2026届高考数学总复习精练册课件：8 3　双曲线

8.3双曲线五年高考考点1双曲线的定义和标准方程考点2双曲线的几何性质目录三年模拟基础强化练能力拔高练创新风向练高考新风向·创新考法

思维引导回归本质(2024新课标Ⅱ,19,17分,难)知双曲线C:x2-y2=m(m>0),点P1(5,4)在C上,k为常数,0<k<1.按

照如下方式依次构造点Pn(n=2,3,…):过Pn-1作斜率为k的直线与C的左支交于点Qn-1,令Pn

为Qn-1关于y轴的对称点.记Pn的坐标为(xn,yn).(1)若k=

,求x2,y2;(2)证明:数列{xn-yn}是公比为

的等比数列;(3)设Sn为△PnPn+1Pn+2的面积.证明:对任意正整数n,Sn=Sn+1.创新考法

本题融合了直线、双曲线和数列知识,试题突出创新导向,设计全新的试题情境、呈现方式和设问方式,提升了压轴题的思维量,突出理性思维和数学探究,考查学

生运用数学思维和数学方法发现问题、分析问题和解决问题的能力.本题创新性强,在

具体内容和难度设计上环环相扣,设计布局科学合理,对今后的数学教学具有很好的导

向作用.

解析

(1)如图1所示,由已知直线P1Q1的方程为y-4=

(x-5),即y=

x+

,又点P1(5,4)在双曲线x2-y2=m上,∴m=52-42=9,联立

消去y得x2-2x-15=0,解得x=5或x=-3,由P1(5,4),知Q1(-3,0),由已知Q1关于y轴的对称点为P2,则P2(3,0),故x2=3,y2=0.(2)证法一:由已知Pn(xn,yn)在双曲线上,如图2所示,设Pn-1(xn-1,yn-1)(n=2,3,…),则

-

=9,由已知得直线Pn-1Qn-1的方程为y-yn-1=k(x-xn-1),联立

消去y得(1-k2)x2-2k(yn-1-kxn-1)x-(yn-1-kxn-1)2-9=0,(※)设Qn-1(x0,y0),∵xn-1是方程(※)的一个根,∴由根与系数的关系得x0+xn-1=

,∴x0=

,∴y0=k(x0-xn-1)+yn-1=

,即Qn-1

,则Pn

,∴xn-yn=

-

=

=

,∴

=

=

(n=2,3,…)(0<k<1),∴数列{xn-yn}是公比为

的等比数列.证法二:由已知Pn(xn,yn),则Pn关于y轴的对称点是Qn-1(-xn,yn),又Pn-1(xn-1,yn-1)且Pn-1Qn-1是斜率为k的直线,∴

=k,又Pn-1,Qn-1两点都在双曲线上,∴

①-②可得(xn-xn-1)(xn+xn-1)=(yn-yn-1)(yn+yn-1),∴

=

=-k,即

④-③得(xn-yn)-(xn-1-yn-1)=k[(xn-yn)+(xn-1-yn-1)],∴(1-k)(xn-yn)=(1+k)(xn-1-yn-1),∴

=

,∴数列{xn-yn}是公比为

的等比数列.(3)证法一:如图3,设Pn(xn,yn),Pn+1(xn+1,yn+1),Pn+2(xn+2,yn+2),∴

=(xn-xn+1,yn-yn+1),

=(xn+2-xn+1,yn+2-yn+1).∴

=

|

|·|

|·sin∠PnPn+1Pn+2=

|

||

|·

=

=

|(xn-xn+1)(yn+2-yn+1)-(xn+2-xn+1)(yn-yn+1)|,又∵xn-yn=(x1-y1)

=

(n=1,2,3,…),且(xn,yn)在双曲线x2-y2=9上,∴

-

=9.∴xn+yn=

=9·

,令

=p,由0<k<1,得p>1,且

∴xn=

(pn-1+9p1-n),yn=

(9p1-n-pn-1),∴(xn-xn+1)(yn+2-yn+1)=

(pn-1+9p1-n-pn-9p-n)(9p-1-n-pn+1-9p-n+pn)=

[9(1-p)2p-2+(1-p)2p2n-1-81(p-1)2p-2n-1-9(p-1)2]=

(p-1)2(9p-2-9+p2n-1-81p-2n-1),又(xn+2-xn+1)(yn-yn+1)=

(pn+1+9p-n-1-pn-9p-n)(9p1-n-pn-1-9p-n+pn)=

[(p-1)2p2n-1+9(p-1)2-81(1-p)2p-2n-1-9(1-p)2p-2]=

(p-1)2(9-9p-2+p2n-1-81p-2n-1),∴

=

×

|18(p-1)2-18(1-p)2p-2|=

[(p-1)2-(1-p)2·p-2],∴Sn=

[(p-1)2-(1-p)2·p-2]=

(p-1)2

=

=

·

=

(常数),故{Sn}为常数列,从而Sn=Sn+1.证法二:要证Sn+1=Sn,即证

=

,即证PnPn+3∥Pn+1Pn+2,(三角形同底等高模型)设

=p,同证法一得xn-yn=pn-1,xn=

(pn-1+9p1-n),yn=

(9p1-n-pn-1),则

=

=

=1-

=1-

.

=

=

=1-

=1-

.故

=

,即PnPn+3∥Pn+1Pn+2,原式得证.五年高考考点1双曲线的定义和标准方程1.(2021北京,5,4分,易)若双曲线

-

=1的离心率为2,且过点(

,

),则双曲线的方程为()A.2x2-y2=1

B.x2-

=1C.5x2-3y2=1

D.

-

=1B解析

设双曲线的半焦距为c,由题意可知

解得

则双曲线的方程为x2-

=1.小题巧解已知双曲线过点(

,

),经检验可知,只有双曲线x2-

=1符合此条件,故选B.2.(2020浙江,8,4分,易)已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足|PA|-|PB|=2,且P为函数y=

3

图象上的点,则|OP|=

()A.

B.

C.

D.

D解析

由双曲线定义可知,点P在以A,B为焦点,实轴长为2的双曲线的右支上,设P(x,y),则x2-

=1(x≥1),将y=3

代入可得x2=

,∴y2=3(x2-1)=

,∴|OP|=

=

,故选D.3.(2022天津,7,5分,中)已知双曲线

-

=1(a>0,b>1)的左、右焦点分别为F1,F2,抛物线y2=4

x的准线l经过F1,且l与双曲线的一条渐近线交于点A.若∠F1F2A=

,则双曲线的方程为

()A.

-

=1

B.

-

=1C.

-y2=1

D.x2-

=1D解析

由y2=4

x知,准线方程为x=-

,故c=

.由

-

=1(a>0,b>1)知,双曲线的渐近线方程为y=±

x,由双曲线的对称性不妨设点A在x轴上方,则A

,在Rt△F2F1A中,由∠F1F2A=

,得

=2c,结合a2+b2=c2=5,得a=1,b=2,故双曲线的方程为x2-

=1.选D.4.(2020课标Ⅰ文,11,5分,中)设F1,F2是双曲线C:x2-

=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为()A.

B.3

C.

D.2B解析

由题易知a=1,b=

,∴c=2,又∵|OP|=2,∴△PF1F2为直角三角形,易知||PF1|-|PF2||=2,∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4,又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=16,∴|PF1|·|PF2|=

=6,∴

=

|PF1|·|PF2|=3,故选B.5.(2024天津,8,5分,中)双曲线

-

=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2.点P在双曲线右支上,直线PF2的斜率为2.若△PF1F2是直角三角形,且面积为8,则双曲线的方程为

()A.

-

=1

B.

-

=1C.

-

=1

D.

-

=1A解析

由已知,得∠F1PF2=90°.由直线PF2的斜率为2,得|PF1|=2|PF2|,又由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a,从而|PF1|=4a,|PF2|=2a,故△PF1F2的面积为

|PF1|·|PF2|=

×4a×2a=4a2,则有4a2=8,a2=2,在Rt△F1PF2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=20a2,则4c2=20a2,即c2=5a2,则b2=c2-a2=4a2=8,故

双曲线的方程为

-

=1.考点2双曲线的几何性质1.(2024全国甲理,5,5分,易)已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,-4),点(-6,4)在该双曲

线上,则该双曲线的离心率为

()A.4

B.3

C.2

D.

C解析

由已知得c=4,2a=|

-

|=4.∴a=2,∴离心率e=

=

=2.2.(2023全国甲理,8,5分,中)已知双曲线C:

-

=1(a>0,b>0)的离心率为

,C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,则|AB|=

()A.

B.

C.

D.

D解析

由双曲线方程可知e=

=

,∴

=2,由图形知与圆相交的渐近线方程为y=2x,即2x-y=0,又圆(x-2)2+(y-3)2=1的圆心为(2,3),半径r=1,∴圆心到直线2x-y=0的距离d=

=

,∴|AB|=2

=

,故选D.3.(2020课标Ⅲ理,11,5分,中)设双曲线C:

-

=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为

.P是C上一点,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4,则a=

()A.1

B.2

C.4

D.8A解析

设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则|r1-r2|=2a,∴

+

-2r1r2=4a2.由F1P⊥F2P,得

+

=4c2,∴4c2-2r1r2=4a2,∴r1r2=2b2.∵

=

r1r2=

×2b2=b2=4,∴e=

=

=

,解得a2=1,即a=1.故选A.4.(2020课标Ⅱ,文9,理8,5分,中)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:

-

=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为

()A.4

B.8

C.16

D.32B解析

直线x=a与双曲线C的两条渐近线y=±

x分别交于D、E两点,则|DE|=|yD-yE|=2b,所以S△ODE=

·a·2b=ab,即ab=8.所以c2=a2+b2≥2ab=16(当且仅当a=b时取等号),即cmin=4,所以双曲线的焦距2c的最小值为8,故选B.5.(2023全国乙理,11,5分,中)设A,B为双曲线x2-

=1上两点,下列四个点中,可以为线段AB中点的是

()A.(1,1)

B.(-1,2)C.(1,3)

D.(-1,-4)D解析

由双曲线方程x2-

=1知a=1,b=3,则其渐近线方程为y=±3x.观察选项知,四个点均在双曲线外,∴点A,B分别在双曲线的两支上,∴-3<kAB<3.设A(x1,y1),B(x2,y2),则

作差得(

-

)-

=0,则kAB=

=

.对于A,

则kAB=9,∵kAB=9>3,∴A不满足题意.对于B,

则kAB=-

,∵kAB=-

<-3,∴B不满足题意.对于C,

则kAB=3,∴C不满足题意.对于D,

则kAB=

,则直线AB的方程为y+4=

(x+1),即y=

x-

.由

消去y,得63x2+126x-193=0,∵Δ=1262-4×63×(-193)>0,且x1x2<0,∴直线AB与双曲线的两支分别相交,∴D满足题意.故选D.6.(2024新课标Ⅰ,12,5分,易)设双曲线C:

-

=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则C的离心率为

.解析

如图所示,在△AF1F2中,|F1A|=13,|AF2|=

|AB|=5,∠AF2F1=90°,

∴|F1F2|=

=12,设双曲线的焦距为2c,则2c=12,c=6.又2a=|F1A|-|F2A|=13-5=8,∴a=4,因此C的离心率e=

=

.7.(2022北京,12,5分,易)已知双曲线y2+

=1的渐近线方程为y=±

x,则m=

.-3解析

由题意知双曲线的焦点在y轴上,且m<0,所以渐近线方程为y=±

x,所以-

=

,所以m=-3.8.(2023北京,12,5分,易)已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0),离心率为

,则C的方程为

.-

=1解析

由题意设双曲线C的标准方程为

-

=1(a>0,b>0),由题知c=2,

=

,则a=

,又c2=a2+b2,∴b2=2,则C的方程为

-

=1.9.(2021全国乙文,14,5分,易)双曲线

-

=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为

.解析

由

-

=1得右焦点的坐标为(3,0),则由点到直线的距离公式得所求距离d=

=

.10.(2021新高考Ⅱ,13,5分,易)已知双曲线C:

-

=1(a>0,b>0),离心率e=2,则双曲线C的渐近线方程为

,

.

y=

xy=-

x解析

因为双曲线

-

=1(a>0,b>0)的离心率为2,所以e=

=

=2,所以

=3,所以该双曲线的渐近线方程为y=±

x=±

x.11.(2021全国乙理,13,5分,易)已知双曲线C:

-y2=1(m>0)的一条渐近线为

x+my=0,则C的焦距为

.4解析

由双曲线C:

-y2=1(m>0),得渐近线方程为y=±

x,结合题设得-

=-

,∴m=3,∴双曲线C的方程为

-y2=1,∴C的焦距为2

=4.12.(2022全国甲文,15,5分,中)记双曲线C:

-

=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值:

.2(答案不唯一,在(1,

]范围内取值均可)解析

欲使直线y=2x与双曲线C无公共点,则0<

≤2,所以e=

=

=

∈(1,

].所以当e∈(1,

]时,直线y=2x与双曲线C无公共点.答案不唯一,可取e=2.13.(2023新课标Ⅰ,16,5分,中)已知双曲线C:

-

=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A在C上,点B在y轴上,

⊥

,

=-

,则C的离心率为

.解析

由题可知|F1B|=|F2B|.设|F1B|=|F2B|=m(m>0),∵

=-

,∴A,F2,B三点共线,|F2A|=

,∴|AB|=|F2A|+|F2B|=

,∴|F1A|=

=

=

,又2a=|F1A|-|F2A|=

,∴m=3a.∴|F1A|=4a,|F2A|=2a,|AB|=5a,又|F1F2|=2c,cos∠F1AB=

=

,∴

=

=

,整理得

-

=

,即e2=

.∵e>1,∴e=

.三年模拟1.(2024山东聊城一模,5)设F1,F2是双曲线C:

-

=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是C上的一点,若C的一条渐近线的倾斜角为60°,且|PF1|-|PF2|=2,则C的焦距等于

()A.1

B.

C.2

D.4D解析

由一条渐近线的倾斜角为60°,可得

=tan60°=

,由|PF1|-|PF2|=2,可得2a=2,故a=1,b=

,则c=

=2,故2c=4.故选D.2.(2025届重庆乌江新高考协作体联考,5)已知双曲线C:

-

=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1且与渐近线垂直的直线与双曲线C左、右两支分别交于A,B两点,若

tan∠F1BF2=

,则双曲线的离心率为

()A.

B.

C.

D.

A解析

由题意知,取焦点F1(-c,0),渐近线y=-

x,则F1到y=-

x的距离为d=

=

=b,所以cos∠BF1F2=

,sin∠BF1F2=

,

因为tan∠F1BF2=

>0,∠F1BF2∈(0,π),所以∠F1BF2∈

,sin∠F1BF2=

cos∠F1BF2,因为sin2∠F1BF2+cos2∠F1BF2=1,所以

cos2∠F1BF2+cos2∠F1BF2=1,得cos∠F1BF2=

,则sin∠F1BF2=

,在△BF1F2中,由正弦定理得

=

,即

=

,得|BF2|=

a,由双曲线的定义知|BF1|-|BF2|=2a,所以|BF1|=

a,在△BF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2-2|BF1|·|BF2|cos∠F1BF2,即4c2=

+

-2×

a×

a×

,整理得c2=

a2,即25c2=61a2,所以离心率为e=

=

.故选A.3.(2025届湖北武汉江汉开学考,7)已知双曲线C:

-

=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,过F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点,若△ABF1的周长为10a,则双曲线离心

率的取值范围为

()A.

B.

C.

D.

D解析

根据双曲线定义知△AF1B的周长为4a+2|AB|,而|AB|≥

,(AB⊥x轴时最短)所以4a+2|AB|≥4a+

,而△AF1B的周长为10a,所以4a+

≤10a,即2b2≤3a2,所以2(c2-a2)≤3a2,解得e≤

,又e>1,所以双曲线离心率的取值范围是

.故选D.4.(2024山东泰安二模,8)已知F是双曲线C:x2-

=1的右焦点,P是C左支上一点,A(0,6

),当△APF的周长最小时,该三角形的面积为()A.36

B.24

C.18

D.12

D解析

设双曲线的左焦点为F1,连接PF1,由双曲线定义知|PF|=2a+|PF1|,∴△APF的周长为|PA|+

|PF|+|AF|=|PA|+2a+|PF1|+|AF|=|PA|+|PF1|+|AF|+2a,∵2a+|AF|是定值,∴要使△APF的周长最小,则|PA|+|PF1|最小,即A、P、F1共线且点P在

线段AF1上,∵A(0,6

),F1(-3,0),∴直线AF1的方程为

+

=1,即x=

-3,代入x2-

=1整理得y2+6

y-96=0,解得y=2

或y=-8

(舍),所以P点的纵坐标为2

,∴S△APF=

-

=

×6×6

-

×6×2

=12

.故选D.5.(多选)(2025届湖南郴州一模,10)已知曲线C:x2cosθ+y2sinθ=1,θ∈(0,π),则下列说法正

确的是

()A.若cosθ=0,则曲线C表示两条直线B.若cosθ>0,则曲线C是椭圆C.若cosθ<0,则曲线C是双曲线D.若cosθ=-sinθ,则曲线C的离心率为

ACD解析

若cosθ=0,则sinθ=1,此时曲线C:y=±1表示两条直线,故A正确;因为θ∈(0,π),所以sinθ>0,若cosθ>0,则曲线C:x2cosθ+y2sinθ=1可化为

+

=1,当cosθ=sinθ时,曲线C表示圆,当cosθ≠sinθ时,曲线C表示椭圆,故B错误;因为θ∈(0,π),所以sinθ>0,若cosθ<0,则曲线C表示双曲线,故C正确;若cosθ=-sinθ,又θ∈(0,π),所以cosθ=-

,sinθ=

,则曲线C为

-

=1,故曲线C为等轴双曲线,离心率为

,故D正确.故选ACD.6.(2025届北京中关村中学月考,14)已知双曲线x2-

=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一动点,则双曲线的渐近线为

,

·

的最小值为

.

y=±

x-2解析

根据x2-

=1得双曲线的渐近线方程为y=±

x.易得A1(-1,0),F2(2,0),设P(x,y)(x≥1),所以

·

=(-1-x,-y)·(2-x,-y)=x2-x+y2-2=4x2-x-5,结合二次函数的性质可得当x=1时,

·

取得最小值,为-2.7.(2025届江苏南通名校联盟联考,12)已知F1,F2是双曲线E:

-

=1的两个焦点,点M在E上,如果

⊥

,则△MF1F2的面积为

.16解析

由题意得a=3,b=4,所以c=

=5,不妨设|MF1|>|MF2|,根据双曲线定义可得|MF1|-|MF2|=2a=6①,又

⊥

,所以

+

=

=4c2=100②,联立①②解得|MF1|·|MF2|=32,所以△MF1F2的面积为S=

|MF1|·|MF2|=16.8.(2025届湖南长沙六校联考,13)已知双曲线E:

-

=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为2,过点F1的直线l交E的左支于A,B两点.|OB|=|OF1|(O为坐标原点),记点O到

直线l的距离为d,则

=

.解析

由离心率为2,得

=2,即c=2a,取F1B的中点D,连接OD,由|OB|=|OF1|,得OD⊥F1B,则|OD|=d,

连接F2B,由O为F1F2的中点,得BF2∥OD,|BF2|=2d,BF2⊥BF1,|F1B|=2d-2a,由|BF2|2+|BF1|2=|F1F2|2,得(2d)2+(2d-2a)2=(4a)2,整理得

-

-

=0,又

>0,所以

=

.1.(2025届浙江省名校协作体开学考,7)已知A,B是椭圆

+

=1与双曲线

-

=1的公共顶点,M是双曲线上一点,直线MA,MB分别交椭圆于C,D两点,若直线CD过椭圆的焦点

F,则线段CD的长度为

()A.

B.3

C.2

D.

B解析

不妨令A,B分别为左、右顶点,F为椭圆右焦点,则A(-2,0),B(2,0),F(1,0),设M(x0,y0),则kMA=

,kMB=

,因为

-

=1,所以kMA·kMB=

·

=

,设C(x1,y1),则kCA=

,kCB=

,又因为

+

=1,所以kCA·kCB=

·

=-

,因为kMA=kCA,所以kMB=kBD=-kCB,所以直线CB,DB关于x轴对称,所以直线CD⊥x轴,又因为直线CD过椭圆右焦点F,所以C(1,y1),代入椭圆方程得y1=±

,所以|CD|=3.故选B.2.(2024浙江杭州二中模拟,7)已知双曲线

-

=1(a,b>0)的左焦点为F,过坐标原点O作直线与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点,且|

|=4|

|,∠AFB=

,则双曲线的渐近线方程为

()A.y=±

x

B.y=±

xC.y=±

x

D.y=±

xC解析

由对称性不妨令kAB>0.设右焦点为F',连接AF',BF',由A,B,且F,F'关于原点对称,可知四边

形FAF'B是平行四边形,则|FA|=|F'B|,∠FBF'=

,由|

|=4|

|得|

|=4|

|,由双曲线的定义得|

|-|

|=2a,解得|

|=

,|

|=

,在△FBF'中,由余弦定理得|FF'|2=|FB|2+|F'B|2-2|FB|·|F'B|cos∠FBF',4c2=

a2+

a2-2×

a·

a·cos

=

a2,即e=

,则

=

=

=

=

,故渐近线方程为y=±

x,故选C.

3.(2024浙江杭州二中、绍兴一中、温州中学、金华一中三模,8)已知双曲线

-

=1(a,b>0)上存在关于原点中心对称的两点A,B,以及双曲线上的另一点C,使得△ABC为正

三角形,则该双曲线离心率的取值范围是

()A.(

,+∞)

B.(

,+∞)C.(2,+∞)

D.

A解析

由题意可知:双曲线的渐近线方程为y=±

x,令A在第一象限,C在第三象限,设点A(x,y),C(x0,y0),由CO⊥AB,且|CO|=

|AO|,得

·

=-1①,

=

②,联立①②解得C(-

y,

x),因为A,C在双曲线上,

则

整理得

=

<

,解得b2>a2,即c2-a2>a2,可得

>2,则e=

=

>

,所以该双曲线离心率的取值范围是(

,+∞).故选A.4.(多选)(2025届浙江新阵地联盟联考,10)已知F1、F2分别是双曲线C:x2-y2=2的左、右焦

点,点Q是圆A:(x-2)2+(y-3)2=

上的动点,下列说法正确的是

()A.三角形AF1F2的周长是12B.若双曲线E与双曲线C有相同的渐近线,且双曲线E的焦距为8,则双曲线E的方程为x2-

y2=8C.若|QF1|+|QF2|=8,则Q的位置不唯一D.若P是双曲线左支上一动点,则|PF2|+|PQ|的最小值是5+

ACD解析

由题意得双曲线C:

-

=1,则a=

,b=

,c=2,F1(-2,0),F2(2,0),由圆A的方程可得圆心坐标为A(2,3),半径r=

.对于A,|F1F2|=2c=4,|AF1|=

=5,|AF2|=

=3,所以△AF1F2的周长是12,故A正确;对于B,由题意可设双曲线E的方程为

-

=λ或

-

=λ,λ≠0,λ≠1,(分焦点在x轴或y轴上两种情况讨论)即

-

=1或

-

=1,λ≠0,λ≠1,又双曲线E的焦距为8,所以2λ+2λ=42⇒λ=4,所以双曲线E的方程为x2-y2=8或y2-x2=8,故B错误;对于C,|QF1|+|QF2|=8,所以Q点的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,且2a1=8⇒a1=4,又c1=2,所

以

=12,

所以Q点的轨迹方程为

+

=1,易知圆心A(2,3)在椭圆

+

=1上,画出图形如图,由图可知圆A与椭圆

+

=1有两个交点,所以Q的位置不唯一,故C正确;对于D,由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=2a=2

,所以|PF2|=|PF1|+2

,所以|PF2|+|PQ|=|PF1|+|PQ|+2

,因为|PF1|+|PQ|≥|QF1|,所以当P,Q,F1三点共线时,|PF1|+|PQ|取得最小值|QF1|,又因为|QF1|的最小值为|AF1|-r=5-

,所以|PF2|+|PQ|的最小值是5-

+2

=5+

,故D正确.故选ACD.5.(多选)(2024重庆一中模拟,10)已知中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的两个焦点分

别为F1,F2,过F2作斜率为

的直线,与双曲线相交于点P,若|PF1|=

|F1F2|,则双曲线的离心率可能是

()A.

B.

+1

C.

+1

D.

+2AD解析

设F1,F2分别为左、右焦点.由题意得|F1F2|=2c,因为|PF1|=

|F1F2|,则|PF1|=2

c,设|PF2|=x,①若双曲线的渐近线的斜率

<

,则e=

<2,如图(1),因为过F2作斜率为

的直线,所以∠PF2F1=

,由余弦定理得12c2=4c2+x2-2×2c·x·cos

,整理得x2+2cx-8c2=0,解得x=2c或x=-4c(舍去),所以2a=|PF1|-|PF2|=2(

-1)c,可得a=(

-1)c,所以离心率为e=

=

=

<2,满足题意,所以A正确;②若双曲线的渐近线的斜率

>

,则e=

>2,如图(2),因为过F2作斜率为

的直线,所以∠PF2F1=

,由余弦定理得12c2=4c2+x2-2×2c·x·cos

,整理得x2-2cx-8c2=0,解得x=4c或x=-2c(舍去),所以2a=|PF1|-|PF2|=(4-2

)c,可得a=(2-

)c,所以离心率为e=

=

=2+

>2,满足题意,所以D正确,故选AD.6.(多选)(2025届湖南长沙雅礼中学月考,11)直线y=kx与双曲线

-

=1交于P,Q两点,点P位于第一象限,过点P作x轴的垂线,垂足为N,点F为双曲线的左焦点,则

()A.若|PQ|=2

,则PF⊥QFB.若PF⊥QF,则△PQF的面积为4C.

>2D.|PF|-|PN|的最小值为4AD解析

设双曲线右焦点为F1,连接PF1,QF1,由题意可知,四