2026届高考数学总复习精练册课件：2 6　对数与对数函数

2.6对数与对数函数五年高考考点1对数及其运算考点2对数函数目录三年模拟基础强化练能力拔高练五年高考考点1对数及其运算1.(2021天津,7,5分,易)若2a=5b=10,则

+

=(

)A.-1

B.lg7

C.1

D.log710C解析

解法一:∵2a=5b=10,∴a=log210,b=log510,∴

+

=

+

=lg2+lg5=1.解法二:由题意可得2ab=10b①,5ab=10a②,①×②可得10ab=10a+b,故ab=a+b⇒

=

⇒

+

=1.2.(2022浙江,7,4分,易)已知2a=5,log83=b,则4a-3b=

(

)A.25

B.5

C.

D.

C解析

由题意知b=log83=lo

3=

log23,又2a=5,所以4a-3b=22(a-3b)=22a-6b=(2a)2·2-6b=25×

=25×

=25×3-2=

,故选C.3.(2021全国甲理,4,5分,易)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表

测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录

法的数据V满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数

记录法的数据约为(

≈1.259)

(

)A.1.5

B.1.2

C.0.8

D.0.6C解析

将L=4.9代入L=5+lgV,得4.9=5+lgV,即lgV=-0.1=-

=lg1

,∴V=1

=

≈

≈0.8,∴其视力的小数记录法的数据约为0.8.故选C.4.(2024全国甲理,15,5分,中)已知a>1且

-

=-

,则a=

.64解析

∵

-

=-

,∴loga8-

=-

,即3loga2-

=-

,设t=loga2,∵a>1,∴t>0,则3t-

=-

,整理得6t2+5t-1=0,即(t+1)(6t-1)=0,∵t>0,∴t=

,即loga2=

,∴

=2,∴a=26=64.考点2对数函数1.(2024天津,5,5分,易)设a=4.2-0.2,b=4.20.2,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为

(

)A.a<b<c

B.a<c<b

C.c<b<a

D.c<a<bD解析

因为y=4.2x在R上单调递增,且-0.2<0<0.2,所以0<4.2-0.2<4.20.2,即0<a<b,因为y=log4.2x在(0,+∞)上单调递增,所以log4.20.2<log4.21=0,即c<0,所以c<a<b,故选D.2.(2021新高考Ⅱ,7,5分,易)若a=log52,b=log83,c=

,则

(

)A.c<b<a

B.b<c<a

C.a<c<b

D.a<b<cC解析

∵log52<log5

=

,log83>log8

=

,∴a<c<b.故选C.3.(2020课标Ⅰ理,12,5分,中)若2a+log2a=4b+2log4b,则

(

)A.a>2b

B.a<2b

C.a>b2

D.a<b2B解析

2a+log2a=22b+log2b<22b+log2(2b),令f(x)=2x+log2x,则f(a)<f(2b),又易知f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以a<2b,故选B.4.(2024北京,9,4分,易)已知(x1,y1),(x2,y2)是函数y=2x的图象上两个不同的点,则(

)A.log2

<

B.log2

>

C.log2

<x1+x2

D.log2

>x1+x2B解析

log2

=log2

≥log2

=

.当且仅当

=

,即x1=x2时“=”成立.又(x1,y1),(x2,y2)是函数y=2x图象上不同的两点,∴x1≠x2,∴log2

>

.故选B.5.(2019浙江,6,4分,中)在同一直角坐标系中,函数y=

,y=loga

(a>0,且a≠1)的图象可能是

(

)

D解析

对于函数y=loga

,当y=0时,有x+

=1,得x=

,即y=loga

的图象恒过定点

,排除选项A、C;函数y=

与y=loga

在各自定义域上单调性相反,排除选项B,故选D.6.(2020课标Ⅲ理,12,5分,难)已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=log138,则

(

)A.a<b<c

B.b<a<c

C.b<c<a

D.c<a<bA解析

a=log53∈(0,1),b=log85∈(0,1),则

=

=log53·log58<

=

<1,∴a<b.又∵134<85,∴135<13×85,两边同取以13为底的对数得log13135<log13(13×85),即log138>

,∴c>

.又∵55<84,∴8×55<85,两边同取以8为底的对数得log8(8×55)<log885,即log85<

,∴b<

.综上所述,c>b>a.故选A.小题速解

利用糖水不等式:设a>b>0,m>0,则有

<

求解

a=

<

=

<

=b,且a=

<

=

<

=c,所以排除B、C、D.故选A.7.(2020课标Ⅱ理,9,5分,难)设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x)

(

)A.是偶函数,且在

单调递增B.是奇函数,且在

单调递减C.是偶函数,且在

单调递增D.是奇函数,且在

单调递减D解析

函数f(x)的定义域为

,关于原点对称,又∵f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),∴f(x)是奇函数,排除A、C;当x∈

时,f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x),则f'(x)=

-

=

>0,∴f(x)在

上单调递增,排除B;当x∈

时,f(x)=ln(-2x-1)-ln(1-2x),则f'(x)=

-

=

<0,∴f(x)在

上单调递减,∴D正确.三年模拟1.(2025届广东三校联考,5)已知对数函数y=logax(a>0且a≠1)是减函数,若m=a3,n=3a,p=

loga3,则m,n,p的大小关系是

(

)A.m>n>p

B.n>m>pC.n>p>m

D.p>n>mB解析

由对数函数y=logax是减函数,得0<a<1,则有0<m=a3<13=1,n=3a>30=1,p=loga3<loga1=0,则n>m>p.故选B.2.(2025届江西上饶沙溪中学月考,5)已知a∈R,函数f(x)=

在R上没有零点,则实数a的取值范围是

(

)A.(0,+∞)

B.(1,+∞)C.{0}∪[1,+∞)

D.{0}∪(1,+∞)D解析

x≤0时,ex=a无解,则a≤0或a>1;x>0时,ln(x+1)=-a无解,则a≥0,故a∈{0}∪(1,+∞),故选D.3.(2025届江苏海安高级中学月考,7)已知a>0,b>0,log9a=log12b=log16(a+b),则

=

(

)A.

B.

C.

D.

D解析

设log9a=log12b=log16(a+b)=k,则有a=9k=32k,b=12k=3k×4k,a+b=16k=42k,可得32k+3k×4k=42k,即

+

-1=0,解得

=

(舍负),所以

=

=

=

.故选D.4.(2024河南师大附中三模,3)函数f(x)=

的定义域为

(

)A.(-∞,0]

B.(-∞,1)C.[0,1)

D.[0,+∞)A解析

要使函数f(x)=

有意义,则有

解得x≤0,故函数f(x)的定义域为(-∞,0].故选A.5.(2025届江苏如东开学考,5)已知a=log2(

+

),则4-a=

(

)A.

B.

C.

D.

D解析

因为a=log2(

+

),所以2a=

+

,所以4a=(2a)2=(

+

)2=10,因此4-a=

=

,故选D.6.(2024广东实验中学模拟,5)设a=

,b=

,c=lo

(log34),则

(

)A.c<b<a

B.c<a<b

C.a<b<c

D.a<c<bB解析

∵log34>1,∴c=lo

(log34)<0,又∵0<

<1,

>1,即0<a<1,b>1,∴c<a<b.故选B.7.(2025届吉林长春东北师大附中开学考,4)若f(x)=(x+a)ln

为偶函数,则a=

(

)A.-1

B.0

C.

D.1B解析

由f(x)=(x+a)ln

为偶函数,得f(-x)=f(x),即(-x+a)ln

=(x+a)ln

,则x-a=x+a,故a=0.故选B.小题速解

因为f(x)=(x+a)ln

是偶函数,y=ln

是奇函数,所以y=x+a是奇函数,(奇×奇=偶)所以a=0.8.(2025届江苏南京六校联合体学情调研,4)已知定义在实数集R上的奇函数f(x),当x>0

时,f(x)=log2x-1,则集合{x|f(-x)-f(x)<0}可表示为

(

)A.(2,+∞)

B.(-∞,-2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)

D.(-2,0)∪(2,+∞)D解析

当x<0时,-x>0,可得f(-x)=log2(-x)-1,因为f(x)是R上的奇函数,所以x<0时,f(x)=-log2(-x)+1.f(-x)-f(x)<0等价于-2f(x)<0,可得f(x)>0,当x>0时,由log2x-1>0,解得x>2;当x<0时,由-log2(-x)+1>0,解得-2<x<0.因此集合{x|f(-x)-f(x)<0}=(-2,0)∪(2,+∞).故选D.9.(2024河北保定部分高中开学考,6)已知a>0,且a≠1,函数f(x)=

在R上单调,则a的取值范围是

(

)A.(1,+∞)

B.

C.

D.

D解析

当x<2时,f(x)=3a-x,因此y=f(x)在R上不可能单调递增,从而有y=f(x)在R上单调递减,所以

解得

≤a<1.10.(2025届江苏“决胜新高考”联考,12)f(x)=

则f(f(-4))=

.解析

由题意,可得f(-4)=log25,又log25>1,故f(f(-4))=f(log25)=

=

=

=

.11.(2024山西长治四中月考,13)函数f(x)=lo

(x2-3)的单调递减区间是

.

(

,+∞)解析

f(x)=lo

(x2-3)的定义域为{x|x<-

或x>

}.又函数y=x2-3在(-∞,-

)上单调递减,在(

,+∞)上单调递增,且y=lo

x在(0,+∞)上单调递减,所以根据复合函数单调性法则可知,f(x)的单调递减区间是(

,+∞).12.(2025届广东深圳中学期中,16)已知f(x)=logax+loga(4-x)(a>0且a≠1),且f(2)=2.(1)求a的值及f(x)的定义域;(2)求f(x)在

上的值域.解析

(1)由f(2)=2得loga2+loga(4-2)=2,即2loga2=2,所以loga2=1,解得a=2,所以f(x)=log2x+log2(4

-x),由

解得0<x<4,故f(x)的定义域为(0,4).(2)由(1)及条件知f(x)=log2x+log2(4-x)=log2[x(4-x)]=log2[-(x-2)2+4],x∈

,设t(x)=-(x-2)2+4,x∈

,则当x=2时,t(x)max=4,当x=1时,t(x)=3;当x=

时,t(x)=

,所以当x∈

时,t(x)min=

,即t(x)∈

,所以f(x)max=log24=2,f(x)min=log2

=log27-2,所以f(x)在

上的值域为[log27-2,2].1.(2024广东深圳宝安中学月考,6)已知函数y=f(x)与函数y=2x互为反函数,g(x)为奇函数,

且当x>0时,g(x)=f(x)-x,则g(-8)=

(

)A.-5

B.-6

C.5

D.6C解析

由函数y=f(x)与函数y=2x互为反函数,得f(x)=log2x.由题设,当x>0时,g(x)=log2x-x,则g(8)=

log28-8=3-8=-5.因为g(x)为奇函数,所以g(-8)=-g(8)=5.故选C.2.(2025届辽宁大连育明高级中学期中,4)已知函数f(x)=log3(9x+1)-x+2,则f(2x)>f(x+1)的

解集为

(

)A.(1,+∞)B.

∪(1,+∞)C.

D.

∪(1,+∞)B解析

函数f(x)的定义域为R,f'(x)=

-1=

-1=

,当x<0时,

<0,得f'(x)<0,f(x)在(-∞,0)上单调递减,当x>0时,

>0,得f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(-x)=log3(9-x+1)+x+2=log3

+x+2=log3(9x+1)-2x+x+2=f(x),故f(x)为R上的偶函数,故f(2x)>f(x+1)等价于f(|2x|)>f(|x+1|),即|2x|>|x+1|,两边平方解得x>1或x<-

.故选B.3.(2025届湖南师大附中月考,6)已知函数f(2x)的图象关于原点对称,且满足f(x+1)+f(3-x)

=0,且当x∈(2,4)时,f(x)=-lo

(x-2)+m,若

=f(-1),则m等于

(

)A.

B.

C.-

D.-

D解析

函数f(x)的图象关于原点对称,所以f(x)为奇函数,因为f(x+1)=-f(3-x)=f(x-3),则f(x+4)=f(x),所以函数f(x)的周期为4,则f(2025)=f(1),而f(-1)=-f(1),所以由

=f(-1)可得f(1)=

,而f(1)=-f(3),则f(3)=-

,所以f(3)=-lo

(3-2)+m=-

,解得m=-

.4.(2025届江苏南通海安实验中学月考,6)我们知道当0<x<2或x>4时,2x>x2.若a=log23,b=

,c=2log32,则

(

)A.a>b>c

B.b>a>c

C.b>c>a

D.c>b>aB解析

因为c=2log32=log34,所以

=

=log34·log32<

=

<

=1,所以c<a,因为0<

<2,所以

>(

)2,所以b=

=log2

>log2(

)2=a,所以b>a>c.故选B.名师点睛

结合题中提示取x=

,得到

>(

)2,比较a、b的大小.5.(2025届安徽江淮十校第一次大联考,7)已知函数f(x)=lnx-mx2+x,若不等式f(x)>0的解

集中恰有两个不同的正整数解,则实数m的取值范围是

(

)A.

B.

C.

D.

C解析

函数f(x)=lnx-mx2+x的定义域为(0,+∞),则不等式f(x)>0化为mx-1<

,令h(x)=mx-1,g(x)=

.对g(x)求导得g'(x)=

,故函数g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减.而不等式f(x)>0的解集中恰有两个不同的正整数解,故正整数解为1,2.故

即

故

≤m<

.6.(2024贵州毕节威宁八中模拟,8)已知直线y=-x+2分别与函数y=ex和y=lnx的图象交于

点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列结论错误的是

(

)A.x1+x2=2

B.

+

>2eC.x1lnx2+x2lnx1>0

D.x1x2<

C解析

画出y=-x+2、y=ex和y=lnx的图象,如图,

因为y=ex与y=lnx互为反函数,所以它们的图象关于直线y=x对称.直线y=-x+2也关于直

线y=x对称,所以交点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x对称,所以x1=y2,x2=y1,又A(x1,y1)在直线y=-x+2上,所以x1+y1=2,即x1+x2=2,选项A正确;因为

+

>2

=2

=2e,所以选项B正确;由

得ex+x-2=0,设f(x)=ex+x-2,则f(x)单调递增,因为f(0)=-1,f

=

-

>0,所以由零点存在定理知f(x)的零点在

上,即0<x1<

,所以

>2,由图得1<x2<2,x1lnx2+x2lnx1=x1lnx2-x2ln

<x1lnx2-x2lnx2=(x1-x2)lnx2<0,

利用lnx1=-ln

<-lnx2进行放缩是变形的关键

选项C错误;由

得2-x-lnx=0,设g(x)=2-x-lnx,则g(1)=1>0,g(

)=2-

-

<0,所以1<x2<

,又因为x1x2=x2lnx2,设h(x)=xlnx,x∈(1,

),h'(x)=lnx+1>0,则h(x)在(1,

)上单调递增,所以x1x2=x2lnx2<

ln

=

,选项D正确.故选C.7.(多选)(2024江苏南京、盐城一模,9)已知x,y∈R,且12x=3,12y=4,则

(

)A.y>x

B.x+y>1C.xy<

D.

+

<

ACD解析

∵12x=3,12y=4,∴x=log123,y=log124.∵y=log12x在(0,+∞)上单调递增,∴y>x,故A正确;∵x+y=log123+log124=log1212=1,∴B错误;∵x>0,y>0,∴xy≤

=

,当且仅当x=y时等号成立,而x<y,故xy<

,∴C正确;∵

=x+y+2

=1+2

<2,即

+

<

,∴D正确.故选ACD.8.(多选)(2025届江苏东台一中开学考,11)已知函数f(x)=lo

(x2-2ax+2),则以下说法正确的是

(

)A.∃a∈R,使得f(x)为偶函数B.若f(x)的定义域为R,则a∈(-

,

)C.若f(x)在区间(-∞,1)上单调递增,则a的取值取值范围是[1,+∞)D.若f(x)的值域是(-∞,2],则a∈

ABD解析

对于A,当a=0时,f(x)=lo

(x2+2),此时函数的定义域为R,且f(-x)=lo

(x2+2)=f(x),即f(x)=lo

(x2+2)为偶函数,因此A正确;对于B,因为f(x)的定义域为R,故x2-2ax+2>0恒成立,则有Δ=(-2a)2-8<0,解得-

<a<

,因此B正确;对于C,令g(x)=x2-2ax+2,因为y=lo

x在定义域上单调递减,故要使函数f(x)在区间(-∞,1)上单调递增,则需g(x)=x2-2ax+2在(-∞,1)上单调递减且恒大于0,故有

解得1≤a≤

,因此C错误;对于D,因为f(x)的值域是(-∞,2],所以f(x)max=2,由复合函数的单调性可知,此时g(x)min=

=

,由g(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2知g(x)min=g(a)=2-a2=

,解得a=±

,即a∈

,因此D正确.故选ABD.9.(多选)(2025届湖北黄冈中学第一次月考,11)已知正数x,y,z满足5x=9y=15z,则

(

)A.xz+2yz-2xy=0

B.5x<9y<15zC.xy<2z2

D.9x+2y<16zAB解析

设5x=9y=15z=t,t>1,则x=

,y=

,z=

.(连等式设公共值为t,求出x、y、z是