专题16最大公约数（解析）

20222023学年小学五年级思维拓展举一反三精编讲义专题16最大公约数知识精讲知识精讲专题简析：几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。我们可以把自然数a、b的最公约数记作（a、b），如果（a、b）=1，则a和b互质。求几个数的最大公约数可以用分解质因数和短除法等方法。典例分析典例分析【典例分析01】一张长方形的纸，长7分米5厘米，宽6分米。现在要把它裁成一块块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？【思路引导】7分米5厘米=75厘米，6分米=60厘米。因为裁成的正方形的边长必须能同时整除75和60，所以边长是75和60的公约数。75和60的公约数有1、3、5、15，所以有4种裁法。如果要使正方形面积最大，那么边长也应该最大，应该取75和60的最大公约数15作为正方形的边长，所以可以裁（75÷15）×（60÷15）=20块。【典例分析02】一个长方体木块，长2.7米，宽1.8分米，高1.5分米。要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，正方体的棱长最大是多少分米？【思路引导】2.7米=270厘米，1.8分米=18厘米，1.5分米=15厘米。要把长方体切成大小相等的正方体，不许有剩余，正方体的棱长应该是长、宽、高的公约数。现要求正方体的棱长最大，所以棱长就是长、宽、高的最大公约数。（270，18，15）=3，3厘米=0.3分米【典例分析03】有三根钢管，它们的长度分别是240厘米、200厘米和480厘米，如果把它们截成同样长的小段，每小段最长可以是多少厘米？【思路引导】要把三根钢管截成同样长的小段，每小段的长度数应该是240、200和480的公约数，而每小段要取最长，也就是求240、200和480的最大公约数。240、200和480的最大公约数是40，所以每小段最长是40厘米。【典例分析04】一条道路由甲村经过乙村到丙村。已知甲、乙村相距360米，乙、丙村相距675米。现在准备在路边裁树，要求相邻两棵树之间距离相等，并在甲、乙两村和乙、丙两村的中点都要种上树，求相邻两棵树之间的距离最多是多少米？【思路引导】由于甲乙、乙丙的两村中点各要种上一棵树，所要要将360÷2=180米、675÷2=337.5米平均分成若干段，并且使每段的长度最长。因为（675、360）=45，而180=360÷2，337.5=675÷2，所以，45÷2=22.5，即相邻两棵树之间距离最多是22.5米。【典例分析05】用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少？【思路引导】前面的例题已经告诉了我们，解决这道题只要求出长方形长和宽的最大公约数就行了。但是这题中，长和宽的数比较大，最大公约数比较难求出，这里再介绍一种求两个数的最大公约数的方法。第一步：1072÷469，余134；第二步：469÷134，余67；第三步：134÷67，没有余数，所以用67毫米为正方形的边长来剪，正好能剪（1072÷67）×（469÷67）=112个正方形，即这些正方形的边长最大是67毫米。这种求两个较大数的最大公约数的方法叫辗转相除法。真题演练真题演练一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）1．（2分）（2022春•沭阳县月考）如果A＝2×3×7，B＝2×5×3，那么A和B的最大公因数是（）A．2 B．6 C．35【思路引导】根据求两个数的公因数的方法，首先把两个数分解质因数，两个数公因数质因数的乘积就是它们的最大公因数。据此解答即可【规范解答】解：A＝2×3×7B＝2×5×3所以A和B的最大公因数是：2×3＝6。故选：B。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握求两个数的最大公因数的方法及应用。2．（2分）（2022春•韩城市期末）下面第（）组中的两数的最大公因数是6。A．6和18 B．2和3 C．24和12 D．30和5【思路引导】对于一般的两个数来说，这两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；对于互质的两个数来说，这两个数的最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的乘积；对于成倍数关系的两个数来说，最大公因数是较小的那个数，最小公倍数是较大的那个数。【规范解答】解：A.因为18÷6＝3，18是6的三倍，所以6和18的最大公因数是6，符合题意；B.因为2和3互质，所以2和3的最大公因数是1，不符合题意；C.因为24÷12＝2，24是12的两倍，所以24和12的最大公因数是12，不符合题意；D.因为30÷5＝6，30是5的6倍，所以30和5的最大公因数是5，不符合题意。故选：A。【考点评析】此题需要学生熟练掌握求两个数最大公因数的方法。3．（2分）（2022春•坊子区期末）如果4a＝b，那么a和b的最大公因数是（）A．a B．b C．4【思路引导】根据题意，4a＝b，则b÷a＝4，a和b成倍数关系，为倍数关系的两个数的最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。【规范解答】解：因为4a＝b，则b÷a＝4，那么b是a的4倍，所以a和b的最大公因数是a。故选：A。【考点评析】熟练掌握为倍数关系的两个数的最大公因数的求法是解题的关键。4．（2分）（2022春•贵阳期中）两个相邻自然数的最小公倍数是72，这两个自然数的和是（）A．72 B．15 C．17【思路引导】根据自然数的排列规律可知，相邻的两个自然数相差1，也就是相邻的两个自然数是互质数，两数互质，最小公倍数是两数的积，据此确定这两个自然数，求和即可。【规范解答】解：72＝8×98+9＝17故选：C。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握求两个数的最小公倍数的方法及应用，关键是明确：两数互质，最小公倍数是两数的积；两数成倍数关系，最小公倍数是较大数。5．（2分）（2021春•长垣市期末）m是一个质数，n是一个合数（m、n都是大于20的自然数），下列说法正确的是（）A．m+n一定是偶数 B．mn一定是奇数 C．m+2n不可能是偶数 D．2（m+n）可能是奇数【思路引导】根据质数、合数、偶数、奇数的意义，一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别因数，这样的数叫做合数；是2的倍数的数叫做偶数；不是2的倍数的数叫做奇数。再根据偶数、奇数的性质，奇数+奇数＝偶数，奇数+偶数＝奇数，偶数+偶数＝偶数，奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数。据此解答。【规范解答】解：由分析得：A、m+n一定是偶数。此说法错误。B、mn一定是奇数。此说法错误。C、m+2n不可能是偶数，此说法正确。D、2（m+n）可能是奇数。此说法错误。故选：C。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握质数、合数、偶数、奇数的意义及应用，以及偶数、奇数的性质及应用。二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）6．（2分）（2022春•罗源县期末）如果A÷B＝5（A，B为自然数），那么A和B最大公因数是B。【思路引导】两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数，最小公倍数为较大的数；据此求解即可。【规范解答】解：如果A÷B＝5（A，B为自然数），那么A和B最大公因数是B。故答案为：B。【考点评析】本题主要考查两个数为倍数关系的最大公因数，为倍数关系的两个数的最大公因数是较小的数。7．（2分）（2022春•德江县期中）已知a＝2×3×5，b＝2×5×7，它们的公因数有1、2、5、10，最大公因数是10。【思路引导】两个数最大公因数就是这两个数公有质因数的连乘积，以此解答问题即可。【规范解答】解：因为a＝2×3×5，b＝2×5×7，所以他们的公因数有：1、2、5、2×5＝10；因此最大公因数是10。故答案为：1、2、5、10；10。【考点评析】此题主要是需要学生熟练掌握根据分解质因数的方法求几个数公因数和最大公因数的方法。8．（2分）（2022春•福鼎市期中）在24、8和9中，8是24的因数，24是8的倍数，8和9的最大公因数是1。【思路引导】在整数除法中，商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，商和除数是被除数的因数，据此解答即可。【规范解答】解：因为24÷8＝3，所以8是24的因数，24是8的倍数；又因为8和9互质，所以8和9的最大公因数是1。故答案为：8；24；24；8；8；9。【考点评析】本题考查因数和倍数的定义，还需记住两个数互质，它们的最大公约数是1。9．（2分）（2022春•沈丘县期中）五（1）班有42人，五（2）班有48人。如果把两个班的学生分别分成若干小组，要使每个班每个小组的人数相同，每组最多有6人。【思路引导】求每组最多有多少人，就是求42与48的最大公因数是多少，可以利用分解质因数的方法，把两个数分别分解质因数，公有质因数的积就是最大公因数；据此解答。【规范解答】解：42＝2×3×748＝2×2×2×2×3所以42和48的最大公因数是：2×3＝6故答案为：6。【考点评析】本题主要考查最大公因数的应用，解题的关键是理解求每组最多有多少人实际是求两数的最大公因数。10．（2分）（2021•张家川县模拟）分数分子和分母的最大公因数是2，最小公倍数是40。【思路引导】两个数的最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积；最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积。【规范解答】解：8＝2×2×210＝2×5所以分数分子和分母的最大公因数是：2；最小公倍数是：2×2×2×5＝40。故答案为：2；40。【考点评析】此题需要学生熟练掌握求两个数最大公因数和最小公倍数的方法并灵活运用。11．（2分）（2021春•武冈市期中）如果A＝2×3×5，B＝3×7，那么它们的最大公因数是3，最小公倍数是210。【思路引导】根据求两个数的最大公因数、最小公倍数的方法，把两个数分解质因数，公有质因数的乘积就是这两个的最大公因数，公有质因数与各自独有质因数的连乘积就是它们的最小公倍数。据此解答。【规范解答】解：A＝2×3×5B＝3×7所以A、B的最大公因数是3，最小公倍数是3×2×5×7＝210。故答案为：3，210。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握求两个数的最大公因数、最小公倍数的方法及应用。12．（2分）（2019春•东丽区期末）从1，3，5，6中选出3个数字，组成一个同时有因数3和5的最大三位数，这个三位数是615。【思路引导】因为这个数有因数5，所以是能被5整除，而能被5整除的特征是末尾为0或者5；所以个位只能选5，又因为是组成最大的三位数，所以百位选6，又因为这个数有因数3，所以是能被3整除，而能被3整除特征是各个数位上的数字之和能被3整除，5+6+1＝12能被3整除，所以十位为1。【规范解答】解：从1，3，5，6中选出3个数字，组成一个同时有因数3和5的最大三位数，这个三位数是615；故答案为：615。【考点评析】本题考查了数的整除特征即能被2、3、5整除的数的特征，同时考查了数的大小组成。13．（2分）（2022春•江宁区期末）手工课上张老师准备了两根彩带（如图所示）折五角星，把这两根彩带剪成同样长的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是14厘米，一共有11根。【思路引导】两根彩带剪成同样长的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是多少厘米，就是求70和84的最大公因数；再用70和84分别除以它们的最大公因数，然后相加就是至少可剪成的彩带根数。【规范解答】解：70＝2×5×784＝2×2×3×7所以70和84的最大公因数是2×7＝1470÷14+84÷14＝5+6＝11（根）答：每根短彩带最长是14厘米，一共有11根。故答案为：14；11。【考点评析】熟练掌握求最大公因数的方法是解决此题的关键。三．判断题（共5小题，满分10分，每小题2分）14．（2分）（2022春•莘县期中）如果a＝2×3×5，b＝2×3×3，那么a和b的最大公因数是6，最小公倍数是90。√（判断对错）【思路引导】最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积。据此解答。【规范解答】解：2×3＝62×3×3×5＝90a和b的最大公因数是6，最小公倍数是90。原题干说法正确。故答案为：√。【考点评析】本题考查了求最大公因数和最小公倍数的方法。15．（2分）（2022春•长垣市期中）两个数的最大公因数一定小于这两个数。×（判断对错）【思路引导】根据“当两个数成倍数关系时，较大的那个数，是这两个数的最小公倍数，较小的那个数，是这两个数的最大公因数。”可知：当两个数成倍数关系时，两个数的最大公因数等于较小的那个数，据此判断即可。【规范解答】解：例如12、36这两个数的最大公因数是12，所以题目的结论是错的。故答案为：×。【考点评析】本题考查最大公因数的概念，当两个数成倍数关系时，最大公因数就是较小的那个数，这是求最大公因数的特殊方法。16．（2分）（2022春•市中区期末）甲、乙两数最小公倍数是它们的积，这两个数的最大公因数就是1。√（判断对错）【思路引导】甲、乙两数最小公倍数是它们的积，则这两个数互质，两个数互质，则最大公因数是1，最小公倍数就是这两个数的乘积。【规范解答】解：甲、乙两数最小公倍数是它们的积，则这两个数互质，所以这两个数的最大公因数就是1。所以原题说法正确。故答案为：√。【考点评析】明确两个数互质，则最大公因数是1，最小公倍数就是这两个数的乘积是解题的关键。17．（2分）（2022春•辉县市期末）23和92的最大公因数是1。×（判断对错）【思路引导】两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数。【规范解答】解：因为92÷23＝4，所以23和92的最大公因数是23。所以原题说法错误。故答案为：×。【考点评析】本题考查了为倍数关系的两个数的最大公因数的求法：两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数。18．（2分）（2022春•辉县市期末）如果两个非0自然数的最小公倍数是它们的积，那么这两个数的最大公因数是1。√（判断对错）【思路引导】如果两个非0自然数的最小公倍数是它们的积，那么这两个非0自然数互质，互质的两个数的最大公因数是1。【规范解答】解：如果两个非0自然数的最小公倍数是它们的积，那么这两个数的最大公因数是1。所以原题说法正确。故答案为：√。【考点评析】此题主要考查互质数的概念和意义，以及判断两个数是否是互质数的方法。四．计算题（共2小题，满分12分，每小题6分）19．（6分）（2022春•莘县期中）求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。24和1835和4219和387和12【思路引导】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。两数成倍数关系，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；两数互质，最大公因数是1，最小公倍数是两数的积。【规范解答】解：24＝2×2×2×3、18＝2×3×32×3＝6、2×2×2×3×3＝7224和18的最大公因数是6，最小公倍数是72。35＝5×7、42＝2×3×72×3×5×7＝21035和42的最大公因数是7，最小公倍数是210。19×2＝3819和38的最大公因数是19，最小公倍数是38。7和12互质，7×12＝84，7和12的最大公因数是1，最小公倍数是84。【考点评析】熟练掌握求两个数最大公因数和最小公倍数的方法是解题的关键。20．（6分）（2022春•东昌府区期末）用短除法求出下列每组数的最大公因数和最小公倍数。①36和24②16和56③32、12和16【思路引导】求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，对于两个数来说：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数，由此依次解答即可。【规范解答】解：①36和24所以36和24的最大公因数是12，最小公倍数是12×3×2＝72。②16和56所以16和56的最大公因数是8，最小公倍数是8×2×7＝112。③32、12和16所以32、12和16的最大公因数是4，最小公倍数是4×4×2×3×1＝96。【考点评析】此题主要考查求两个数的最大公因数与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答。五．应用题（共9小题，满分52分）21．（5分）（2022春•禹城市期中）幼儿园买回49块水果糖和30块奶糖，李老师把两种糖分别平均分给小班的每位小朋友，结果水果糖多出4块，奶糖正好。小班最多有多少个小朋友？【思路引导】结果水果糖多出4块，奶糖正好。说明小班人数是（49﹣4）的因数，同时也是30的因数，问小班最多有多少个小朋友，就是求（49﹣4）和30的最大公因数是多少。据此解答。【规范解答】解：49﹣4＝4545＝3×3×530＝2×3×5所以45和30的最大公因数是3×5＝15（人）答：小班最多有15个小朋友。【考点评析】本题考查学生解决稍复杂的应用题的能力，本题中水果糖不能平均分，用（49﹣4）转化成平均分，进一步转化成求两个数的最大公因数，从而使问题得以解决。22．（5分）（2022春•荥阳市期中）插花师计划用70朵百合和42朵玫瑰制作花束。如果要求每束花中都要有百合和玫瑰，且每束花中百合的朵数相同，玫瑰的朵数也相同，所有的花朵正好全部用完，那么最多可以做多少束花？这时每束花中有多少朵花？【思路引导】求最多可以做多少束花，就是求70和42的最大公因数，先把要求的两个数分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数；再用百合花的总朵数除以最大公因数就是每束花中百合花的朵数，用玫瑰花的总朵数除以最大公因数就是每束花中玫瑰花的总朵数，再把每束花中百合花的朵数与每束花中玫瑰花的总朵数相加即可。【规范解答】解：70＝2×5×742＝2×3×7所以70和42的最大公因数是2×7＝1470÷14＝5（朵）42÷14＝3（朵）5+3＝8（朵）答：最多可以做14束花，这时每束花中有8朵花。【考点评析】本题考查了最大公因数的应用以及最大公因数的求法。23．（6分）（2022春•黄陵县期末）五年级（1）（2）班要参加学校组织的义务劳动，五（1）班来了48人，五（2）班来了42人。如果把两个班的学生分别分成若干小组，要使两个班每个小组的人数相同，每组最多有多少人？一共有多少个小组？【思路引导】根据题意，把两个班的学生分别分成若干小组，要使两个班每个小组的人数相同，求每组的人数就是求两班人数的公因数，因为求的是每组最多有多少人，所以就是求两班人数的最大公因数，然后用两个班总人数÷每组人数＝小组数量。【规范解答】解：48＝2×2×2×2×342＝2×3×72×3＝6（人）（48+42）÷6＝90÷6＝15（个）答：每组最多有6人，一共有15个小组。【考点评析】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。24．（6分）有两根钢筋，一根长50米，一根长40米，现在要把这两根钢筋锯成同样长的小段，且每根钢筋不许有剩余，每小段钢筋最长多少米？一共要锯几次？【思路引导】求出两根钢筋长度的最大公因数就是每小段最长的长度，分别求出两根钢筋可以截成的段数，次数＝段数﹣1，据此分析。【规范解答】解：（50，40）＝1050÷10﹣1＝5﹣1＝4（次）40÷10﹣1＝4﹣1＝3（次）4+3＝7（次）答：每小段钢筋最长10米，一共要锯7次。【考点评析】关键是掌握最大公因数的求法，理解锯的次数和段数之间的关系。25．（6分）（2022春•庆云县期中）把这两根彩带截成同样长的几段且没有剩余，每段彩带最长是多少厘米？【思路引导】根据题意，把这两根彩带截成同样长的几段且没有剩余，那么截成的小段既是32的因数，又是56的因数，那么小段的长度就是32与56的公因数，因为求的是每根小段的最长多少厘米，所以求的是32与56的最大公因数。【规范解答】解：32＝2×2×2×2×256＝2×2×2×732和56的最大公因数是：2×2×2＝8，所以每段彩带最长是8厘米。答：每段彩带最长是8厘米。【考点评析】此题需要学生熟练掌握求几个数最大公因数的方法并灵活运用。26．（6分）（2020秋•赣州期末）有两根绳子，一根长36分米，一根长48分米，把它们都剪成长度相等的小段，而且没有剩余．每小段最长是多少分米？一共可以剪成几段？【思路引导】先求36、48的最大公因数，再求可以剪成多少段．【规范解答】解：36＝2×2×3×3，48＝2×2×2×2×3，2×2×3＝12（分米），36÷12+48÷12，＝3+4，＝7（段），答：每小段最长12分米，一共可以剪成7段．【考点评析】此题主要考查学生应用求几个数的最大公因数的方法解决实际问题的能力．27．（6分）（2022春•迎泽区期末）把45厘米、60厘米的两根彩带剪成长度一样的短彩带且没有剩余．（1）每根短彩带最长是多少厘米？（2）一共可以剪成多少段？【思路引导】要把两根彩带剪成长度一样的短彩带