第十章二元一次方程组-二元一次方程组的和差倍分讲义人教版数学七年级下册

第十章二元一次方程组二元一次方程组的和差倍分讲义人教版初中数学七年级下册一、知识点回顾1.1和差倍分问题的定义

1.概念：通过“和、差、倍、分”等数量关系描述实际问题，建立二元一次方程组求解。

2.常见类型（教材示例）：

和差关系：如“甲数比乙数多5”→x=y+5；

倍数关系：如“甲数是乙数的3倍”→x=3y；

分数关系：如“甲数的1.2解题步骤（教材标准流程）：

1.审题：明确已知量、未知量及数量关系；

2.设元：设两个未知数为x和y；

3.列方程组：根据和差倍分关系列出两个方程；

4.解方程组：用代入法或加减法求解；

5.检验并作答：验证解是否符合实际意义，写出答案。二、重难点讲解2.1从文字描述提取等量关系

核心方法：

1.关键词转化：

“共”“和”→加法关系（如x+y=10）；

“差”→减法关系（如x−y=2）；

示例：甲数比乙数的2倍多3，两数之和为27，求两数。

解析：

设乙数为y，甲数为x，则方程组为：

x2.2复杂关系拆分与方程构建

关键点：将复合条件拆分为多个简单关系。

示例：甲数的13比乙数的12少5，两数之和为50，求两数。

解析：

1三、易错点与解题方法3.1常见易错点

1.单位未统一：

错误：将“甲比乙高20cm”与“甲比乙重5kg”混合列方程。

2.倍数关系反向：

错误：将“甲数是乙数的3倍”写成y=3x（正确为x=3y）。

3.分数关系变形错误：

错误：将“甲数的143.2解题技巧与方法

1.分步审题法：

用下划线标记关键词（如“和”“倍”），逐句转化为数学语言。示例：某班级男生人数比女生多6人，男生人数是女生的1.5倍，求男女生人数。

解析：

设女生为y，男生为x：

x表格整理法：用表格整理已知量、未知量及关系，避免遗漏。四、典型例题解析例1（年龄问题）：

父亲比儿子大28岁，5年后父亲的年龄是儿子的3倍，求当前年龄。

解：

1.设儿子当前年龄为y，父亲为x：

x例2（分数关系）：

甲桶水的15倒入乙桶后，两桶水量相等。若甲桶原有水50升，求乙桶原有水量。

解：

1.设乙桶原有水y升：50五、巩固练习甲、乙两数之和为45，甲数比乙数的23多5，求两数。某班级男生人数是女生的45，若转学2名女生后，男生人数是女生的56甲仓库粮食比乙仓库多30吨，若从甲仓库调10吨到乙仓库，则甲仓库是乙仓库的1.2倍，求原库存量。

一个两位数，十位数字比个位数字大3，若原数加上27后数字对调，求原数。一、选择1.(单选)《九章算术》中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大小器各容几何？”译文：“今有大容器个、小容器个，总容量为斛；大容器个、小容器个，总容量为斛．问大、小容器的容量各是多少斛？”（

）．A.、B.、C.、D.、2.(单选)《九章算术》是中国传统数学的重要著作，书中有一道题“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻；一雀一燕交而处，衡适平；并燕雀重一斤．问：燕雀一枚，各重几何？”译文：“五只雀、六只燕，共重斤（古时斤两）．雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕重量各为多少？”设雀重两，燕重两，可列出方程组（

）．A.B.C.D.3.(单选)我国古典数学文献《增删算法统宗六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半响”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲只羊，那么甲的羊数为乙的倍；如果甲给乙只羊，那么两人的羊数相同．请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊只，则下列说法正确的是（

）．A.列方程：B.列方程组为：C.设乙有羊只，列方程组为：D.甲有羊只，乙有羊只4.(单选)成语“朝三暮四”讲述了一位老翁喂养猴子的故事，老翁为了限定猴子的食量分早晚两次投喂，早上的粮食是晚上的，猴子们对于这个安排很不满意，于是老翁进行调整，从晚上的粮食中取千克放在早上投喂，这样早上的粮食是晚上的，猴子们对这样的安排非常满意．设调整前早上的粮食是千克，晚上的粮食是千克，则可列方程组为（

）．A.B.C.D.5.(单选)如图，其中中天平保持左右平衡，现要使中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码的克数为（

）．A.克B.克C.克D.克6.(单选)《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”其可译为：“有大小两种盛酒的桶，已知个大桶加上个小桶可以盛酒斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），个大桶加上个小桶可以盛酒斛，则个大桶、个小桶分别可以盛酒多少斛？”设个大桶可以盛酒斛，个小桶可以盛酒斛，则可列方程为（

）．A.B.C.D.7.(单选)《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，绳长尺，根据题意列方程组得（

）．A.B.C.D.8.(单选)明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题（如图），其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两(注：明代时斤两)．则下列说法正确的是（

）．A.设有人分银子，根据题意得B.设所分银子有两，根七两分之多四两，据题意得C.设所分银子有两，根据题意得D.设有人分银子，银子有两，根据题意得二、填空1.某班名同学去看电影，购甲乙两种票共用去元，其中甲种票每张元，乙种票每张元，设购买甲种票张，购乙种票张，所列方程组为

．2.我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而春之，得米七斗．问故米几何？”意思为斗爷子能出年米，即出米率为．今有米在容量为斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再春成米，共得米斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米斗，向桶中加谷子斗，那么可列方程组为

．3.我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛，羊各直金几何？”译文：“假设有头牛，只羊，值两银子；头牛，只羊，值两银子．问每头牛，每只羊分别值多少两银子．”根据以上译文，请回答两个问题：(1)每头牛值

两银子，每只羊值

两银子．(2)若某商人准备用两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银子全部用完），那么商人有

种购买方法，列出所有的可能．4.甲、乙两人共有图书本，若甲给乙本后，甲的图书数是乙的倍，则甲原有图书

本．5.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇酒、行酒各得几何？”其意思是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值钱；行酒（劣质酒）斗，价值钱；现有钱，买得斗酒．问可以买

斗醇酒和

斗行酒．6.5月31日至6月2日，2024年国家非遗道州龙船赛在潇水河上隆重举行．道州龙船船头造型分龙、虎、凤、麒麟四大类，按色彩又分“六龙五虎”和“金凤银麒”，代表着每个村落社区特有的宗族信仰、文化标识和审美意趣．据了解本次比赛共计条龙船参赛，创造了一项新的吉尼斯世界记录，其中“六龙五虎”龙船数量比“金凤银麟”龙船数量的倍少条，则参赛的“金凤银麒”龙船为

条．7.顺风旅行社组织200人到花果岭和云水涧旅游，到花果岭的人数比到云水润的人数的2倍少1人，则到云水涧旅游的人数为

．8.明代程大位有一首类似二元一次方程组的饮酒数学诗：肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇．醇酒二瓶醉五客，薄酒三瓶醉二人．共同饮了一十六，二十九客醉颜生，试问高明能算士，几多醨酒几多醇？现进行了变式，大意是：好酒二瓶，可以醉倒位客人；薄酒三瓶，可以醉倒二位客人，如果位客人醉倒了，他们总共饮下瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？设有好酒瓶，薄酒瓶，依题意，可列方程组为

．三、解答1.【问题探究】(1)如图，点C在线段上，点M，N分别是的中点．若，则线段的长为

；(2)【方法迁移】已知点C在线段上，点M，N分别是的中点．若，则线段的长为

．(3)【学以致用】小明同学在解决问题“某校七年级（1）班延时服务统计情况如下，其中参加延时服务的女生是未参加延时服务的女生人数的倍，参加延时服务的男生是全班男生人数的，若参加延时服务的男、女生共有m人，则该班共有学生多少人？（用含m的式子表示）”时，突然联想到上面的几何问题，请你将这个实际问题转化为几何模型，并直接写出答案．（建立几何模型就是画出相应的线段示意图，并分别注明相应线段的实际意义）2.为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，下表是某市的电价标准（每月）.阶梯一户居民每月用电量x（单位：度）电费价格（单位：元/度）一档0＜x≤180a二档180＜x≤280b三档x＞2800.82

(1)已知小华家四月份用电度，缴纳电费元；五月份用电度，缴纳电费元，请你根据以上数据，求出表格中，的值；(2)六月份是用电高峰期，小华家计划六月份电费支出不超过元，那么小华家六月份最多可用电多少度？3.某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表：牛奶（箱咖啡（箱金额（元方案一方案二

(1)采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是

元；(2)若后勤部购买牛奶箱，咖啡箱，则需支付金额元；①求牛奶与咖啡每箱分别为多少元？②超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有

箱（直接写出答案）．4.阅读下列材料，解决问题．《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡母一值钱三，鸡翁一值钱五，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．”译文：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？

(1)[尝试]若设母鸡有x只，公鸡有y只，①小鸡有

只，买小鸡一共花费

文钱（用含x，y的式子表示）；②根据题意，列出一个含有x，y的方程

；(2)[探索]小军对“百鸡问题”增加一个条件：“母鸡数量是公鸡数量的倍多只，”求此时公鸡､母鸡､小鸡的只数；(3)[拓展]小明对“百鸡问题”增加两个条件：“若买得公鸡和母鸡之和不超过只，且买得公鸡数不低于母鸡数，”求此时公鸡､母鸡､小鸡的只数．5.老师布置了一个探究活动：用天平和砝码测量壹元硬币和伍角硬币的质量．（注：同种类的每枚硬币质量相同）．聪明的孔明同学经过探究得到以下记录：记录天平左边天平右边状态记录一10枚壹元硬币，克的砝码20枚伍角硬币平衡记录二10枚壹元硬币15枚伍角硬币，克的砝码平衡请你用所学的数学知识计算出一枚壹元硬币多少克，一枚伍角硬币多少克．

6.列方程组解应用题(1)根据市场调查，某种消毒液的大瓶装和小瓶装两种产品的销售数量（按瓶计算）比为．某厂每天生产这种消毒液，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？(2)地至地的航线长，一架飞机从地顺风飞往地需，它逆风飞行同样的航线需、求飞机无风时的平均速度与风速．7.某商店购进A，B两种商品共件进行销售．已知采购A商品件与B商品件共元，采购A商品件与B商品件共元．(1)求A，B商品每件进价分别是多少元？(2)若该商店出售A，B两种商品时，先都以标价元出售，售出一部分后再降价促销，都以标价的折售完所有剩余商品．其中以元售出的商品件数比购进A种商品件数少件，该商店此次降价前后销售A，B两种商品共获利不少于元不多于元，求有几种进货方案？(3)在（2）的条件下，每卖出一件A商品给希望工程捐a元，每卖出一件B商品捐元，件商品全部售出，最大捐款为元，请直接写出a的值．8.在某校举行的“中华魂”征文活动中，七年级和八年级共收到征文篇，且七年级收到的征文篇数比八年级收到的征文篇数的一半多篇，则七年级收到的征文有多少篇？9.甲、乙两个家庭计划利用“五一”假期到某景区旅游，已知甲家庭人数比乙家庭人数多人，且甲家庭人数的倍恰好等于乙家庭人数的倍．旅行社团体优惠条件成人全价购票，儿童可免费成人折购票，小孩半价购票

(1)求甲、