CG＝6﹣x，CE＝4，EG＝x+2，∴（6﹣x）2+42＝（x+2）2，解得：x＝3，∴BG＝GF＝CG＝3，故B选项正确；∵CG＝GF，∴∠CFG＝∠FCG，∵∠BGF＝∠CFG+∠FCG，又∵∠BGF＝∠AGB+∠AGF，∴∠CFG+∠FCG＝∠AGB+∠AGF，∵∠AGB＝∠AGF，∠CFG＝∠FCG，∴∠AGB＝∠FCG，∵∠B＝∠BCD＝90°，∴∠BAG+∠AGB＝∠FCE+∠FCG＝90°，∴∠BAG＝∠FCE，故C选项正确；∵GF＝3，EF＝2，∴GF＝GE，∴S△FGC＝S△GCE＝×CG·CE＝××3×4＝，故D选项错误，故选：ABC．【考点】本题考查了翻折变换，正方形性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的运用，依据翻折的性质找出其中对应相等的线段和对应相等的角是解题的关键．3、ABD【解析】【分析】根据正方形的性质得AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，则由CE=DF易得AF=DE，根据“SAS”可判断△ABF≌△DAE，所以AE=BF；根据全等的性质得∠ABF=∠EAD，利用∠EAD+∠EAB=90°得到∠ABF+∠EAB=90°，则AE⊥BF；连结BE，BE＞BC，BA≠BE，而BO⊥AE，根据垂直平分线的性质得到OA≠OE；最后根据△ABF≌△DAE得S△ABF=S△DAE，则S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF，即S△AOB=S四边形DEOF．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，而CE=DF，∴AF=DE，在△ABF和△DAE中∴△ABF≌△DAE，∴AE=BF，所以A选项符合题意；∴∠ABF=∠EAD，而∠EAD+∠EAB=90°，∴∠ABF+∠EAB=90°，∴∠AOB=90°，∴AE⊥BF，所以B选项符合题意；连结BE，∵BE＞BC，∴BA≠BE，而BO⊥AE，∴OA≠OE，所以C选项不符合题意；∵△ABF≌△DAE，∴S△ABF=S△DAE，∴S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF，∴S△AOB=S四边形DEOF，所以D选项符合题意．故选ABD．【考点】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，也考查了正方形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．三、填空题1、①③④【解析】【分析】利用根与系数的关系判断①；由Δ=b2-4ac判断②；由判别式可判断③；将x=m代入方程得am2=-（bm+c），再代入=（2am+b）2变形可判断④．【详解】解：若方程两根为-1和2，则=-1×2=-2，即c=-2a，2a+c=2a-2a=0，故①正确；由b＞a+c不能判断Δ=b2-4ac值的大小情况，故②错误；若b=2a+3c，则Δ=b2-4ac=4（a+c）2+5c2＞0，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故③正确．若m是方程ax2+bx+c=0的一个根，所以有am2+bm+c=0，即am2=-（bm+c），而（2am+b）2=4a2m2+4abm+b2=4a[-（bm+c）]+4abm+b2=4abm-4abm-4ac+b2=b2-4ac．故④正确；故答案为：①③④．【考点】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系及根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．2、②【解析】【分析】仿造案例，构造面积是的大正方形，由它的面积为，可求出，此题得解．【详解】解：即，构造如图②中大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．故答案为②．【考点】本题考查了一元二次方程的应用，仿造案例，构造出合适的大正方形是解题的关键．3、21【解析】【分析】先根据根与系数的关系得到m+n＝3，mn＝﹣3，再根据完全平方公式变形得到m2+n2﹣2mn＝（m+n）2﹣4mn，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵m，n是关于x的方程x2-3x-3＝0的两根，∴m+n＝3，mn＝﹣3，∴m2+n2﹣2mn＝（m+n）2﹣4mn＝32﹣4×（﹣3）＝21．故答案为：21．【考点】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．4、20°【解析】【分析】由菱形的性质和等腰三角形的性质求出∠BAC和∠FAB的度数，即可解决问题．【详解】解：∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AF＝BF，∴∠FAB＝∠FBA，∵四边形ABCD是菱形，∠DCB＝70°，∴BC＝AB，∠BCA＝∠DCB＝35°，AC⊥BD，∴∠BAC＝∠BCA＝35°，∴∠FBA＝90°﹣∠BAC＝55°，∴∠FAB＝55°，∴∠FAC＝∠FAB﹣∠BAC＝55°﹣35°＝20°，故答案为：20°．【考点】本题考查菱形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．5、【解析】【分析】根据一元二次方程解的定义将x=1代入即可求出a的值．【详解】解：∵关于的方程的一个根是∴解得：a=-1故答案为：．【考点】此题考查的是根据一元二次方程的解，求参数的值，掌握一元二次方程解的定义是解决此题的关键．6、3【解析】【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2+3m-1=0，则3m-1=-m2，根据根与系数的关系得出m+n=-3，再将其代入整理后的代数式计算即可．【详解】解：∵m是一元二次方程x2+3x-1=0的根，∴m2+3m-1=0，∴3m-1=-m2，∵m、n是一元二次方程x2+3x-1=0的两个根，∴m+n=-3，∴，故答案为：3．【考点】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程()的两根时，，．也考查了一元二次方程的解．7、20【解析】【分析】设该地区人均收入增长率为x，根据2017年人均收入300美元，预计2019年人均收入将达到432美元，可列方程求解.【详解】解：设该地区人均收入增长率为x，则300×（1+x）2=432，∴（1+x）2=1.44，解得x=0.2（x=-2.2舍），∴该地区人均收入增长率为20％.故本题答案应为：20％.【考点】一元二次方程在实际生活中的应用是本题的考点，根据题意列出方程是解题的关键.8、64【解析】【分析】连接HE、EF、FG、GH，根据三角形中位线定理、菱形的判定定理得到平行四边形HEFG是菱形，根据菱形的性质、勾股定理计算即可．【详解】解：连接HE、EF、FG、GH，∵E、F分别是边AB、BC的中点，∴EF＝AC＝4，EF∥AC，同理可得，HG＝AC＝4，HG∥AC，EH＝BD＝4，∴HG＝EF，HG∥EF，∴四边形HEFG为平行四边形，∵AC＝BD，∴EH＝EF，∴平行四边形HEFG是菱形，∴HF⊥EG，HF＝2OH，EG＝2OE，∴OE2+OH2＝EH2＝16∴EG2+FH2＝(2OE)2+(2OH)2＝4(OE2+OH2)＝64，故答案为64．【考点】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的判定和性质定理是解题的关键．9、AB＝AD（答案不唯一）【解析】【分析】根据平行四边形的判定证出四边形ABCD是平行四边形，根据菱形的判定证出即可.【详解】解：添加的条件是AB＝AD.理由如下：∵ABCD，ADBC，∴四边形ABCD是平行四边形，若AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形.【考点】本题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定等，能根据菱形的判定定理正确地添加条件是解此题的关键.10、【解析】【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【详解】解：∵总面积为9个小等边形的面积，其中阴影部分面积为3个小等边形的面积，∴飞镖落在阴影部分的概率是＝，故答案为：．【考点】本题主要考查了概率求解问题，准确分析计算是解题的关键．四、解答题1、【解析】【分析】移项，根据平方根的定义开方，转化为两个一元一次方程，分别求出一次方程的解即可得到原方程的解．【详解】移项，得：，∴或，∴．【考点】本题考查了直接开方法求一元二次方程的解，直接开方法是根据平方根的定义来求解的，方程左边为完全平方式，右边为非负常数．2、（1）见解析（2）105人（3）小颗送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“天问一号”图案的概率【解析】【分析】(1）根据题干所给数据整理可得;根据中位数的定义求解可得;由频数分布表可得数据的分布情况;(2）用总人数乘以样本中90≤a<100人数所占比例即可得;(3）根据题意先画出树状图，得出共有12种等可能的结果数，再利用概率公式求解可得.【详解】（1）补全表格如下：这40名同学的“航天知识竞赛”成绩的中位数是第20、21个数据的平均数，所以这40名同学的“航天知识竞赛”成绩的中位数是（分）(2）估计该校九年级840人中，获得“小宇航员”称号的约为840×=105(人).(3）将分别印有“嫦娥五号”“天问一号”“长征火箭”“天宫一号”的印章分别记为A、B、C、D，画树状图如下∶则共有12种等可能的结果数，其中小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”图案的结果数为6，所以小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”图案的概率为【考点】本题考查统计与概率，频数分布表、频数直方图、中位数、用样本估计全体、概率．是中考的常考题型，熟练掌握知识点是关键．3、(1)见解析(2)S四边形BCMN＝4－8【解析】【分析】（1）利用矩形的对边平行和四个角都是直角的性质得到两对相等的角，利用AAS证得两三角形全等即可；（2）利用全等三角形的性质求得AD=BN=2，AN=4，从而利用勾股定理求得AB的长，利用S四边形BCMN=S矩形ABCD-S△ABN-S△MAD求得答案即可．(1)证明：在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，∴∠BAN