2026届高考数学总复习精练册课件：6 1　数列的概念及表示

6.1数列的概念及表示五年高考考点数列的概念及表示目录三年模拟基础强化练能力拔高练五年高考考点数列的概念及表示1.(2022全国乙理,4,5分,中)嫦娥二号卫星在完成探月任务后,继续进行深空探测,成为我

国第一颗环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值,

用到数列{bn}:b1=1+

,b2=1+

,b3=1+

,…,依此类推,其中αk∈N*(k=1,2,…).则

()A.b1<b5

B.b3<b8

C.b6<b2

D.b4<b7D解析

(特殊值法)不妨取αk=1(k=1,2,…),则b1=1+

=2;b2=1+

=1+

=1+

=

;b3=1+

=1+

=

;b4=1+

=1+

=

;b5=1+

=1+

=

;b6=1+

=1+

=

;b7=1+

=1+

=

;b8=1+

=1+

=

.对比选项,知选D.2.(2021浙江,10,5分,难)已知数列{an}满足a1=1,an+1=

(n∈N*).记数列{an}的前n项和为Sn,则

()A.

<S100<3

B.3<S100<4C.4<S100<

D.

<S100<5A解析

易知an>0,an+1-an=-

<0,∴an+1<an,∴{an}递减,故an≤1.一方面,an+1=

≥

an,∴an≥

an-1≥

an-2≥…≥

a1=

,∴S100≥1+

+

+…+

=

=2-

>2-

=

.另一方面,an+1=

⇒an+1+an+1

=an,∴an+1=

,∵

>

(

+

),∴an+1<

=2(

-

),∴S100<1+2(

-

+

-

+…+

-

)=1+2(1-

)<3,∴S100∈

.故选A.3.(2019上海,8,5分,易)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn+an=2,则S5=

.解析

n=1时,S1+a1=2,∴a1=1.n≥2时,由Sn+an=2得Sn-1+an-1=2,两式相减得an=

an-1(n≥2),∴{an}是以1为首项,

为公比的等比数列,∴S5=

=

.4.(2014课标Ⅱ,16,5分,易)数列{an}满足an+1=

,a8=2,则a1=

.解析

由an+1=

,得an=1-

,∵a8=2,∴a7=1-

=

,a6=1-

=-1,a5=1-

=2,……,∴{an}是以3为周期的数列,∴a1=a7=

.5.(2015江苏,11,5分,中)设数列{an}满足a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N*),则数列

前10项的和为

.解析

由已知得,a2-a1=1+1,a3-a2=2+1,a4-a3=3+1,……,an-an-1=n-1+1(n≥2),则有an-a1=1+2+3+…+

n-1+(n-1)(n≥2),因为a1=1,所以an=1+2+3+…+n(n≥2),即an=

(n≥2),又当n=1时,a1=1也适合上式,故an=

(n∈N*),所以

=

=2

,从而

+

+

+…+

=2×

+2×

+2×

+…+2×

=2×

=

.6.(2022北京,15,5分,难)已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和Sn满足an·Sn=9(n=1,2,

…).给出下列四个结论:①{an}的第2项小于3;②{an}为等比数列;③{an}为递减数列;④{an}中存在小于

的项.其中所有正确结论的序号是

.①③④解析

对于①,当n=1时,a1·S1=a1·a1=9,又∵{an}的各项均为正数,∴a1=3.当n=2时,a2(3+a2)=9,又∵{an}的各项均为正数,∴a2=

<3,故①正确.对于②,当n≥2时,由Sn=

可得Sn-1=

,∴an=Sn-Sn-1=

-

(n≥2),∴

=9-

(n≥2),∴

=

(n≥2),若{an}为等比数列,则

(n≥2)为非零常数,则

(n≥2)为非零常数,则

(n≥2)为常数,且

≠9(n≥2).又∵{an}的各项均为正数,∴an为常数,且an≠3,但a1=3,∴{an}不是等比数列,故②不正确.对于③,由an·Sn=9(n=1,2,…),可得an·Sn=an+1·Sn+1,又∵{an}的各项均为正数,∴

=

>1,因此an>an+1,故{an}为递减数列,故③正确.对于④,假设{an}中每一项均大于或等于

,当n取值变大时,Sn也逐渐增大,当n>90000时,Sn>900,又an≥

,∴an·Sn>

×900=9,与an·Sn=9矛盾,故④正确.7.(2016课标Ⅲ,17,12分,中)已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,

-(2an+1-1)an-2an+1=0.(1)求a2,a3;(2)求{an}的通项公式.解析

(1)令n=1,则由题可得

-(2a2-1)a1-2a2=0,把a1=1代入,得1-(2a2-1)-2a2=0,解得a2=

,令n=2,则

-(2a3-1)a2-2a3=0,即

-

(2a3-1)-2a3=0,解得a3=

.(2)将

-(2an+1-1)an-2an+1=0因式分解可得(an+1)·(an-2an+1)=0,则an=-1(舍)或an-2an+1=0,即

=

,即{an}是以1为首项,

为公比的等比数列,所以an=1×

=

.三年模拟1.(2025届安徽合肥一六八中学月考,3)已知数列{an}满足an+1(1-an)=1,若a1=-1,则a10=

()A.2

B.-2

C.-1

D.

C解析

因为an+1=

,a1=-1,所以a2=

,a3=2,a4=-1,所以数列{an}的周期为3,所以a10=-1.故选C.2.(2025届广东汕头摸底考,5)已知数列an=

(n∈N*),则数列{an}的前100项中的最小项和最大项分别是

()A.a1,a100

B.a45,a44

C.a45,a1

D.a44,a100B解析

an=

=

=1+

(n∈N*),因为442<2024<452,所以n≤44时,数列{an}递增,且an>1;n≥45时,数列{an}递增,且an<1.所以数列{an}的前100项中最小项和最大项分别是a45,a44.故选B.3.(2025届辽宁沈阳联考,6)已知数列{an}的前n项和为Sn.若an+an+1=2n+5,a1=1,则S8=

(

)A.48

B.50

C.52

D.54C解析

∵an+an+1=2n+5,∴an+2+an+3=2(n+2)+5,a1+a2=7,∴数列{a2n-1+a2n}是以7为首项,4为公差的等差数列,∴S8=a1+a2+a3+a4+…+a7+a8=4×7+

×4=52.故选C.4.(2025届重庆西南大学附中阶段性检测,7)已知数列{an}的首项a1=2025,其前n项和Sn

满足Sn=n2an,则a2024=

()A.

B.

C.

D.

C解析

因为Sn=n2an,所以Sn-1=(n-1)2an-1(n≥2),两式相减得an=n2an-(n-1)2an-1,所以

=

(n≥2),所以

·

·…·

·

=

·

·…·

·

=

,所以

=

(n≥2),所以an=

(n≥2),所以a2024=

.故选C.5.(2025届浙江名校联考,6)数列{an}满足an+2=2an+1+3an,则下列a1,a2的值能使数列{an}为

周期数列的是

()A.a1=0,a2=1

B.a1=-1,a2=1C.a1=0,a2=2

D.a1=-2,a2=0B解析

对于A,当n=1时,a3=2a2+3a1=2;当n=2时,a4=2a3+3a2=7;当n=3时,a5=2a4+3a3=20,……无周

期性,故A错误;对于B,当n=1时,a3=2a2+3a1=-1;当n=2时,a4=2a3+3a2=1;当n=3时,a5=2a4+3a3=-1,……所以

数列是以2为周期的周期数列,故B正确;对于C,当n=1时,a3=2a2+3a1=4;当n=2时,a4=2a3+3a2=14;当n=3时,a5=2a4+3a3=40,……无周

期性,故C错误;对于D,当n=1时,a3=2a2+3a1=-6;当n=2时,a4=2a3+3a2=-12;当n=3时,a5=2a4+3a3=-42,……无

周期性,故D错误.故选B.6.(2025届辽宁沈阳东北育才学校开学考,12)若数列{an}满足a1=1,an+1-an=n+1,数列

的前n项和为Sn,则S2024=

.解析

当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+2+3+…+n=

,而a1=1满足上式,因此an=

,n∈N*,

=2

,S2024=2

=

.7.(2025届安徽江淮十校联考,13)记Sn为数列{an}的前n项和.已知

+n=3an+1,a1=

,则数列{an}的通项公式是

.an=

n解析

∵

+n=3an+1,∴3Sn+n2=3nan+n①,当n≥2时,3Sn-1+(n-1)2=3(n-1)an-1+(n-1)②,①-②得,3(Sn-Sn-1)+2n-1=3nan-3(n-1)an-1+1,∴3an+2n-1=3nan-3(n-1)an-1+1,即3(n-1)an-3(n-1)an-1=2(n-1),∴an-an-1=

,n≥2,∴{an}是等差数列,∴an=

n.8.(2024浙江宁波模拟,18)已知数列{an}满足a1=1,且对任意正整数m,n都有am+n=an+am+2mn.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{(-1)nan}的前n项和Sn.解析

(1)由对任意正整数m,n均有am+n=an+am+2mn,取m=1,得an+1=an+1+2n,当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+3+5+…+2n-1=

=n2,当n=1时,a1=1,符合上式,所以an=n2,n∈N*.(2)当n为偶数时,Sn=(-12+22)+(-32+42)+…+[-(n-1)2+n2]=3+7+11+…+(2n-1)=

=

;当n为奇数时,Sn=Sn-1+(-1)nan=Sn-1-an=

-n2=

.综上所述:Sn=

1.(2025届福建宁德福鼎一中月考,8)已知正项数列{bn}满足b1=1,bn=

,则下列错误的是()A.b2=

B.{bn}是递增数列C.bn+1-bn<

D.bn+1>

C解析

对于A,∵b1=1,bn=

,∴b1=

,即

-b2-1=0,∵b2>0,∴b2=

,故A正确;对于B,bn+1-bn=bn+1-

=

-

=

>0,即bn+1>bn,∴{bn}是递增数列,故B正确;对于C,bn+1-bn=bn+1-

=

-

=

,∵bn+1>1,0<

<1,n<n+

<n+1,∴

=

>

,故C不正确;对于D,∵bn+1-bn>

,bn-bn-1>

,……,b2-b1>

,∴bn+1=(bn+1-bn)+(bn-bn-1)+…+(b2-b1)+b1>

+

+…+

+1=

.故D正确.故选C.2.(2024辽宁大连期末,8)已知函数f(x),若数列an=f(n),n∈N*为递增数列,则称函数f(x)为

“数列保增函数”,已知函数f(x)=-ln(2x)+λx为“数列保增函数”,则λ的取值范围是

()A.

B.(ln2,+∞)C.[1,+∞)

D.

B解析

依题意得f(n+1)>f(n),n∈N*恒成立,即-ln[2(n+1)]+λ(n+1)>-ln(2n)+λn,n∈N*恒成立,所以λ>ln[2(n+1)]-ln(2n)=ln

,n∈N*恒成立,易知y=ln

在(1,+∞)上单调递减,所以当n=1时,

=ln2,所以λ>ln2,即λ的取值范围是(ln2,+∞).故选B.3.(2025届广东一调,7)斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入,又称

“兔子数列”.这一数列如下定义:设{an}为斐波那契数列,a1=1,a2=1,an=an-1+an-2(n≥3,n

∈N*),其通项公式为an=

,设n是log2[(1+

)x-(1-

)x]<x+4的正整数解,则n的最大值为

()A.5

B.6

C.7

D.8A解析

由n是log2[(1+

)x-(1-

)x]<x+4的正整数解,得log2[(1+

)n-(1-

)n]<n+4,取指数得(1+

)n-(1-

)n<2n+4,同除以2n得,

-

<24,故

<

×24,即an<

×24,根据{an}(n≥2)是递增数列可以得到{

}(n≥2)也是递增数列,于是原不等式转化为

<

×28<51.2.由a5=5,a6=8可以得到满足要求的n的最大值为5,故A正确.故选A.4.(2025届广东深圳开学考,8)数列{an}中,a1=2,an+1=

-an+1,记An=

+

+…+

,Bn=

·

·…·

,则

()A.A2024+B2024>1

B.A2024+B2024<1C.A2024-B2024>

D.A2024-B2024<

C解析

由an+1=

-an+1可得an+1-1=an(an-1),因为a1=2,所以an-1≠0,故

=

=

-

⇒

=

-

,故A2024=

+

+…+

=

+

+…+

=

-

=1-

,由an+1-1=an(an-1)可得

=

,因此B2024=

·

·…·

=

×

×…×

=

=

,故A2024+B2024=1,故A、B错误,an+1-an=

-2an+1=(an-1)2≥0,因为a1=2,所以等号无法取到,故a2025>a2024>a2023>…>a2>a1,因为a2=3,a3=7,故a2025>7,所以

<

,A2024-B2024=1-

>

>

,故C正确,D错误.故选C.5.(多选)(2025届山东青岛五十八中期中,10)若数列{an}满足a1=1,a2=1,an=an-1+an-2(n≥3,n

∈N*),则称数列{an}为斐波那契数列,又称黄金分割数列,则下列结论成立的是

()A.a7=13B.2an=an-2+an+2(n≥3,n∈N*)C.a1+a3+a5+…+a2023=a2024D.a2+a4+a6+…+a2024=a2025AC解析

对于A,由题可得a3=2,a4=3,a5=5,a6=8,a7=13,故A正确;对于B,因为an+2=an+1+an=an+an-1+an=2an+an-1,又an=an-1+an-2,所以an+2+an-1+an-2=3an+an-1,即3an=

an+2+an-2,故B错误;对于C,a2024=a2023+a2022=a2023+a2021+a2020=…=a2023+a2021+…+a3+a2=a2023+a2021+…+a3+a1,故C

正确;对于D,a2025=a2024+a2023=a2024+a2022+a2021=a2024+a2022+…+a4+a3=a2024+a2022+…+a4+a2+a1,故D

错误.故选AC.6.(2025届云南名校联考,13)自然常数e是自然对数的底数,大约等于2.71828.某人用

“调日法”找逼近e的分数,称小于2.718281的值为弱值,大于2.718282的值为强值.由

<e<

,取2为弱值,3为强值,得a1=

=

,故a1为弱值,与上一次的强值3计算得a2=

=

,故a2为弱值,继续计算,……,若某次得到的近似值为弱值,与上一次的强值继续计算得到新的近似值;若某次得到的近似值为强值,与上一次的弱值继续计算得到新的近似值,

依此类推,若an=

,则n=

.6解析

因为a2=

为弱值,则与上一次的强值3计算得a3=

为强值,与上一次的弱值

计算得a4=

为弱值,与上一次的强值

计算得a5=

为强值,与上一次的弱值

计算得a6=

,故n=6.7.(2025届河北邯郸第一次调研,14)已知有穷递增数列{an}的各项均为正整数(n≥3),所

有项的和为S,所有项的积为T,若T=4S,则该数列可能为

.(填写一个数列即可)1,5,24(答案不唯一)解析

由题意得当n=3时,a1<a2<a3且a1,a2,a3是正整数.T=a1a2a3,S=a1+a2+a3,T=4S,即a1a2a3=4(a1+a2+a3).当a1=1,a2=2时,1×2a3=4(1+2+a3),无正整数解;当a1=1,a2=3时,1×3a3=4(