2024-2025学年北京市海淀区清华附中七年级（下）期末数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年北京市海淀区清华附中七年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每题3分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（3分）一个三角形的两边长分别为7和4，若第三条边的长为x，则x的值可能是（）A．1 B．2 C．8 D．122．（3分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．﹣2+a＜﹣2+b B．2a＜2b C．﹣2a＜﹣2b D．a2＞b23．（3分）如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后（）A．∠BCA＝∠DCA B．∠B＝∠D＝90° C．CD＝CB D．∠BAC＝∠DAC4．（3分）在解关于x，y的二元一次方程组时，那么m和n满足的条件是（）A．m＝n B．m•n＝1 C．m+n＝1 D．m+n＝05．（3分）每一个外角都是72°的正多边形是（）A．正四边形 B．正五边形 C．正六边形 D．正七边形6．（3分）《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗；行酒（劣质酒）1斗；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，则可列二元一次方程组为（）A． B． C． D．7．（3分）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，∠A＝∠ABD，若∠BCD＝36°（）A．36° B．44° C．27° D．54°8．（3分）若关于x的不等式组的解集为x＞3，那么a的取值范围是（）A．a＞3 B．a＜3 C．a≥3 D．a≤39．（3分）若关于x，y的方程组的解满足3x+2y＞7（）A．1 B．2 C．3 D．410．（3分）如图，在△AOB和△COD中，若OA＝OB，∠AOB＝∠COD，AC，连接OM，则下列结论：①AC＝BD；③OM平分∠BMC；④MO平分∠AOD．其中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二、填空题（本题共18分，每题3分）11．（3分）已知是关于x，y的二元一次方程ax﹣2y＝0的一个解．12．（3分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE＝2，则S△ACD＝．13．（3分）若（m﹣1）x+2y|m|＝3是关于x，y的二元一次方程，则m的值为．14．（3分）在平面直角坐标系中，点A（2a+4，4﹣2a）在第四象限．15．（3分）如图，在△ABC中，AD是中线，CE⊥AD于E，若AE＝7，则中线AD的长是．16．（3分）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若△ABC是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6．三、解答题（本题共52分，第17题4分，第18题8分，第19、20题每题5分，第21题4分，第22、23题每题6分，第24、25题每题7分）17．（4分）如图，在△ABC中，AD是高，它们相交于点F，∠BAC＝58°，求∠DAC和∠AFB的度数．18．（8分）解方程组（1）；（2）．19．（5分）小明先画出了△ABC，再利用尺规作图画出了△EBD，使△EBD≌△ABC．（1）请依据如下步骤作图（不写作法，保留作图痕迹，标上相应字母）：①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交AB于点M；②以点M为圆心，以MN长为半径画弧，与①中的弧交于点P（不与点N重合）；③以点B为圆心，以BC长为半径画弧，与边AB交于点D；④以点B为圆心，以AB长为半径画弧，与射线BP交于点E（2）在小明的作图中，判定△EBD≌△ABC的依据是（填写正确结论的序号）．①SSS，②SAS，③ASA20．（5分）解不等式组：．21．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，且DE＝BC，过点D作DF⊥AB22．（6分）在2025年5月24日举办的第十三届学生节上，校学生会购买“校服熊”和“校服兔”作为特许商品进行售卖，全部利润捐赠给小榕树学生公益基金校服熊校服兔进价（元/个）5052售价（元/个）5559（1）校学生会在学生节前购进“校服熊”和“校服兔”共200个，由于“校服熊”和“校服兔”很受欢迎，上午便销售一空，求“校服熊”和“校服兔”分别购进多少个（请列方程组求解）．（2）校学生会决定中午紧急采购“校服熊”和“校服兔”若干个用于下午的销售（“校服熊”和“校服兔”均有采购），购货资金恰好为8112元，参考上午的销售情况，在销售完这批“校服熊”和“校服兔”后，将全天所得全部利润捐赠给小榕树学生公益基金，则校学生会中午紧急采购“校服熊”个，“校服兔”个（请直接写答案）．23．（6分）如果两个不等式（组）的整数解存在且相同，则称它们是“整数同解”的．例如：不等式x﹣2≥0的解集为x≥2，其所有整数解为大于等于2的全体整数，不等式组，其所有整数解也为大于等于2的全体整数，因此不等式x﹣2≥0与不等式组（1）下列不等式（组）中与x+2＞3是“整数同解”的是（填写正确结论的序号）；①，②，③．（2）已知关于x的不等式组与是“整数同解”的，请求出a的取值范围；（3）已知关于x的不等式组与是“整数同解”的，直接写出a的取值范围．24．（7分）对给定的m＞n＞0，考虑如下5个数：﹣m，﹣n，0，n，m（组）的解，则称此不等式（组），n]的“k阶不等式（组）”．例如，给定m＝3，n＝2，解得：，因为﹣3，0，2，3这五个数中有﹣2，0，2，3是该不等式的解，2]的“4阶不等式”．（1）对m＝3，，在下列不等式（组）中，关于（组）”有（填写所有正确结论的序号）；①5（x+1）＜2（x+4），②7x+20≥6，③．（2）已知m，n满足方程组，则有m＝，n＝（结果用含t的式子表示）；（3）在（2）的条件下，若关于x的不等式x≤t是关于[m，求t的取值范围．25．（7分）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，延长BP交AC的延长线于点D，延长PC交BA延长线于点E．（1）求∠BPC的度数；（2）求证：CD＝BC+BE．

2024-2025学年北京市海淀区清华附中七年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案CCADBACDBB一、选择题（本题共30分，每题3分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（3分）一个三角形的两边长分别为7和4，若第三条边的长为x，则x的值可能是（）A．1 B．2 C．8 D．12【解答】解：由三角形三边关系定理得到7﹣4＜x＜6+4，∴3＜x＜11，∴x的值可能是2．故选：C．2．（3分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．﹣2+a＜﹣2+b B．2a＜2b C．﹣2a＜﹣2b D．a2＞b2【解答】解：A．若a＞b，故选项A不成立；B．若a＞b，故选项B不成立；C．若a＞b，故选项C成立；D．当a＝﹣1，a＞b2＝3，b2＝9，a3＜b2，故选项D不成立．故选：C．3．（3分）如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后（）A．∠BCA＝∠DCA B．∠B＝∠D＝90° C．CD＝CB D．∠BAC＝∠DAC【解答】解：根据全等三角形的判定定理，已知AB＝AD，如果添加∠BCA＝∠DCA，不能根据SSA判断△ABC≌△ADC，符合题意；当添加∠B＝∠D＝90°，根据HL能判断△ABC≌△ADC，不符合题意；当添加CB＝CD，根据SSS能判断△ABC≌△ADC，不符合题意；当添加∠BAC＝∠DAC，根据SAS能判断△ABC≌△ADC，不符合题意；故选：A．4．（3分）在解关于x，y的二元一次方程组时，那么m和n满足的条件是（）A．m＝n B．m•n＝1 C．m+n＝1 D．m+n＝0【解答】解：，由①+②得：8x+（m+n）y＝﹣4，∵①+②可直接消去未知数y，∴m+n＝0．故选：D．5．（3分）每一个外角都是72°的正多边形是（）A．正四边形 B．正五边形 C．正六边形 D．正七边形【解答】解：∵这个多边形的每一个外角都等于72°，∴这个多边形的边数是360°÷72°＝5，∴正多边形是正五边形，故选：B．6．（3分）《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗；行酒（劣质酒）1斗；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，则可列二元一次方程组为（）A． B． C． D．【解答】解：依题意得：，故选：A．7．（3分）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，∠A＝∠ABD，若∠BCD＝36°（）A．36° B．44° C．27° D．54°【解答】解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠BCD＝2×36°＝72°．∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°，∴∠CBD＝90°﹣∠DCB＝90°﹣36°＝54°．在△BAC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，即∠A+∠ABD+∠DBC+∠ACB＝180°，∴∠A+∠A+54°+72°＝180°，∴∠A＝27°．故选：C．8．（3分）若关于x的不等式组的解集为x＞3，那么a的取值范围是（）A．a＞3 B．a＜3 C．a≥3 D．a≤3【解答】解：∵解不等式①得：x＞3，解不等式②得：x＞a，∵关于x的不等式组的解集为x＞3，∴a≤3，故选：D．9．（3分）若关于x，y的方程组的解满足3x+2y＞7（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：两方程相加得3x+2y＝6+4m，由3x+3y＞7得2+8m＞7，解得m＞，∴整数m的最小值为2，故选：B．10．（3分）如图，在△AOB和△COD中，若OA＝OB，∠AOB＝∠COD，AC，连接OM，则下列结论：①AC＝BD；③OM平分∠BMC；④MO平分∠AOD．其中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD；由三角形的外角性质得：∠CND＝∠OCA+∠COD＝∠CMD+∠ODB，∴∠CMD＝∠COD＝∠AOB，②正确；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H则∠OGC＝∠OHD＝90°，在△OCG和△ODH中，，∴△OCG≌△ODH（AAS），∴OG＝OH，∴MO平分∠BMC，③正确；∵∠AOB＝∠COD，∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠AOD，假设∠DOM＝∠AOM∵∠AOB＝∠COD，∴∠COM＝∠BOM，∵MO平分∠BMC，∴∠CMO＝∠BMO，在△COM和△BOM中，，∴△COM≌△BOM（ASA），∴OB＝OC，∵OA＝OB，∴OA＝OC，与OA＞OC矛盾，∴④错误；故选：B．二、填空题（本题共18分，每题3分）11．（3分）已知是关于x，y的二元一次方程ax﹣2y＝0的一个解5．【解答】解：把代入关于x，得7a﹣2×5＝2，解得a＝5，故答案为：5．12．（3分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE＝2，则S△ACD＝4．【解答】解：过D作DF⊥AC于F，∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝2，∴DF＝DE＝2，∵AC＝3，∴S△ACD＝＝＝4，故答案为：4．13．（3分）若（m﹣1）x+2y|m|＝3是关于x，y的二元一次方程，则m的值为﹣1．【解答】解：∵（m﹣1）x+2y|m|＝8是关于x，y的二元一次方程，∴|m|＝1且m﹣1≠5，解得：m＝±1且m≠1，∴m＝﹣8，故答案为：﹣1．14．（3分）在平面直角坐标系中，点A（2a+4，4﹣2a）在第四象限a＞2．【解答】解：∵点A（2a+4，5﹣2a）在第四象限，∴，解得：a＞2，故答案为：a＞5．15．（3分）如图，在△ABC中，AD是中线，CE⊥AD于E，若AE＝7，则中线AD的长是12．【解答】解：∵BF⊥AD于F，CE⊥AD于E，∴∠BFD＝∠CED＝90°，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△BDF和△CDE中，，∴△BDF≌△CDE（AAS），∴DF＝DE，∴AF﹣AD＝AD﹣AE，∵AF＝17，AE＝7，∴17﹣AD＝AD﹣7，∴AD＝12，故答案为：12．16．（3分）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若△ABC是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和63或8．【解答】解：设三角形第三边的长是x，由三角形三边关系定理得到6﹣4＜x＜7+4，∴2＜x＜10，若3x＝4，则x＝2；若8x＝6，则x＝3；若x＝2×4，则x＝8；若x＝3×6，则x＝12，∵2＜x＜10，∴三角形第三边的长是4或8．故答案为：3或4．三、解答题（本题共52分，第17题4分，第18题8分，第19、20题每题5分，第21题4分，第22、23题每题6分，第24、25题每题7分）17．（4分）如图，在△ABC中，AD是高，它们相交于点F，∠BAC＝58°，求∠DAC和∠AFB的度数．【解答】解：∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∵∠BAC＝58°，∠C＝72°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝50°，∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝18°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝40°，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABF＝∠ABC＝25°，∴∠AFB＝180°﹣∠ABF﹣∠BAD＝115°．18．（8分）解方程组（1）；（2）．【解答】解：（1），②﹣①得，7y＝8，解得：y＝4，将y＝8代入①得，2x+4＝6，解得：x＝﹣2，∴方程组的解为；（2），①×5+②得，13x＝26，解得：x＝2，将x＝2代入①得，6﹣2y＝4，解得：y＝7，∴方程组的解为．19．（5分）小明先画出了△ABC，再利用尺规作图画出了△EBD，使△EBD≌△ABC．（1）请依据如下步骤作图（不写作法，保留作图痕迹，标上相应字母）：①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交AB于点M；②以点M为圆心，以MN长为半径画弧，与①中的弧交于点P（不与点N重合）；③以点B为圆心，以BC长为半径画弧，与边AB交于点D；④以点B为圆心，以AB长为半径画弧，与射线BP交于点E（2）在小明的作图中，判定△EBD≌△ABC的依据是②（填写正确结论的序号）．①SSS，②SAS，③ASA【解答】解：（1）图形如图所示：（2）由作图可知∠EBD＝∠ABC，EB＝AB，∴△EBD≌△ABC（SAS）．故答案为：②．20．（5分）解不等式组：．【解答】解：解不等式3（x﹣1）＜3x﹣1得：x＞﹣1，解不等式＜2x得：x＜3，则不等式组的解集为﹣1＜x＜4．21．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，且DE＝BC，过点D作DF⊥AB【解答】解：∵DF⊥AB，∠C＝90°，∴∠EDF＝∠C＝90°，∵EF∥BC，∴∠DEF＝∠B，在△DEF和△CBA中，，∴△DEF≌△CBA（ASA），∴EF＝AB．22．（6分）在2025年5月24日举办的第十三届学生节上，校学生会购买“校服熊”和“校服兔”作为特许商品进行售卖，全部利润捐赠给小榕树学生公益基金校服熊校服兔进价（元/个）5052售价（元/个）5559（1）校学生会在学生节前购进“校服熊”和“校服兔”共200个，由于“校服熊”和“校服兔”很受欢迎，上午便销售一空，求“校服熊”和“校服兔”分别购进多少个（请列方程组求解）．（2）校学生会决定中午紧急采购“校服熊”和“校服兔”若干个用于下午的销售（“校服熊”和“校服兔”均有采购），购货资金恰好为8112元，参考上午的销售情况，在销售完这批“校服熊”和“校服兔”后，将全天所得全部利润捐赠给小榕树学生公益基金，则校学生会中午紧急采购“校服熊”104个，“校服兔”56个（请直接写答案）．【解答】解：（1）设“校服熊”购进x个，“校服兔”购进y个，根据题意得：，解得：．答：“校服熊”购进120个，“校服兔”购进80个；（2）设校学生会中午紧急采购“校服熊”m个，则采购“校服兔”m）个，根据题意得：，解得：100≤m≤，又∵m，（156﹣，∴m＝104，∴156﹣m＝156﹣，∴校学生会中午紧急采购“校服熊”104个，“校服兔”56个．故答案为：104，56．23．（6分）如果两个不等式（组）的整数解存在且相同，则称它们是“整数同解”的．例如：不等式x﹣2≥0的解集为x≥2，其所有整数解为大于等于2的全体整数，不等式组，其所有整数解也为大于等于2的全体整数，因此不等式x﹣2≥0与不等式组（1）下列不等式（组）中与x+2＞3是“整数同解”的是③（填写正确结论的序号）；①，②，③．（2）已知关于x的不等式组与是“整数同解”的，请求出a的取值范围；（3）已知关于x的不等式组与是“整数同解”的，直接写出a的取值范围．【解答】解：（1）由题意，∵x+2＞3的解集为x＞2，①的解集为x＞7，故不符合题意；②的解集为x＞2，故不符合题意；③的解集为x≥，符合题意．故答案为：③．（2）由题意，解不等式组，整数解为﹣1，6，1，2，解不等式，得﹣2＜x＜﹣5a﹣1，∵关于x的不等式组与是“整数同解”的，∴2＜﹣7a﹣1≤3∴﹣4≤a．（3）由题意，解不等式组，得，解不等式，得8≤x＜2a+，∵关于x的不等式组与是“整数同解”的，∴，∴．24．（7分）对给定的m＞n＞0，考虑如下5个数：﹣m，﹣n，0，n，m（组）的解，则称此不等式（组），n]的“k阶不等式（组）”．例如，给定m＝3，n＝2，解得：，因为﹣3，0，2，3这五个数中有﹣2，0，2，3是该不等式的解，2]的“4阶不等式”．（1）对m＝3，，在下列不等式（组）中，关于（组）”有①③（填写所有正确结论的序号）；①5（x+1）＜2（x+4），②7x+20≥6，③．（2）已知m，n满足方程组，则有m＝2t﹣1，n＝5﹣t（结果用含t的式子表示）；（3）在（2）的条件下，若关于x的不等式x≤t是关于[m，求t的取值范围．【解答】解：（1）对于m＝3，，五个数为﹣3，﹣，0，，3，对①5（x+6）＜2（x+4）求解，得x＜6，﹣