2026届高考数学总复习精练册课件：9 1　计数原理 排列与组合

9.1计数原理、排列与组合五年高考考点1两个计数原理考点2排列与组合目录三年模拟基础强化练能力拔高练创新风向练高考新风向·创新考法

思维引导回归本质(2024新课标Ⅱ,14,5分,难)在下图的4×4的方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有

一个方格被选中,则共有

种选法.在所有符合上述要求的选法中,选中方格中的

4个数之和的最大值是

.

11224创新点

本题以4×4方格为背景进行命制,考查科学分步的逻辑思维能力,以及对实际问题进行表征分析和提炼数量关系的数学建模素养,需要用分步乘法计数原理将一个

复杂问题的解决过程分解为若干“步骤”,先分析每个步骤,再组合为一个完整的过程,

常用的排列组合的方法对本题不适用,学习过程中要注意掌握原理的本质.

解析

第一列有4种选择,第二列有3种选择,第3列有2种选择,第4列有1种选择,∴共有4×3×2×1=24种选法.由题图知,每一列中最下面的数最大,现将前三行中每一个数与该列最大数的差的绝对

值算出来,如表.

要想选中的4个数之和最大,差的绝对值就要最小,故选中的4个数从上到下分别为21,3

3,43和15,和为112,故最大值为112.五年高考考点1两个计数原理1.(2023新课标Ⅱ,3,5分,易)某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层

随机抽样方法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部

和高中部分别有400名和200名学生,则不同的抽样结果共有

()A.

·

种

B.

·

种C.

·

种

D.

·

种D解析

根据分层随机抽样方法,易知从初中部和高中部分别抽取40名和20名学生,根据分步乘

法计数原理,得不同的抽样结果共有

·

种.故选D.2.(2023全国乙理,7,5分,中)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选

读的课外读物中恰有1种相同的选法共有()A.30种

B.60种

C.120种

D.240种C解析

甲、乙两位同学选读课外读物可以分为两个步骤:先从6种课外读物中选择一本作为

甲、乙两人共同的选择,再从剩下的5本中选择互不相同的两本,所以符合题意的选法

共有

=120(种).故选C.3.(2023新课标Ⅰ,13,5分,易)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生

需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有

种(用数字作答).64解析

选修2门课,体育类和艺术类各选1门,共有

·

=16种选课方案;选修3门课,分为选2门体育类、1门艺术类和选2门艺术类、1门体育类两种情况,共有

·

+

·

=48种选课方案.因此不同的选课方案共有16+48=64种.考点2排列与组合1.(2022新高考Ⅱ,5,5分,易)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲

不站在两端,丙和丁相邻,则不同的排列方式共有()A.12种

B.24种

C.36种

D.48种B解析

丙和丁相邻共有

·

种站法,甲站在两端且丙和丁相邻共有

·

·

种站法,所以甲不站在两端且丙和丁相邻共有

·

-

·

·

=24种站法,故选B.2.(2020新高考Ⅰ,3,5分,易)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个

场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有

()A.120种

B.90种

C.60种

D.30种C解析

因为每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,所以甲场馆从6人中挑一人有

=6种结果;乙场馆从余下的5人中挑2人有

=10种结果;余下的3人去丙场馆.故共有6×10=60种安排方法.故选C.3.(2023全国甲理,9,5分,中)现有5名志愿者报名参加公益活动,在某一星期的星期六、

星期日两天,每天从这5人中安排2人参加公益活动,则恰有1人在这两天都参加的不同

安排方式共有()A.120种

B.60种

C.30种

D.20种B解析

先从5人中选出1人两天都参加,有

种选择,然后从其余4人中选2人分别安排在周六和周日,有

种方式,所以恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有

=60种,故选B.4.(2021全国乙理,6,5分,中)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球

和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,

则不同的分配方案共有

()A.60种

B.120种

C.240种

D.480种C解析

先将5人分为4组,其中一组有2人,另外三组各1人,共有

=10种分法,然后将4个项目全排列,共有

=24种排法,根据分步乘法计数原理得到不同的分配方案共有

·

=240种,故选C.易错警示本题容易出现将5人分为4组,共有分法

·

·

=60种的错误结果.5.(2020课标Ⅱ理,14,5分,易)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1

个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有

种.36解析

从4名同学中先安排2名同学为一组,有

=6种选法,剩余2名同学各自一组,将3组同学分配到3个小区,有

=6种分法,根据分步乘法计数原理,可得不同的安排方法有6×6=36种.6.(2024上海,10,5分,中)设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数,且元素中任意

两者之积皆为偶数,则集合中元素个数的最大值为

.329解析

由题意知集合中元素至多只有1个奇数,其余均是偶数.先讨论三位数中的偶数个数,①当个位为0时,百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列,则这样的偶数有

=72个;②当个位不为0时,个位有

个数字可选,百位有

个数字可选,十位有

个数字可选,根据分步乘法计数原理知这样的偶数共有

=256个,最后加上单独的1个奇数,所以集合中元素个数的最大值为72+256+1=329.三年模拟1.(2025届江苏南京六校联合调研,3)甲、乙、丙、丁去听同时举行的3个讲座,每人可

自由选择听其中一个讲座,则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为

()A.6

B.12

C.18

D.24A解析

甲、乙两人听同一个讲座,方法数有3种,丙、丁两人听不同的其他讲座,方法数有2种,所以恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为3×2=6.故选A.2.(2025届浙江名校联考,5)将6棵高度不同的景观树种植在道路两侧,要求每一侧种植3

棵,且每一侧中间的景观树都要比两边的高,则不同的种植方法共有

()A.20种

B.40种

C.80种

D.160种C解析

一侧的种植方法有

=20×2=40种,另一侧的种植方法有

=2种,由分步乘法计数原理得不同的种植方法共有40×2=80种,故选C.3.(2025届广东深圳中学调研,2)某高校要求学生除了学习第二语言英语,还要求同时进

修第三语言和第四语言,其中第三语言可从A类语言:日语,韩语,越南语,柬埔寨语中任

选一个,第四语言可从E类语言:法语,德语,俄语,西班牙语,意大利语中任选一个,则学生

可选取的语言组合数为

()A.20

B.25

C.30

D.35A解析

第三语言可从A类语言4个中任选一个,有4种方法,第四语言可从E类语言5个中任选一个,有5种方法,所以学生可选取的语言组合数有4×5=20种.故选A.4.(2025届四川成都名校联考,7)某高中运动会设有8个项目,甲、乙两名学生每人随机

选取3个项目,则至少选中2个相同项目的报名情况有()A.420种

B.840种

C.476种

D.896种D解析

由题意可知,可以分两种情况:第一种情况:所选取3个项目恰有2个相同,第一步,从8个项目中选取2个,共有

=28种,第二步,甲在剩下的6个项目中选取1个,共有

=6种,第三步,乙在剩下5个项目中选取1个,共有

=5种,由分步乘法计算原理可知,共有28×6×5=840种;第二种情况:所选取的3个项目完全相同,则有

=56种,故由分类加法计数原理可知,符合要求的报名情况有840+56=896种.故选D.5.(2025届山西大同调研,5)五一小长假期间,某旅游公司为助力大同旅游事业的发展,计

划将2名金牌导游和5名银牌导游分别派往云冈石窟、古城华严寺、北岳恒山三个景

区承担义务讲解任务,要求每个景区都要有银牌导游前往,则不同的分配方法种数为

()A.360

B.640

C.1350

D.1440C解析

将2名金牌导游分配到3个景区,有3×3=9种分配方法,每个景区都要有银牌导游,则将银牌导游分成三组,各组人数分别为1,1,3或1,2,2.当银牌

导游分成三组的人数为1,1,3时,此时共有

×

×9=540种分配方法;当银牌导游分成三组的人数为1,2,2时,此时共有

×

×9=810种分配方法.所以不同的分配方法有540+810=1350种.故选C.6.(2025届四川眉山仁寿一中月考,5)下列命题不正确的是

()A.正十二边形的对角线的条数是54B.身高各不相同的六位同学,其中三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站,共有120

种站法C.有5个元素的集合的子集共有32个D.6名同学被邀请参加晚会(至少一人参加),其中甲和乙两位同学要么都去,要么都不

去,共有32种情况D解析

对于A,正十二边形的对角线的条数为

-12=66-12=54,故A正确;对于B,身高各不相同的六位同学,其中三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站,共有

=20×6=120种站法,故B正确;对于C,有5个元素的集合的子集共有25=32个,故C正确;对于D,甲、乙共有2种情况,而其余4位同学共有24=16种,故共有2×16-1=31种情况,故D错误.故选D.7.(多选)(2025届广东六校第二次联考,9)现安排甲、乙、丙、丁、戊这5名同学参加志

愿者服务活动,有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排,且每人只安排一个工作,

则下列说法正确的是

()A.不同安排方案的种数为54B.若每项工作至少有1人参加,则不同安排方案的种数为

C.若司机工作不安排,其余三项工作至少有1人参加,则不同安排方案的种数为(

+

)

D.若每项工作至少有1人参加,甲不能从事司机工作,则不同安排方案的种数为

+

BD解析

对于A,若每人都安排一项工作,每人有4种安排方法,则不同安排方案的种数为45,故A错

误;对于B,先将5人分为4组,再将分好的4组全排列,安排4项工作,不同安排方案的种数为

,故B正确;对于C,先将5人分为3组,有

种分组方法,将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作,有

种情况,则不同安排方案的种数是

,故C错误;对于D,第一类,先从乙,丙,丁,戊中选出1人从事司机工作,再将剩下的4人分成三组,安排

翻译、导游、礼仪三项工作,则不同安排方案的种数为

,第二类,先从乙,丙,丁,戊中选出2人从事司机工作,再将剩下的3人安排翻译、导游、礼仪三项工作,则不同安排方案的种数为

.所以不同安排方案的种数是

+

,故D正确.故选BD.8.(2025届江苏无锡玉祁高中月考,14)随着杭州亚运会的举办,吉祥物“琮琮”“莲

莲”“宸宸”火遍全国.现有甲、乙、丙3位运动员要与“琮琮”“莲莲”“宸宸”站

成一排拍照留念,则这3个吉祥物互不相邻的排队方法数为

.(用数字作答)144解析

甲、乙、丙3位运动员站成一排,有

种不同的排法,在3位运动员形成的4个空隙中选3个,插入3个吉祥物,共有

=144种排法.1.(2024安徽池州期中,5)我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾

股定理的示意图如图,现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色,规定每个区域只涂一种

颜色,相邻区域颜色不相同,则不同的涂色方案种数为

()

A.120

B.26

C.340

D.420D解析

如图,设5个区域依次为A、B、C、D、E,

涂满5块区域使用颜色的种数可以是3、4、5.①若用三种颜色,则A,C与B,D均颜色相同,则有

=60种;②若用四种颜色,则A,C与B,D只有一组颜色相同,则有

=240种;③若用五种颜色,则有

=120种,所以不同的涂色方案有60+240+120=420种.故选D.2.(2025届广东深圳中学开学考,5)三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练(不能传给

自己),由丙开始传,经过5次传递后,球又被传回给丙,则不同的传球方式共有

()A.6种

B.10种

C.11种

D.12种B解析

设在第n(n≥2)次传球后有an种情况球在丙手中,即经过n次传球后球又被传回给丙,在前n次传球中,每次传球都有2种可能,故在前n次传球中共有2n种传球方法,故在第n次

传球后,球不在丙手中的情况有(2n-an)种,即球在甲或乙手中,只有在这些情况时,在第(n

+1)次传球后,球才会被传回给丙,即an+1=2n-an,由题意可得a2=2,则a3=22-a2=2,a4=23-a3=6,a5=24-a4=16-6=10,故选B.3.(2025届江西上饶检测,7)将1,2,3,4,5,6,7这七个数随机地排成一个数列,记第i项为ai(i=

1,2,…,7),若a1<a2<a3,a3>a4>a5,a5<a6<a7,则这样的数列共有

()A.70个

B.71个

C.80个

D.81个B解析

若a5=1,则这样的数列有

=45个;若a5=2,则这样的数列有

=20个;若a5=3,则这样的数列有

=6个,所以满足条件的数列共有45+20+6=71个,故选B.4.(2025届河南南阳二中月考,7)用红、黄、蓝等6种颜色给如图所示的五连圆涂色,要

求相邻两个圆所涂颜色不能相同,且红色至少要涂两个圆,则不同的涂色方案种数为

()

A.25

B.630

C.605

D.580B解析

先涂第一个圆,有6种情况,再涂第二个圆有5种情况,涂第三个圆有5种情况,涂第四个圆

有5种情况,涂第五个圆有5种情况,利用分步乘法计数原理可知,一共有6×5×5×5×5=37

50种涂色方案;若没有红色,先涂第一个圆,有5种情况,再涂第二个圆有4种情况,涂第三个圆有4种情况,涂第四个圆

有4种情况,涂第五个圆有4种情况,一共有5×4×4×4×4=1280种;若红色涂一个圆,当第一个圆涂红色时,再涂第二个圆有5种情况,涂第三个圆有4种情况,涂第四个圆有4种情况,涂第五个圆有4种情况,一共有5×4×4×4=320种;当第二个圆涂红色时,再涂第一个圆有5种情况,涂第三个圆有5种情况,涂第四个圆有4

种情况,涂第五个圆有4种情况,一共有5×5×4×4=400种;当第三个圆涂红色时,再涂第二个圆有5种情况,涂第四个圆有5种情况,涂第一个圆有4

种情况,涂第五个圆有4种情况,一共有5×5×4×4=400种;当第四个圆涂红色时,再涂第三个圆有5种情况,涂第五个圆有5种情况,涂第二个圆有4

种情况,涂第一个圆有4种情况,一共有5×5×4×4=400种;当第五个圆涂红色时,再涂第四个圆有5种情况,涂第三个圆有4种情况,涂第二个圆有4

种情况,涂第一个圆有4种情况,一共有5×4×4×4=320种.所以红色至少涂两个圆的方案有3750-1280-320-400-400-400-320=630种.故选B.5.(2025届浙江杭州十四中月考,7)现有三对双胞胎共6人排成一排,则有且只有一对双

胞胎相邻的排法种数是

()A.180

B.240

C.288

D.300C解析

将6人进行编号,分别为A,B,C,D,E,F,其中A,B为一对双胞胎,C,D为一对双胞胎,E,F为一

对双胞胎,从左到右站位,分别为1,2,3,4,5,6,先从三对双胞胎中选择一对令两人相邻,且两人可内部排列,故有

种选择,再依次进行求解,若这对双胞胎分别站在1,2号位,此时3号位可以从剩余的4人中进行选择,那么4号位可以从剩余的双胞胎中选择1人,5,6号位将固定排剩余2人,此时共有

=48种选择,若这对双胞胎分别站在2,3号位,则1号位有4种选择,4号位可以从剩余的一对双胞胎中选择1人,5,6号位将固定排剩余2人,此时共有

=48种选择,若这对双胞胎分别站在3,4号位,则2号位有4种选择,1号位可以从剩余的一对双胞胎中

选择1人,5,6号位可将剩余2人进行全排列,此时共有

=96种选择,若这对双胞胎分别站在4,5号位或5,6号位,可利用同样方法得到分别有

=48种选择.综上,共有48×4+96=288种排法.故选C.6.(2025届广东九校9月模拟,4)为了协调城乡教育资源的平衡,政府决定派甲、乙、丙

等六名教师去往包括希望中学在内的三所学校支教(每所学校至少安排一名教师).受

某些因素影响,甲、乙教师不被安排在同一所学校,丙教师不去往希望中学,则不同的分

配方法有

()A.144种

B.260种

C.320种

D.540种B解析

先将丙安排在一所学校,有

种排法.①若甲、丙在同一所学校,那么乙就有

种排法,剩下3名教师可能分别有3、2、1人在最后一所学校(记为X校),分别对应有1(3人均在X

校)、

(2人在X校,另1人随便排)、

(1人在X校,另2人排在同一所学校或不在同一所学校)种排法,共有1+

+

=19种排法.②若甲、丙不在同一所学校,则甲有

种排法,若乙与丙在同一所学校,则剩下3名教师按上面方法有19种排法;若乙与丙不在同一所学校,则三所学校均已有一名教师,剩下3人可分别分为1、2、3组,分别有

、

、

种排法,故共有

·[

·19+

·(19+

+

+

)]=260种排法.故选B.1.(创新考法)(2025届重庆开学考,14)有一个4行4列的表格,在每一个格中分别填入数字

0或1,使得4行中所填数字之和恰好是1,2,3,4各一个,4列中所填数字之和恰好也是1,2,3,

4各一个(如图为其中一种填法),则符合要求的不同填法共有

种.0001001101111111576解析

显然在符合要求的填法中,应该填入6个数字0和10个数字1,按照下面的顺序填入这6个数字0.①先找到一行并填入3个数字0,选出这样1行共有4种选法,而从该行的4格中选出3个填入数字0,有

=4种填法.因此这一步共有4×4=16种不同的填法.②选出一列填入3个数字0,以题图为例,可知这一列必为已填入了一个数字0的列,否则就没有一列的数字之和为4,从而选出这一列共有3种选法.而该列中已经填入了一个数字0,所以填入另外两个数字0有

=3种填法.这一步共有3×3=9种不同的填法.③当完成前面两步后,最后一个数字0所在行与列都应有两个0,只有4个位置可以选择.最后剩下所有的格都填1,有1种填法.因此,符合要求的不同填法共有16×9×4×1=576种.2.(创新情境)(2025届湖南雅礼中学月考,14)小军和小方两人先后在装有若干黑球的黑

盒子与装有若干白球的白盒子(黑球数少于白球数)轮流取球,规定每次取球可以从某

一盒子中取出任意多颗(至少取1颗),或者在两个盒子中取出相同颗数的球(至少各取1

颗),最后不能按规则取的人输.已知两盒中共有11个球,且两人掷硬币后决定由小军先

手取球.小方看了眼黑盒中的球,对小军说:“你输了!”若已知小方有必胜策略,则黑盒

中球数为

.4解析

设黑球数为m,白球数为n,由m+n=11,m<n,则(m,n)可能有以下几种情况:①(1,10),小军可先手在白盒子中取8颗球,此时两盒球数为(1,2),则小方必不可能全部取完,小方后手取球后可能为(0,2),(0,1),(1,1),(1,0),此时无论何种

情况小军都可全部取完,故小军有必定获胜的策略,不符合题意;②(2,9),小军可先手在白盒子中取8颗球,此时两盒球数为(2,1),同①进行分析可知,小军

有必定获胜的策