2024-2025学年广东省广州市知用学校九年级（下）3月月考数学试题及答案

试题试题2024学年第二学期3月检测题九年级数学（问卷）一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分）1.4的相反数是（）A.4 B.﹣4 C. D.-2.如图中，既是中心对称又是轴对称的图案是（）A. B.C. D.3.如图，将三角形沿着方向平移一定的距离得到三角形．现有下列4个结论：①；②；③；④．其中正确的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.光的速度约为，太阳光射到地球上需要的时间约为，地球与太阳之间的距离用科学计数法表示为（）A. B.C D.5.下列计算正确的是（）A. B.C. D.6.一次函数图象不经过（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.如图是一个正方体骰子的展开图，若该正方体相对的面所标注的数值互为相反数，则当投掷一次该骰子，朝上的数字是奇数的概率为（）A. B. C. D.8.数学小组对校足球社团的20名成员进行年龄调查，结果如表所示．其中有部分数据被墨迹遮挡，关于这20名成员年龄的统计量，仍能够分析得出的是（）年龄/岁11121314频数/名56█████A.平均数 B.众数 C.中位数 D.方差9.如图，在矩形中，，延长到点E，连接交于点G，点F为中点，连接，以点C为圆心，长为半径的圆弧经过点G，连接，若，则的长为（）A.4 B.5 C.6 D.310.已知二次函数与的图像均过点和坐标原点O，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，P为线段的中点，过点P且与x轴不重合的直线与封闭图像交于B，C两点．给出下列结论：①；②；③以O，A，B，C为顶点的四边形可以为正方形；④若点B的横坐标为1，点Q在y轴上（Q，B，C三点不共线），则周长的最小值为．其中，所有正确结论的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题11.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_________．12.把多项式分解因式的结果是______________．13.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为，看这栋高楼底部C的俯角为，热气球A与高楼的水平距离为120米，这栋高楼的高度为______米（，结果精确到1米）．14.如图，为的一条弦，圆周角，若直径为10，则______．15.如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．则关于x的不等式的解集是______．16.如图，在边长为6的正方形中．点E在边上，，点P、Q分别是直线、上的两个动点，将沿翻折，使点A落在点F处，连接，，则的最小值是__________．三、解答题17.解方程：x2－2x－3＝018.如图，点E，F在线段AD上，AB∥CD，，．求证：．19.先化简，再求值：，其中．20.如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．（1）请画出关于原点对称的；（2）请画出绕点B逆时针旋转后的，求点A到所经过的路径长．21.某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，，，四个等级．请根据两幅统计图（不完整）中的信息回答下列问题：（1）本次抽样调查共抽取了_____名学生，并补全条形统计图；（2）“B等级”在扇形图中的圆心角度数为_____；（3）若从体能测试结果为等级的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，作为重点帮扶对象，请用列表或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．22.学科综合我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）．观察实验为了观察光线的折射现象，设计了图所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块，但不在细管所在直线上，图是实验的示意图，四边形为矩形，点，，在同一直线上，测得，．（1）求入射角的度数．（2）若，求光线从空气射入水中的折射率．（参考数据：，，）23.如图，已知的外接圆为，是的直径．（1）尺规作图，在直线下方，在圆的弧上取一点D，使得（不要求写作法）；（2）在（1）条件下，若圆的半径长为，求的最大值；（3）在（1）条件下，点B关于直线的对称点E在上，若，，求的值．24.在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），C，D两点的坐标分别为，．（1）求A，B两点的坐标；（2）若二次函数图象经过点C，且与平行于x轴的直线l始终有两个交点M，N（点M在点N的左侧），P为该抛物线上异于M，N的一点，点N，P的横坐标分别为n，．当n的值发生变化时，的度数是否也发生变化？若变化，请求出度数的范围；若不变，请说明理由；（3）若二次函数的图象与线段只有一个交点，求a的取值范围．25.已知，在正方形ABCD中，点E，F分别为AD上的两点，连接BE、CF，并延长交于点G，连接DG，H为CF上一点，连接BH、DH，（1）如图1，若H为CF的中点，且，，求线段AB的长；（2）如图2，若，过点B作于点I，求证：；（3）如图2，在（1）的条件下，P为线段AD（包含端点A、D）上一动点，连接CP，过点B作于点Q，将沿BC翻折得，N为直线AB上一动点，连接MN，当面积最大时，直接写出的最小值．2024学年第二学期3月检测题九年级数学（问卷）一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分）1.4的相反数是（）A.4 B.﹣4 C. D.-【答案】B【解析】【详解】试题分析：根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．所以4的相反数-4．故选B．考点：相反数．2.如图中，既是中心对称又是轴对称的图案是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查轴对称图形及中心对称图形的识别，根据轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，进行判断即可．【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确；D、不是轴对称图形，故本选项错误；故选：C．3.如图，将三角形沿着的方向平移一定的距离得到三角形．现有下列4个结论：①；②；③；④．其中正确的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了平移的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．平移的性质有：对应点的连线互相平行且相等，平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小，根据平移的性质对各小题分析判断即可得解．【详解】解：沿着方向平移一定的距离就得到，①，正确；②，正确；③，正确；④，故本小题错误，所以，正确的有①②③，共3个．故选：C．4.光的速度约为，太阳光射到地球上需要的时间约为，地球与太阳之间的距离用科学计数法表示为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了科学记数法表示较大的数，解决问题的关键：首先根据路程等于速度乘以时间列出算式，用科学记数法把结果表示为的形式，其中，为原数的整数位数减1．【详解】解：，故选：D．5.下列计算正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据同底数幂的除法、完全平方公式及积的乘方可进行排除选项．【详解】解：A、，计算正确，故符合题意；B、，计算错误，故不符合题意；C、与不是同类项，不能合并，故不符合题意；D、，计算错误，故不符合题意；故选A．【点睛】本题主要考查同底数幂的除法、完全平方公式及积的乘方，熟练掌握同底数幂的除法、完全平方公式及积的乘方是解题的关键．6.一次函数的图象不经过（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象的特点是解题关键．根据一次函数的图象性质即可得到答案．【详解】解：∵一次函数中的，，∴它的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故选：C．7.如图是一个正方体骰子的展开图，若该正方体相对的面所标注的数值互为相反数，则当投掷一次该骰子，朝上的数字是奇数的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题可知-5与a为所对应的面，可知a=5，可知2a-7=3，由此即可求出概率．【详解】解：由题意可知，a=5，2a-7=3，∴朝上的数字是奇数的概率为：，故选：B．【点睛】本题主要考查的是正方体展开图对立面的找法，并以此计算概率，掌握对应知识点是解题的关键．8.数学小组对校足球社团的20名成员进行年龄调查，结果如表所示．其中有部分数据被墨迹遮挡，关于这20名成员年龄的统计量，仍能够分析得出的是（）年龄/岁11121314频数/名56█████A.平均数 B.众数 C.中位数 D.方差【答案】C【解析】【分析】本题考查了平均数，众数，中位数，方差的概念及计算，理解并掌握以上知识的概念辨析及计算方法是解题的关键．平均数：指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；众数：一组数据中,出现次数最多的数；中位数：是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数；方差：用于衡量数据集中的数值与期望值之间的差异程度，方差越小，数据波动越小；由此即可求解．【详解】解：数学小组对校足球社团的20名成员进行年龄调查，其中年龄在11岁的有5名,12岁的有6名，13,14岁的频数被遮挡，A、平均数与调查人员数量有关，表格中缺失数据，不能得到平均数，故不符合题意；B、众数与调查人员的数量有关，表格中缺失数据，不能得到众数，故不符合题意；C、∵共调查20名成员，其中年龄在11岁、12岁的共有11名，∴中位数落在12岁的一组中，能得到中位数，符合题意；D、不能得到平均数，也就不能得到方差，故不符合题意；故选：C

．9.如图，在矩形中，，延长到点E，连接交于点G，点F为的中点，连接，以点C为圆心，长为半径的圆弧经过点G，连接，若，则的长为（）A.4 B.5 C.6 D.3【答案】D【解析】【分析】本题考查了矩形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据矩形的性质得出，，由点F为的中点可知，在中利用勾股定理得出的长即可解答．【详解】解：矩形，，，点F为的中点，，以点C为圆心，长为半径的圆弧经过点G，，在中，，．故选：D．10.已知二次函数与的图像均过点和坐标原点O，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，P为线段的中点，过点P且与x轴不重合的直线与封闭图像交于B，C两点．给出下列结论：①；②；③以O，A，B，C为顶点的四边形可以为正方形；④若点B的横坐标为1，点Q在y轴上（Q，B，C三点不共线），则周长的最小值为．其中，所有正确结论的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】本题属于二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图像与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定、对称中的最值问题等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．根据题意可得两个函数的对称轴均为直线，根据对称轴公式即可求出b，可判断①；过点B作交x轴于点D，过点C作交x轴于点E，证明可得，可判断②正确；当点B、C分别在两个函数的顶点上时，，点B、C的横坐标均为2，求出的长度，得到可判断③正确；作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点Q，此时周长的最小，小值为，即可判断④．【详解】解：①∵已知二次函数与的图像均过点和坐标原点O，P为线段的中点，∴，两个函数的对称轴均为直线，∴，解得：，故①正确；②如图，过点B作交x轴于点D，过点C作交x轴于点E，即，由函数的对称性可知，在和中，，∴，∴，故正确②；③当点B、C分别在两个函数的顶点上时，，点B、C的横坐标均为2，由①可知两个函数的解析式分别为，∴，∴，∵点A(4，0)，∴OA=4，∴，由∵，∴此时以O，A，B，C为顶点的四边形为正方形，故③正确④作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点Q，此时周长的最小，最小值为，∵点B的横坐标为1，，点C的横坐标为3，，∴周长的最小值为故正确④．故选：D．二、填空题11.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】此题考查了二次根式的意义．根据二次根式有意义的条件即可解得．【详解】解：由题意可得，，，故答案为：．12.把多项式分解因式的结果是______________．【答案】【解析】【分析】根据提取公因式法，运用平方差公式即可求解．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查因式分解，掌握提取公因式法，乘法公式是解题的关键．13.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为，看这栋高楼底部C的俯角为，热气球A与高楼的水平距离为120米，这栋高楼的高度为______米（，结果精确到1米）．【答案】【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过作交于，由正切函数得，，即可求解；能熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键．【详解】解：过作交于，，，，，，（米）；故答案为：．14.如图，为的一条弦，圆周角，若直径为10，则______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角是直角和解直角三角形，掌握相关性质，正确作出辅助线是正确解答此题的关键．连接并延长，交于，连接，根据同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角是直角，解直角三角形即可求解．【详解】解：连接并延长，交于，连接，是的直径，，，，直径为10，，中，，故答案为：．15.如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．则关于x的不等式的解集是______．【答案】或##或【解析】【分析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，根据，则反比例函数图象位于一次函数图象下方，进而结合图象得出答案．【详解】解：如图所示：一次函数与反比例函数的图象交于点．∴关于x的不等式的解集是或；故答案为：或．16.如图，在边长为6的正方形中．点E在边上，，点P、Q分别是直线、上的两个动点，将沿翻折，使点A落在点F处，连接，，则的最小值是__________．【答案】【解析】【分析】此题考查了翻折变换、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题．作点D关于的对称点，连接，，由轴对称可知，，，又因，即可推出当、、、共线时，定值最小，最小值为．【详解】解：如图，作点D关于的对称点，连接，，在中，，，由轴对称可知，，，，当、、、共线时，定值最小，最小值为，的最小值是．故答案为：．三、解答题17.解方程：x2－2x－3＝0【答案】【解析】【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．【详解】解：，，或，或，故方程的解为．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（配方法、因式分解法、公式法、换元法等）是解题关键．18.如图，点E，F在线段AD上，AB∥CD，，．求证：．【答案】见详解【解析】【分析】由题意易得，然后可证，进而问题可求证．【详解】证明：∵AB∥CD，∴，∵，，∴（AAS），∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．19.先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本题考查了分式的化简求值，零指数幂和负整数指数幂，掌握相关运算法则是解题关键．先对括号内通分，再将除法化为乘法约分化简，然后计算零指数幂和负整数指数幂，得到，代入计算求值即可．【详解】解：，当时，即时,原式=．20.如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．（1）请画出关于原点对称的；（2）请画出绕点B逆时针旋转后的，求点A到所经过的路径长．【答案】（1）见解析（2）见解析，【解析】【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点，，即可．（2）分别作出A，B，C的对应点，，即可，再利用弧长公式求解即可．【小问1详解】如图所示即为所求；【小问2详解】如图所示即为所求，，点A到经过的路径长．【点睛】本题考查作图——旋转变换，中心对称，勾股定理和弧长公式，解题关键是正确得出对应点的位置．21.某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，，，四个等级．请根据两幅统计图（不完整）中的信息回答下列问题：（1）本次抽样调查共抽取了_____名学生，并补全条形统计图；（2）“B等级”在扇形图中的圆心角度数为_____；（3）若从体能测试结果为等级的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，作为重点帮扶对象，请用列表或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．【答案】（1），图见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根据A等级的人数和所占的百分比即可求出抽样调查的总人数，再求出C等级学生人数，再补全条形统计图即可；（2）用乘以B等级所占的比例即可解答；（3）先画出树状图确定所有等可能结果数以及两人恰好都是男生的情况数，再运用概率公式求解即可．【小问1详解】解：（名）．C等级学生人数为：（人）．补全条形图如图：故答案为：50．【小问2详解】解：测试结果为等级的学生数为20名，．故答案为：．【小问3详解】解：画出树状图如下：共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2．所以抽取两人恰好都是男生的概率为．【点睛】本题主要考查了列表法或树状图法求概率、条形统计图和扇形统计图、画条形统计图、求扇形统计图圆心角等知识点，从统计图中获取所需信息是解题关键．22.学科综合我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）．观察实验为了观察光线的折射现象，设计了图所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块，但不在细管所在直线上，图是实验的示意图，四边形为矩形，点，，在同一直线上，测得，．（1）求入射角的度数．（2）若，求光线从空气射入水中的折射率．（参考数据：，，）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（）设法线为，根据平行线的性质得到，根据正切的定义求出，据此即可求解；（）根据直角三角形的边角关系求出，再根据锐角三角函数的定义求出即可求解；本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系以及“折射率”的定义是解题的关键．【小问1详解】解：如图，设法线，则，∴，∵，，∴，∵，∴，∴∴入射角约为；【小问2详解】解：在中，，，∴，在中，，，∴，∴，，∴光线从空气射入水中的折射率，答：光线从空气射入水中的折射率．23.如图，已知的外接圆为，是的直径．（1）尺规作图，在直线下方，在圆的弧上取一点D，使得（不要求写作法）；（2）在（1）条件下，若圆的半径长为，求的最大值；（3）在（1）条件下，点B关于直线的对称点E在上，若，，求的值．【答案】（1）图见解析（2）16（3）【解析】【分析】（1）使得，即要使得，即，作的垂直平分线交于点D即可．（2）将绕着点D顺时针旋转，得到．根据四点A，B，C，D共圆，得到，再根据，算出，，，推出三点A，C，F共线，，，，在中，得出，即，设，根据，即可求解；（3）根据点B关于直线的对称点E在上，若，，圆周角定理得到，设，则．由，得，解得，在中，根据勾股定理解得，再根据；推出，求出，，过D作于点H，得出，在中，根据勾股定理得出，即可求解；【小问1详解】解：如图上的点D即为所求．【小问2详解】将绕着点D顺时针旋转，得到．如图，因为四点A，B，C，D共圆，所以，．，，，三点A，C，F共线，，，，在中，，，设，，，；【小问3详解】因为点B关于直线的对称点E在上，若，，是的直径，，又，设，则．由，得，解得，．在中，，，，解得．；，，在中，．，，过D作于点H，，，在中，．∴．【点睛】该题是圆综合题，主要考查了圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，圆内接四边形，线段垂直平分线性质，旋转的性质，全等三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点．24.在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），C，D两点的坐标分别为，．（1）求A，B两点的坐标；（2）若二次函数的图象经过点C，且与平行于x轴的直线l始终有两个交点M，N（点M在点N的左侧），P为该抛物线上异于M，N的一点，点N，P的横坐标分别为n，．当n的值发生变化时，的度数是否也发生变化？若变化，请求出度数的范围；若不变，请说明理由；（3）若二次函数的图象与线段只有一个交点，求a的取值范围．【答案】（1）（2）的度数不发生变化，理由见解析（3）或或【解析】【分析】（1）将二次函数转化为，令，即可求出A，B两点的坐标；（2）将代入，求出a的值，得到，利用二次函函数的对称性求出利用坐标轴中的距离求出即可得出结论；（3）分和两种情况讨论即可．【小问1详解】解：，令，则，解得：，点A在点B的左侧，；【小问2详解】解：将代入，得：，解得：，二次函数的解析式为：，点N，P