2026届高考数学总复习精练册课件：1 4　基本不等式

1.4基本不等式五年高考考点基本不等式目录三年模拟基础强化练能力拔高练创新风向练五年高考考点基本不等式1.(多选)(2022新高考Ⅱ,12,5分,中)若x,y满足x2+y2-xy=1,则

(

)A.x+y≤1

B.x+y≥-2C.x2+y2≤2

D.x2+y2≥1BC解析

因为x2+y2-xy=(x+y)2-3xy=1,且xy≤

,所以(x+y)2-3xy≥(x+y)2-

(x+y)2=

(x+y)2,故(x+y)2≤4,当且仅当x=y时等号成立,即-2≤x+y≤2,故A错误,B正确.由xy≤

得1=x2+y2-xy≥x2+y2-

,即x2+y2≤2,当且仅当x=y时等号成立,故C正确,D错误,故选BC.2.(多选)(2020新高考Ⅰ,11,5分,中)已知a>0,b>0,且a+b=1,则

(

)A.a2+b2≥

B.2a-b>

C.log2a+log2b≥-2

D.

+

≤

ABD解析

由a>0,b>0,a+b=1,得

≥

=

,即a2+b2≥

,当且仅当a=b=

时取等号,故A正确;由a>0,b>0,a+b=1,得a-b=2a-1>-1,故2a-b>

,故B正确;log2a+log2b=log2(ab)≤log2

=log2

=-2,当且仅当a=b=

时,等号成立,故C错误;(

+

)2=a+b+2

=1+2

≤1+a+b=2,得

+

≤

,当且仅当a=b=

时,等号成立,故D正确.3.(2020江苏,12,5分,中)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是

.解析

由5x2y2+y4=1知y≠0,∴x2=

,∴x2+y2=

+y2=

=

+

≥2

=

,当且仅当

=

,即y2=

,x2=

时取“=”.故x2+y2的最小值为

.4.(2020天津,14,5分,中)已知a>0,b>0,且ab=1,则

+

+

的最小值为

.

4解析

+

+

=

+

=

+

≥2

=4,当且仅当

=

,即(a+b)2=16,亦即a+b=4时取等号.又∵ab=1,∴

或

时取等号,∴

+

+

的最小值为4.5.(2019天津理,13,5分,中)设x>0,y>0,x+2y=5,则

的最小值为

.4

解析

把分子展开化为2xy+6,再利用基本不等式求最值.∵x+2y=5,x>0,y>0,∴

=

=

=2

+

≥2

=4

,当且仅当

即

或

时,等号成立,所以

的最小值为4

.6.(2019江苏,10,5分,中)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+

(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是

.4解析

设P

,x0>0,则点P到直线x+y=0的距离d=

=

≥4,当且仅当x0=

,即x0=

时取“=”,故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.三年模拟1.(2024安徽A10联盟质量检测,3)已知m,n∈(0,+∞),

+n=4,则m+

的最小值为

(

)A.3

B.4

C.5

D.6B解析

∀m,n∈(0,+∞),m+

=

=

10+mn+

≥

10+2

=4,当且仅当mn=

,即m=1,n=3时等号成立,则m+

的最小值为4.故选B.2.(2025届江苏无锡期中,4)一家货物公司计划租地建造仓库储存货物,经过市场调查了

解到下列信息:每月土地占地费y1(单位:元)与仓库到车站的距离x(单位:km)成反比,每月

库存货物费y2(单位:元)与x成正比;若在距离车站6km处建仓库,则y2=4y1.要使这家公司

的两项费用之和最小,则所建仓库与车站的距离为

(

)A.2km

B.3km

C.4km

D.5kmB解析

由题意设y1=

,y2=k2x,k1>0,k2>0,x>0,由若在距离车站6km处建仓库,则y2=4y1,得6k2=

,则k1=9k2,设两项费用之和为y元,则y=y1+y2=

+k2x≥2

=6k2,当且仅当

=k2x,即x=3时等号成立,即要使这家公司的两项费用之和最小,则所建仓库与车站的距离为3km.故选B.3.(2025届贵州遵义适应考(一),4)如图所示的“大方图”称为赵爽弦图,它是由中国数

学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》“勾股圆方图”作注时给出的一种几何平面

图.用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为a,b,斜边为c(a、b、c均为

正数),则(a+b)2=4ab+(b-a)2,(a+b)2=2c2-(b-a)2”.某同学读到此书中的“赵爽弦图”时,出

于好奇,想用软钢丝制作此图,他用一段长6cm的软钢丝作为a+b的长度(制作其他边长

的软钢丝足够用),请你给他算一算,他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为

(

)

A.9cm2

B.18cm2

C.27cm2

D.36cm2B解析

由题可知a+b=6,a>0,b>0,则a+b≥2

,即6≥2

,所以ab≤9,当且仅当a=b=3时,等号成立.又“赵爽弦图”的面积为c2=a2+b2=(a+b)2-2ab=36-2ab≥36-2×9=18,所以当a=b=3

时,“赵爽弦图”的面积最小,为18cm2.故选B.4.(2025届山东名校联盟联考,5)若x1,x2是一元二次方程x2-(m+2)x+m=0(m∈R)的两个正

实数根,则

+

的最小值为

(

)A.2

B.4

C.6

D.8C解析

因为x1,x2是一元二次方程x2-(m+2)x+m=0(m∈R)的两个正实数根,所以x1+x2=m+2>0,x1x2=

m>0,所以

+

=

=

=

=

=m+

+2≥2

+2=6,当且仅当m=2时取等号,则

+

的最小值为6.故选C.5.(多选)(2024河北名校联合体开学考,9)下列式子中最小值为4的是

(

)A.sin2x+

B.2x+22-xC.log2(2x)·log2

+8

D.

+

BCD解析

对于A,sin2x+

≥2|sinx|·

=4,当且仅当|sinx|=

,即sin2x=2,即sinx=±

时等号成立,而sinx∈[-1,0)∪(0,1],∴sinx=±

不成立,∴sin2x+

的最小值不为4,故A不符合题意;对于B,∵2x>0,22-x>0,∴2x+22-x≥2

=2

=4,当且仅当2x=22-x,即x=1时,等号成立,∴2x+22-x的最小值为4,故B符合题意;对于C,log2(2x)·log2

+8=(1+log2x)·(log2x-3)+8=(log2x)2-2log2x+5=(log2x-1)2+4,当log2x=1,即x=2时,原式取得最小值4,故C符合题意;对于D,

+

=

(sin2x+cos2x)=2+

+

≥2+2=4,当且仅当

=

,即tanx=±1时,等号成立,则

+

的最小值为4,故D符合题意.故选BCD.6.(2025届重庆巴蜀中学月考,13)已知a,b∈R+,4a+b=1,则

的最大值是

.解析

=

+

=

(4a+b)=5+

+

≥5+2

=9,当且仅当a=

,b=

时取等号,所以

的最大值为

.1.(2025届河北阶段调研检测(二),6)已知x>1,y>0,且

+

=1,则4x+y的最小值为

(

)A.13

B.

C.14

D.9+

A解析

∵x>1,∴x-1>0,又y>0,且

+

=1,∴4x+y=4(x-1)+y+4=[4(x-1)+y]

+4=9+

+

≥9+2

=13,当且仅当

即

时等号成立,故4x+y的最小值为13.故选A.2.(2024浙江镇海中学期末,8)设实数x,y满足x>

,y>3,不等式k(2x-3)(y-3)≤8x3+y3-12x2-3y2恒成立,则实数k的最大值为

(

)A.12

B.24

C.2

D.4

B解析

因为实数x,y满足x>

,y>3,所以x-

>0,y-3>0.由题意知k≤

,因为

=

+

≥

=(2x+y-6)+

+12≥2

+12=24,当且仅当

即

时,等号成立,所以k≤24,即实数k的最大值为24,故选B.知识拓展权方和不等式:设a,b,x,y>0,则

+

≥

,当且仅当

=

时等号成立.3.(多选)(2025届安徽合肥一中月考,9)已知关于x的不等式(m+a)x2+(m-2b)x-1>0(a>0,b>

0)的解集为(-∞,-1)∪

,则下列结论正确的是

(

)A.2a+b=1B.

+2

的最大值为

C.

+

的最小值为3+2

D.a2+b2的最小值为

BC解析

因为关于x的不等式(m+a)x2+(m-2b)x-1>0(a>0,b>0)的解集为(-∞,-1)∪

,所以

所以

所以a+2b=1,A错误;因为a>0,b>0,所以1=a+2b≥2

,当且仅当a=2b=

时取等号,故ab≤

,设m=(1,

),n=(

,

),由m·n≤|m|·|n|,得

+2

≤

=

,当且仅当

=

⇒a=b=

时等号成立,则

+2

的最大值为

,故B正确;

+

=

+

=

[(a+1)+(2b+2)]=

≥

=3+2

,当且仅当

=

,即b=3-2

,a=4

-5时取等号,则

+

的最小值为3+2

,C正确;a2+b2=(1-2b)2+b2=5b2-4b+1=5

+

≥

,当且仅当b=

,a=

时取等号,故a2+b2的最小值为

,D错误.故选BC.4.(多选)(2025届江苏部分高中新起点联合测评,9)已知x>0,y>0,2x+y=1,则

(

)A.4x+2y的最小值为2

B.log2x+log2y的最大值为-3C.y-x-xy的最小值为-1D.

+

的最小值为

ABD解析

对于A,由x>0,y>0,2x+y=1,得4x+2y=22x+2y≥2

=2

=2

,当且仅当2x=y,即x=

,y=

时,等号成立,则4x+2y的最小值为2

,A正确;对于B,因为x>0,y>0,2x+y=1≥2

,所以xy≤

,当且仅当x=

,y=

时,等号成立,故log2x+log2y=log2(xy)≤log2

=-3,即log2x+log2y的最大值为-3,B正确;对于C,由x>0,y>0,2x+y=1,得y=1-2x,0<x<

,故y-x-xy=(1-2x)-x-x(1-2x)=2x2-4x+1=2(x-1)2-1,则函数f(x)=2x2-4x+1在

上单调递减,故在

上无最值,C错误;对于D,令m=x+2,n=y+1,则x=m-2,m>2,y=n-1,n>1,故

+

=

+

=2m+n+

+

-10,2m+n=2(x+2)+(y+1)=2x+y+5=6,则

+

=

(2m+n)=

≥

=

,当且仅当

=

,即m=

,n=

时,等号成立,所以2m+n+

+

-10≥6+

-10=

,即

+

的最小值为

,D正确,故选ABD.5.(多选)(2024山东青岛二中二模,10)已知正实数a,b,c,且a>b>c,x,y,z为自然数,则满足

+

+

>0恒成立的x,y,z可以是(

)A.x=1,y=1,z=4

B.x=1,y=2,z=5C.x=2,y=2,z=7

D.x=1,y=3,z=9BC解析

要