2026届高考数学总复习精练册课件：4 2　三角恒等变换

4.2三角恒等变换五年高考考点三角恒等变换目录三年模拟基础强化练能力拔高练创新风向练高考新风向·回归教材

思维引导回归本质(2024新课标Ⅰ,4,5分,易)已知cos(α+β)=m,tanαtanβ=2,则cos(α-β)=

(

)A.-3m

B.-

C.

D.3m风向解读

这是一道来源于课本的考查两角和、差的余弦公式和同角三角函数的基

本关系的基础题,2024年高考数学试卷导向性很明确,就是要引导教师和学生回归教材,

既对教师教学提出了新的要求,又提醒学生复习要以课本为基础,深挖课本.

A解析

因为tanαtanβ=2,所以

=2,所以sinαsinβ=2cosαcosβ,又cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=m,所以cosαcosβ=-m,sinαsinβ=-2m,所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-3m.故选A.五年高考考点三角恒等变换1.(2021全国乙文,6,5分,中)cos2

-cos2

=

(

)A.

B.

C.

D.

D解析

cos2

-cos2

=cos2

-cos2

=cos2

-sin2

=cos

=

.2.(2023新课标Ⅱ,7,5分,中)已知α为锐角,cosα=

,则sin

=

(

)A.

B.

C.

D.

D解析

∵cosα=1-2sin2

=

,∴sin2

=

=

=

,∵α为锐角,∴

也为锐角,∴sin

=

.故选D.3.(2023新课标Ⅰ,8,5分,中)已知sin(α-β)=

,cosαsinβ=

,则cos(2α+2β)=

(

)A.

B.

C.-

D.-

B解析

∵sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=

,cosαsinβ=

,∴sinαcosβ=

+

=

,∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=

,∴cos(2α+2β)=cos[2(α+β)]=1-2sin2(α+β)=1-

=

,故选B.4.(2020课标Ⅲ文,5,5分,中)已知sinθ+sin

=1,则sin

=

(

)A.

B.

C.

D.

B解析

∵sinθ+sin

=sinθ+sinθcos

+cosθ·sin

=sinθ+

sinθ+

cosθ=

sinθ+

cosθ=

sinθ+

cosθ

=

sin

=1,∴sin

=

=

,故选B.5.(2020课标Ⅰ理,9,5分,中)已知α∈(0,π),且3cos2α-8cosα=5,则sinα=

(

)A.

B.

C.

D.

A解析

由3cos2α-8cosα=5,得3cos2α-4cosα-4=0,所以cosα=-

或cosα=2(舍去),因为α∈(0,π),所以sinα=

,故选A.6.(2024全国甲理,8,5分,中)已知

=

,则tan

=

(

)A.2

+1

B.2

-1

C.

D.1-

B解析

∵

=

,∴

=

,解得tanα=1-

.因此tan

=

=

=2

-1,故选B.7.(2021全国甲理,9,5分,中)若α∈

,tan2α=

,则tanα=

(

)A.

B.

C.

D.

A解析

∵tan2α=

,且α∈

,∴

=

,(切化弦)∴2sin2α=cosαcos2α+sinαsin2α,即4sinαcosα=cos(2α-α)=cosα,(利用正弦的二倍角公式与两角差的余弦公式化简)又cosα≠0,∴4sinα=1,(在化简过程中,约去的式子不能为0)∴sinα=

,∴cosα=

,则tanα=

.故选A.8.(2021新高考Ⅰ,6,5分,中)若tanθ=-2,则

=

(

)A.-

B.-

C.

D.

C解析

=

=

=sinθ(sinθ+cosθ)=sin2θ+sinθ·cosθ=

=

=

=

.故选C.9.(2021浙江,8,4分,难)已知α,β,γ是互不相同的锐角,则在sinαcosβ,sinβcosγ,sinγcosα

三个值中,大于

的个数的最大值是

(

)A.0

B.1

C.2

D.3C解析

由

得sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα≤

(注:α、β、γ是锐角,故sinα,cosα,sinβ,cosβ,sinγ,cosγ均为正数),又α、β、γ互不相同,故sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα<

.故sinαcosβ,sinβcosγ,sinγcosα三个值中,至多有2个大于

,结合取等条件

即α=β=γ=

时,三个式子的值为

,故取α=

,β=

,γ=

,此时,sinαcosβ,sinγcosα均大于

.故选C.10.(2020江苏,8,5分,易)已知sin2

=

,则sin2α的值是

.解析

∵sin2

=

=

=

,∴sin2α=

.11.(2022浙江,13,6分,中)若3sinα-sinβ=

,α+β=

,则sinα=

,cos2β=

.解析

用同角三角函数基本关系解方程组求解.设a=sinα,b=sinβ=cosα

,则

解得a=

,b=-

.∴sinα=a=

,cos2β=1-2sin2β=1-2b2=

.三年模拟1.(2025届安徽六安一中月考,4)已知角α,β的顶点均为坐标原点,始边均为x轴的非负半

轴,终边分别过点A(1,2),B(-2,1),则tan

=(

)A.-3或

B.3或-

C.-3

D.

C解析

依题意,知tanα=2,tanβ=-

,由tanα=2>

,可得

+2mπ<α<

+2mπ,m∈Z,由tanβ=-

>-

,可得

+2nπ<β<π+2nπ,n∈Z,则

+(m+n)π<

<

+(m+n)π,m,n∈Z(*),由tan(α+β)=

=

=

,不妨设tan

=t,则有

=

,解得t=-3或t=

,由(*)知

是第二或第四象限角,故tan

=t=-3.故选C.2.(2024河北保定二模,6)已知tanα=

,则cos2α=

(

)A.-

B.

C.

D.-

B解析

因为tanα=

=

,所以4sin2α+11sinα-3=0,解得sinα=

或sinα=-3(舍去),所以cos2α=1-2sin2α=

.故选B.3.(2024浙江绍兴二模,4)若sin

=

,则cos

=

(

)A.

B.-

C.

D.-

D解析

由已知得,sin2

=

=

,即cos

=

,则cos

=cos

=-cos

=-

,故选D.4.(2024湖北武汉六中月考,8)已知tanα、tanβ是方程x2+3

x+4=0的两个根,且α,β∈

,则α+β等于

(

)A.

B.-

C.

或

D.

或-

B解析

由题意得

于是tan(α+β)=

=

=

,显然tanα<0,tanβ<0,又α,β∈

,则有α,β∈

,α+β∈(-π,0),所以α+β=-

.故选B.5.(2024广东广州天河二模,7)已知

sinα+cosα=

,

<α<

,则cosα=

(

)A.

B.

C.

D.

B解析

∵

sinα+cosα=

,∴2sin

=

,则sin

=

,∵

<α<

,∴

<α+

<π,故cos

=-

,故cosα=cos

=cos

cos

+sin

sin

=-

×

+

×

=

,故选B.6.(2025届湖南长沙一中开学考,7)已知sin2θ=

,则sin

·cos

=

(

)A.

B.

C.

D.

C解析

sin

·cos

=sin

·cos

=sin

=

sin

+

=

sin

+

(用降幂公式和辅助角公式)=

sin2θ+

=

+

=

.故选C.7.(多选)(2025届山东济宁实验中学开学考,9)下列选项中,值为

的是

(

)A.2cos215°B.sin27°cos3°+cos27°sin3°C.2sin15°sin75°D.

BCD解析

选项A,2cos215°=1+cos30°=1+

,不符合题意;选项B,sin27°cos3°+cos27°sin3°=sin30°=

,符合题意;选项C,2sin15°sin75°=2sin15°cos15°=sin30°=

,符合题意;选项D,

=

·

=

tan45°=

,符合题意.故选BCD.8.(2024广东部分名校二模)

的值为

.2

解析

tan80°-tan20°=tan(80°-20°)(1+tan80°·tan20°)=

=

=

=

=

,所以

=2

.9.(2025届湖北华中师大一附中月考,12)若α∈

,且cos2α=cos

,则α=

.-解析

由cos2α=cos

得cos2α-sin2α=

(cosα-sinα).因为α∈

,所以cosα-sinα≠0,则cosα+sinα=

,则sin

=

.由α∈

,得α+

∈

,则α+

=

,解得α=-

.10.(2025届山东泰安一中月考,13)已知0<β<α<

,cos(α-β)=

,cosαcosβ=

,则

-

=

.-2解析

因为cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=

,cosαcosβ=

,所以sinαsinβ=

,即tanαtanβ=

=

,又0<β<α<

,所以0<α-β<

,sin(α-β)=

=

,则tan(α-β)=

=

,所以tanα-tanβ=

,所以

-

=

=

=-2.1.(2025届山东菏泽开学考,5)已知tanθ=2,则

=

(

)A.-

B.-

C.

D.

A解析

=

=

=-(sinθ-cosθ)2=-(sin2θ-2sinθcosθ+cos2θ)=2sinθcosθ-1=

-1=

-1=

-1=-

.故选A.2.(2025届安徽宿州灵璧中学开学考,4)数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域

应用广泛,0.618就是黄金分割比m=

的近似值,黄金分割比还可以表示成2sin18°,则

等于

(

)A.4

B.

+1

C.2

D.

-1C解析

依题意m=

=2sin18°,所以

=

=

=

=

=

=

=2.故选C.3.(2025届重庆强基联盟联考,7)已知α为锐角,sinαsin

-

=cosαsin

,则sinα=

(

)A.

B.

C.

D.

C解析

由sinαsin

-

=cosαsin

,得cosαcos

-sinαsin

=-

,则cos

=-

,由α为锐角,得0<α<

,则

<2α+

<

,又因为-

<-

<0,所以

<2α+

<

,故sin

=

,所以cos2α=cos

=cos

cos

+sin

sin

=-

×

+

×

=

,又cos2α=1-2sin2α=

,则sin2α=

.又α为锐角,所以sinα>0,故sinα=

=

.故选C.4.(2025届浙江杭州第二中学开学考,8)已知sin

cos

=-

,则cos

=

(

)A.1-

B.1+

C.

+

D.

-

D解析

因为sin

=cos

=cos

=cos

,所以cos

cos

=-

,而

-

=

,所以cos

=cos

=cos

cos

+sin

sin

,即-

=-

+sin

sin

,所以sin

sin

=

-

,所以cos

=cos

=cos

·cos

-sin

sin

=-

-

=

-

.故选D.5.(2024湖南长沙雅礼中学月考,7)已知

=6,tanα·tan

=3,则cos(4α+4β)=

(

)A.-

B.

C.-

D.

A解析

由

=6,得

=6.即

·

=6,

·

=6,

·

=6,所以有sin(α-β)=

,即sinαcosβ-cosαsinβ=

,又因为tanαtan

=3,所以sinαcosβ=3cosαsinβ,则cosαsinβ=

,sinαcosβ=

,所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=

,cos(2α+2β)=1-2sin2(α+β)=1-2×

=

.则cos(4α+4β)=2cos2(2α+2β)-1=2×

-1=-

.故选A.6.(多选)(2024重庆八中月考,10)如图,角α,β(0<α<β<π)的始边与x轴的非负半轴重合,终

边分别与单位圆交于A,B两点,M为线段AB的中点,N为

的中点,则下列说法中正确的是

(

)A.N点的坐标为

B.OM=cos

C.

(cosα+cosβ)=cos

cos

D.若α+β的终边与单位圆交于点C,分别过A,B,C作x轴的垂线,垂足为R,S,T,则CT<AR+BSBCD解析

连接ON,由N为

的中点,得∠AON=∠BON=

∠AOB=

,可得∠xON=

+α=

,由三角函数的定义可得N点的坐标为

,故A错误;由OA=OB,M为AB的中点得OM⊥AB,可得OM=OA·cos

=cos

,故B正确;易知xM=OMcos∠xOM=cos

cos

,又因为A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),M为线段AB的中点,则M

,所以

(cosα+cosβ)=cos

·cos

=cos

cos

,故C正确;易知AR=sinα,BS=sinβ,CT=|sin(α+β)|=|sinαcosβ+cosαsinβ|<|1×sinα+1×sinβ|=|sinα+sinβ|,所以CT<AR+BS,故

D正确.故选BCD.1.(概念深度理解)(多选)(2024河北秦皇岛部分示范高中三模,9)美国数学史家、穆伦堡

学院名誉数学教授威廉·邓纳姆在1994年出版的TheMathematicalUniverse一书中写道:

“相比之下,数学家达到的终极优雅是所谓的‘无言的证明’,在这样的证明中一个极

好的、令人信服