专题103直线与圆圆与圆的位置关系

专题10.3直线与圆、圆与圆的位置关系课标要求考情分析核心素养1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题与实际问题．3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想，掌握用几何法处理圆与圆的位置关系的相关问题的过程.新高考近3年考题题号考点直观想象数学运算逻辑推理2024(Ⅰ)卷//2024(Ⅱ)卷10由直线与圆的位置关系求参2023(Ⅰ)卷6直线与圆的位置关系的应用2023(Ⅱ)卷15直线与圆的位置关系的应用2022(Ⅰ)卷14圆的公共弦,公切线2022(Ⅱ)卷15由直线与圆的位置关系求参1.点与圆的位置关系标准方程的形式一般方程的形式点x0xx点x0xx点x0xx2.直线与圆的位置关系设圆C:x−a2+y−b2=r2,直线l:Ax+By+C=0由x−a2+y−b2=r2Ax+By+C=0消去y(或位置关系相离相切相交图形公共点个数012量化方程观点∆<0∆=0∆>0几何观点d>rd=rd<r【重要结论】1.直线被圆截得的弦长=1\*GB2⑴几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2r2−d=2\*GB2⑵代数法：设直线y=kx+m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于2.圆的切线方程常用结论=1\*GB2⑴过圆x2+y2=r2上一点=2\*GB2⑵过圆x−a2+y−b2=r2上一点=3\*GB2⑶过圆x2+y2=r2外一点3.圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R，r(R>r)，两圆圆心间的距离为d，则两圆的位置关系可用下表表示：位置关系外离外切相交内切内含图形量的关系d>R+rd=R+rR−r<d<R+rd=R−rd<R−r公切线条数43210【重要结论】1.相交两圆的公共弦所在直线方程设圆C1:x2+y2+D1x+E2.圆系方程=1\*GB2⑴同心圆系方程：x−a2+y−b2=r2，=2\*GB2⑵过直线Ax+By+C=0与圆C:x2+yx=3\*GB2⑶过圆C1:x2+y2x2+y当时，D1−当两圆相切时，为过两圆切点的直线方程.1.【人教A版选择性必修一2.5.2例6P97】古希腊时期与欧几里得、阿基米德齐名的著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点所形成的图形是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知点A(0,6)，B(0,3)、动点M满足MAMB=12，记动点M(1)求曲线C的方程；(2)过点N(0,4)的直线l与曲线C交于P，Q两点，若P为线段NQ的中点，求直线l的方程．2.【人教A版选择性必修一习题2.5第13题P99】已知圆C：x2+y2=4，直线l：y=x+b.若圆C上恰有4个点到直线l的距离等于1，则b考点考点一直线与圆的位置关系【典例精讲】例1.(2024·江西省上饶市月考)直线l经过点P(3,6)，且与圆C:x2+y2−2x−4y+1=0相切，则直线l的方程为例2.(2023·辽宁省丹东市月考)若无论实数a取何值时，直线ax+y+a+1=0与圆x2+y2−2x−2y+b=0都相交，则实数bA.(−∞,2) B.(2,+∞) C.(−∞,−6) D.(−6,+∞)例3.(2024·湖北省黄冈市月考)已知函数f(x)=1−x2+k(x−2)有两个不同的零点，则常数k【方法储备】判断直线与圆的位置关系的常用方法：=1\*GB2⑴几何法：利用圆心到直线的距离d与r的关系判断．=2\*GB2⑵代数法：联立方程之后利用∆判断．=3\*GB2⑶点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．【拓展提升】练11(2024·福建省龙岩市月考)在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,a)，B(3,a+4)，若圆x2+y2=4上有且仅有四个不同的点C，使得△ABC的面积为5，则实数a练12(2023·浙江省嘉兴市模拟)已知点A−1,0，B2,0与直线l:mx−y+m=0m∈R，若在直线l上存在点P，使得PA=2PB，则实数mA.−33,33 B.考点二弦长问题考点二弦长问题【典例精讲】例4.(2023·山西省运城市模拟)已知直线l:2x−y−2=0被圆C:x2+y2−2x+4y+m=0截得的线段长为2例5.(2024·江苏省南通市月考)已知圆x2+y2=9的弦过点P(1,2)，当弦长最短时，该弦所在直线方程为(

)A.x+2y−5=0 B.y−2=0 C.2x−y=0 D.x−1=0【方法储备】1.求直线与圆相交弦的弦长=1\*GB2⑴几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l=2r2−d=2\*GB2⑵代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长．2.圆的弦的性质的应用=1\*GB3①圆的任何一条弦的垂直平分线经过圆心；=2\*GB3②圆心与弦中点的连线垂直于这条弦.【易错提醒】注意讨论斜率不存在的情况，当直线与圆相交时，几何法求弦长较方便，一般不用代数法.【拓展提升】练21(2024·江西省抚州市月考)(多选)已知直线x+2y−3=0被圆心在坐标原点的圆O所截得的弦长为2，则(

)A.圆O的方程是x2+y2=4

B.直线l:x−3y+7=0与圆O相离

C.过点N(1,1)的直线被圆O所截得的弦的长度的最小值是22

D.已知点M是直线L:x−y+4=0上的动点，过点M作圆O的两条切线，切点为练22(2023·四川省成都市模拟)已知圆C经过坐标原点，且与直线x−y+2=0相切，切点为A(2,4)．(1)求圆C的方程；(2)已知斜率为−1的直线l与圆C相交于不同的两点M、N．=1\*GB3①若直线l被圆截得的弦MN的长为14，求直线l的方程；=2\*GB3②当△MCN的面积最大值时，求直线l的方程．考点三切线与切线长问题考点三切线与切线长问题【典例精讲】例6.(2023·河北省张家口市期末)过点P(1,1)作圆E：x2+y2A.x+y−2=0 B.2x−y−1=0

C.x−2y+1=0 D.x−2y+1=0或2x−y−1=0例7.(2023·江苏省南京市模拟)过圆O：x2+y2=5外一点P(2,5)作圆O的切线，切点分别为A.2 B.5 C.45例8.(2023·湖南省长沙市月考)已知圆O:x2+y2=2，M是直线l：x−y+4=0上的动点，过点M作圆O的两条切线，切点分别为A，B，则【方法储备】1.求过圆C上一点P(x①若kPC=0,则切线斜率不存在，即切线方程为②若kPC不存在，则切线斜率为0，即切线方程为y=y③若kPC存在且不为零，则切线斜率为−12.求过圆外一点P(x理论：过圆外一点可作圆的两条切线，至少有一条切线斜率存在.=1\*GB2⑴几何法：=1\*GB3①设切线方程为y−y0=kx−x0，则利用圆心到直线的距离为半径r，求出斜率k；=2\*GB3②若求出的k值有2个，即可得出两条切线方程；若k值只有1个，则另一条切线斜率不存在，要补充说明.=2\*GB2⑵代数法：设切线方程为y−y0=kx−x0，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得3.过圆外一点P(x0,y=1\*GB2⑴求切线长：PA=PC2−r2；(r为圆=2\*GB2⑵求直线AB的方程：转化为求以P为圆心,切线长PA为半径的圆与圆C的公共弦所在的直线方程.4.过圆外一点P(x0,y求四边形PACB中的最值问题：=1\*GB2⑴S四边形PACB=2S△PAC=2\*GB2⑵求∠APB的最值，转化为求Rt△PAC中∠APC的最值即可补充：通过直线与圆的方程，可以确定直线与圆、圆和圆的位置关系，对于生产、生活实践以及平面几何中与直线和圆有关的问题，我们可以建立直角坐标系，通过直线与圆的方程，将其转化为代数问题来解决。用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何要素,如点、直线、圆,把平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算,解决代数问题；

第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.【拓展提升】练31(2024·陕西省西安市月考)已知⊙M：(x−1)2+(y−1)2=4，直线l：2x+y+2=0，点P为直线l上的动点，过点P作⊙M的切线PA，切点为A，则切线段练32(2023·广东省广州市月考)(多选)过直线l:2x+y=5上一点P作圆O:x2+y2=1的切线，切点分别为A，BA.若直线AB//l，则|AB|=5 B.cos∠APB的最小值为35

C.直线AB过定点(25,1考点四圆与圆的位置关系考点四圆与圆的位置关系【典例精讲】例9.(2024·河南省郑州市月考)已知圆C1:x−a2+y+22=4与圆C2例10.(2024·浙江省丽水市月考)(多选)已知直线l:(λ+1)x+(1−λ)y+2λ=0，⊙C:x2+yA.直线l恒过定点(−2,4)

B.直线l与⊙C必定相交

C.⊙C与⊙C1:x2+y2−4x=0公共弦所在直线方程为y=x

【方法储备】1.判断圆与圆的位置关系=1\*GB2⑴几何法：=1\*GB3①确定两圆的圆心坐标和半径长；=2\*GB3②利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d和r1+r2，|r1=3\*GB3③比较d，r1+r2，|r=2\*GB2⑵代数法：将两个圆方程联立，消去其中的一个未知数y或x，得关于x或y的一元二次方程.

若方程中∆>0，则两圆相交，在程中∆=0，则两圆相切；若方程中∆<0，两圆外离或内含.2．两圆公共弦长的求法两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，转化为直线与圆相交的弦长问题．【拓展提升】练41(2023·湖北省荆州市模拟)已知圆x2+y2=a与圆x2+y2+4x+2y+b=0交于M，N两点，若|MN|=855，则实数练42(2023·福建省福州市模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=r2(r>0)与圆M：(x−3)2+(y−4)2=9相交于A，B两点，若线段AB上存在一点P(A.23,37 B.4,8 练43(2024·湖南省桃园县月考)(多选)已知圆C1:x2+yA.两圆的圆心距为25

B.两圆的公切线有3条

C.两圆相交，且公共弦所在的直线方程为x−2y+4=0

D.1.(2024·湖南省常德市月考)在平面直角坐标系xOy中，已知点P(−3,0)在圆C：x2+y2+2mx−4y+m2−12=0内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若▵ABCA.3−23,1∪5,3+23 B.2.(2024·江苏省盐城市月考)已知点A为直线3x+4y−7=0上一动点，点B4,0，且Px,y满足x2+y2+x−2=0A.65 B.75 C.1353.(2024·江西省赣州市月考)设m∈R，圆M:x2+y2−2x−6y=0，若动直线l1:x+my−2−m=0与圆M交于点A、C，动直线l2:mx−y−2m+1=0与圆M交于点

【答案解析】教材改编1【人教A版选择性必修一2.5.2例6P97】解：(1)设Mx,y，由点A(0,6)，B(0,3)动点M满足

MAMB=12，

故曲线C的方程x(2)当直线l无斜率时，此时直线与圆相交P，Q两点，

则P0,5,Q0,9或者Q0,5,P当直线l有斜率时，设l：

y=kx+4，联立直线与圆的方程y=kx+4x2+y−7Δ=36k2−20设Px1,y1,Qx2,若P为线段NQ的中点，

则x2+02=x1y2+42=y1，所以x2=2x1，

所以k=±153，因此l教材改编2【人教A版选择性必修一习题2.5第13题P99】解：由圆C的方程：x2+y2=4，可得，圆C的圆心为原点O(0,0)，半径为2．

若圆C上恰有4个点到直线l的距离等于1，

则O到直线l：y=x+b的距离d小于1，

直线l的一般方程为：x−y+b=0，

∴d=|b|2<1，

解得−例1解：将圆的方程转化为：(x−1)2+(y−2)2=4，则圆心(1,2)，半径为2，

若直线l的斜率不存在，则直线方程为x=3，符合；

若直线l的斜率存在，设方程为y−6=k(x−3)，即kx−y−3k+6=0，

因为直线与圆相切，则d=k−2−3k+6k2+1=2，解得k=3例2解：∵x2+y2−2x−2y+b=0表示圆，

∴2−b>0，即b<2．

∵直线ax+y+a+1=0过定点(−1,−1)．

∴点(−1,−1)在圆x2+y2−2x−2y+b=0内部，例3解：因为函数f(x)有两个不同的零点，所以关于x的方程1−x2=−k(x−2)在区间[−1,1]内有两个不等实根，即曲线y=1−x2(单位圆x2+y2=1的上半部分)与经过定点P(2,0)的直线y=−k( x−2)有两个不同的交点，如图．

过点Р作圆的切线PA，则点О到直线PA的距离d=|−2k|k2+1=1，

解得练11解：根据题意可知AB的斜率k=a+4−a3−1=2，

|AB|=(3−1)2+(a+4−a)2=22+42=25，

设△ABC的高为ℎ，则△ABC的面积为5，

∴S=12|AB|ℎ=12×25ℎ=5，

即ℎ=1，

直线AB的方程为y−a=2x−2，

即练12解：设点P(x,y)，由于|PA|=2|PB|，

所以(x+1)2+y2=2(x−2)2+y2，整理得(x−3)2+y2=4，

∵P在直线l上,例4解：圆C：

x2+y2−2x+4y+m=0

，即

x−12+y+22=5−m则圆心

C

到直线

l:2x−y−2=0

的距离

d=2×1−−2又直线被圆截得的线段长为

255

，所以

2r2解得

m=4

．故答案为：

4例5解：圆x2+y2=9的圆心为(0,0)，

由题意可得当弦长最短时，该弦所在直线与直线OP垂直，又kOP=2，

所以该直线的斜率为−12，由点斜式可求得直线方程为y−2=−练21解：对于A项，设圆O的方程为x2+y2=r2(r>0).因为直线x+2y−3=0与圆O相交所得的弦长为2，

且圆心O到直线x+2y−3=0的距离d=|−3|12+(2)2=3，

所以r=(3)2+(22)2=2，所以圆O的方程为x2+y2=4，故A正确;

对于B项，圆心O到直线l:x−3y+7=0的距离为710>2=r，所以直线l:x−3y+7=0与圆O相离，故B正确;

对于C项，因为圆O的圆心是O练22解：(1)圆C的圆心为C，依题意得直线AC的斜率kAC=−1，

∴直线AC的方程为y−4=−(x−2)，即x+y−6=0，

∵直线OA的斜率kOA=42=2，

∴线段OA的垂直平分线为y−2=−12(x−1)，即x+2y−5=0．

解方程组

x+y−6=0x+2y−5=0，得圆心C的坐标为(7,−1)．

∴圆C的半径为r=|AC|=(7−2)2=1\*GB3①圆心C到直线l的距离d=|6−m|2，|MN|=2r2−d2=250−d2=14，

∴d=|6−m|2=1，解得m=6±当且仅当d2=25时，即(6−m)当△MCN的面积最大值时，直线l的方程为y=−x+6±5例6解：由圆E的方程：x2+y2−4x+2y=0可得圆心坐标为E(2,−1)，

将P的坐标代入圆的方程可得1+1−4+2=0，

可得P点在圆上，

所以过P点与圆相切的直线与直线PE垂直，

因为kPE=−1−12−1=−2，

所以过P点与圆相切的直线的斜率为12，

例7解：根据题意，圆O：x2+y2=5的圆心为(0,0)，半径r=5，

若P(2,5)，则|PO|=4+5=3，

圆O：x2+y2=5外一点P(2,5)作圆O的切线，切点分别为A，B，

则|PA|=|PB|=9−5=2，故点A、B在以P为圆心，半径为2的圆的圆上，

该圆的方程为(x−2)2+(y−5)2例8解：设∠AMB=2θ，则MA⋅可知当OM⊥l时，|MA|最小且2θ最大，cos2θ设点O到直线l的距离为d，则d=2因为圆O的半径为2，所以当OM⊥l

时，sinθ=12，可得cos所以MA⋅MB的最小值为3．故答案为：3．练31解：⊙M：(x−1)2+(y−1)2=4的圆心坐标为M(1,1)，半径为2，

如图，

|MA|=2，要使|PA|最小，则|PM|最小，为圆心M到直线l：2x+y+2=0的距离，即|2×1+1+2|22+1练32解：设Px0,y0，Ax1,y1，Bx2,y2，

因为过P作圆O:x2+y2=1的切线，切点分别为A，B，

所以A、B在以OP为直径的圆上，则其方程为x−x022+y−y022=x02+y0222，

易知A、B是圆O与其的交点，所以两圆方程相减可得AB所在的直线方程，

因此弦AB所在直线方程为xx0+yy0=1，

对于A，因为直线AB//l，所以x0=2y0，

又因为点P在直线l:2x+y=5上，则2x0+y0=5，解得x0=2,y0=1，

因此弦AB所在直线方程为2x+y=1，

因为点O(0,0)到直线2x+y=1的距离为55，

所以弦AB的长AB=21−552=455，故A错误；

对于B，设∠APB=2θ，OP=d，则∠OPA=θ，

则sinθ=1d，cos∠APB=1−2sin2θ=1−2×1d2=1−2d例9解：因为圆C1:(x−a)2+(y+2)2=4与圆C2:(x+b)2+(y+2)2=1有3条公切线，

所以圆C1与圆C2外切，可得(a+b)2+(−2+2)2=2+1=3，

即(a+b)2=9，即a例10解：直线l:(λ+1)x+(1−λ)y+2λ=0，即λ(x−y+2)+(x+y)=0

令x−y+2=0x+y=0⇒x=−1y=1，

则直线l恒过定点(−1,1)，故A不正确;

因为1+1−4<0，所以定点(−1,1)在⊙C内，即直线l与⊙C必定相交，故B正确;

将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为−4y+4x=0，即y=x，故C正确;

当λ=0时，即l:x+y=0，

又⊙C:x2+y2−4y=0，即x2+(y−2)2=4，圆心为C(0,2)，半径为r=2

则圆心C到直线练41解：由题得圆x2+y2=a的圆心为(0,0)，半径为a;

圆(x+2)2+(y+1)2=5−b，其圆心为(−2,−1)，半径为5−b，

所以a>0,b<5,a−5−b<5<a+5−b,,=1\*GB3①

联立x2+y2=a,x2+y2+4x+2y+b=0,得4x+2y+a+b=0为直线MN的方程，练42解：圆M的圆心为M(3,4)，半径为3，圆O的圆心为O(0,0)，半径为r，两圆的圆心距|OM|=5，则|r−3|<5<r+3，解得r∈(2,8)，由两圆方程作差可得两圆的相交弦AB所在直线的方程为6x+8y−r2−16=0，

点P为线段AB中点时，以点P为圆心，1为半径的圆与圆M无公共点，这样的点P必存在，

此时圆心M(3,4)到直线AB