2017届高中数学一轮复习基础知识手册第二编-函数

第二编函数1．函数(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数．(3)了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．(4)理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义．(5)会运用基本初等函数的图像分析函数的性质．2．指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景．(2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．(3)理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，3，10，，的指数函数的图像．(4)体会指数函数是一类重要的函数模型．3．对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．(2)理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数2，10，的对数函数的图像．(3)体会对数函数是一类重要的函数模型．(4)了解指数函数(且)与对数函数(且)互为反函数．4．幂函数(1)了解幂函数的概念．(2)结合函数，，，，的图像，了解它们的变化情况．5．函数与方程结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．6．函数模型及其应用(1)了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．(1)了解导数概念的实际背景．(2)通过函数图像直观理解导数的几何意义．(3)能根据导数的定义求函数(为常数)，，，，，的导数．(4)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如的复合函数)的导数．(5)了解函数的单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．(6)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)，会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．(7)会用导数解决某些实际问题．(8)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．(9)了解微积分基本定理的含义．第一讲函数知识能力解读知能解读(一)函数1．函数的定义设，是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应．那么就称为从集合到集合的一个函数，记作．其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．点拨：函数的定义中要求：(1)两个集合都是非空数集，并且在对应中，集合中的元素不能有剩余(即中的每一个元素在中都有与之对应的元素)，中元素可以有剩余；(2)对应的形式为“一对一”(一个对应一个)或者“多对一”，但不能是“一对多”．2．函数相等如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等，即为同一函数．提示：在判断两函数是否为同一函数时，只需看两函数的定义域和对应关系是否分别相同．是，则为同一函数，否则就不是同一函数．这就是说：定义域不同，两个函数也就不同；对应关系不同，两个函数也是不同的．即使是定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数．3．函数的表示方法函数的表示方法定义优点缺点列表法列出表格来表示两个变量之间的对应关系不需要计算就可以直接得到与自变量相对应的函数值只能表示自变量取较少的有限值的对应关系图像法用图像表示两个变量之间的对应关系①可直观形象地表示出自变量变化时函数值的变化②可以直接通过图像来研究函数的性质只能近似地求出自变量的值所对应的函数值，有时误差较大解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系①简明、全面地概括了变量之间的关系②可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值不够形象和直观，而且不是所有的函数都能用解析法表示(二)区间的概念及表示设，是两个实数，且．定义名称符号数轴表示闭区间开区间半开半闭区间半开半闭区间(三)分段函数(1)定义：在函数的定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．(2)分段函数的解析式由几个表达式构成，并不是说分段函数是几个函数．分段函数是一个函数，其解析式不能分开写，应写在一起并用花括号联立，注明变量的范围．(3)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集．(四)映射1．映射的概念设，是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么，这样的对应关系叫做从集合到集合的映射，记作．由映射的定义可以看出，映射是函数的推广．2．象和原象若是从到的映射，那么与中元素对应的中元素叫做的象，称为原象．3．一一映射设，是两个非空集合，是集合到集合的映射，如果在这个映射下，对于集合中的不同元素，在集合中有不同的象，而且中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做集合到上的一一映射．4．函数与映射的关系(1)函数是从非空数集到非空数集的映射，映射是从集合到集合的一种对应关系，这里的集合，可以是数集或点集，也可以是其他集合．(2)映射不一定是函数，而函数一定是映射，函数是一种特殊的映射关系．(五)函数的性质1．函数的单调性一般地，设函数的定义域为：(1)如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数．(2)如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数．(3)如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间．提示：(1)函数的单调性是对函数定义域内的某个区间而言的．(2)求函数的单调区间时，必须先求定义域．拓展：若，具有相同的单调性，则具有和(或)相同的单调性；若，具有相反的单调性，则具有与相反(与相同)的单调性，而与的积或商的单调性需具体问题具体分析，无定论可言．2．函数的奇偶性(1)定义①奇函数：设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有，则这个函数叫做奇函数②偶函数：设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有，则这个函数叫做偶函数．说明：在奇函数与偶函数的定义中，都要求，，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于坐标原点对称．如果一个函数的定义域不关于坐标原点对称，那么这个函数就失去了是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．所以判断一个函数的奇偶性，要先判断其定义域是否关于原点对称．再判断与的关系．(2)奇、偶函数图像的性质①如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．②如果一个函数是偶函数，则它的图像是以轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数．(3)由于奇函数的图像关于原点对称，所以当在处有意义时，必有．说明：研究函数的奇偶性对了解函数的性质非常重要，如果我们知道一个函数是奇函数或偶函数，只要把这个函数的定义域分成关于坐标原点对称的两部分，得出函数在其中一部分上的性质和图像，就可推出这个函数在另一部分上的性质和图像，如奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反．(4)两个奇偶函数四则运算的性质①两个奇函数的和仍为奇函数；②两个偶函数的和仍为偶函数；③两个奇函数的积是偶函数；④两个偶函数的积是偶函数；⑤一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．(注：上面所说的函数都定义在同一个关于原点对称的定义域上)以上这些结论要熟悉，对我们以后处理问题很有好处．3．函数的周期性一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都满足，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期．(六)复合函数1．定义如果是的函数，记为，又是的函数，记为，且的值域与的定义域的交集非空，则确定了一个关于的函数，这时叫做的复合函数，其中叫做中间变量，叫做外层函数，叫做内层函数．2．性质复合函数的单调性如下表所示：函数单调性内层函数增增减减外层函数增减增减复合函数增减减增(注:由上表可以得出复合函数单调性的判断方法是同增异减)复合函数的奇偶性如下表所示：外层函数复合函数内层函数奇偶奇奇偶偶偶偶(注：在研究复合函数的性质时，要时刻注意函数的定义域，必须在其定义域内研究函数的性质)解题方法荟萃Ⅰ．数学思想方法思想方法(一)数形结合思想(二)函数与方程思想(三)转化与化归思想(四)分类讨论思想(五)换元法(六)待定系数法1．定义一般地，在求一个函数的解析式时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数，这种通过求待定系数来确定变量之间关系的方法叫做待定系数法．待定系数法的理论依据是多项式恒等定理，即如果，那么，，，…，．2．用待定系数法求函数解析式的步骤(1)设出所求函数的解析式；(2)根据已知条件列出方程(组)；(3)解方程(组)，求出待定系数；(4)得出结论．Ⅱ．解题规律技巧规律技巧(一)求函数定义域的常用方法确定函数的定义域应遵循以下原则：(1)当是整式时，其定义域为．(2)当是分式时，其定义域是使得分母不为0的实数的集合．(3)当是偶次根式时，其定义域是使得根号内的式子大于或等于0的实数的集合．(4)对于，不能为0，因为无意义．(5)的定义域为．(6)的定义域为．(7)由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束，要具体问题具体分析．(8)分段函数的定义域是各段中自变量取值范围的并集．(二)求函数值域的常用方法1．直接法：从自变量的范围入手，逐步推出的取值范围．2．图像法：当函数的图像给出时，图像在轴上的投影所覆盖的实数的集合即为函数的值域．3．配方法：对于二次函数，常常根据求解问题的要求，采用配方法求值域．4．换元法：运用换元法，将所给函数等价转化为值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．5．分离常数法：适用于形如的分式函数，将其分离常数，转化为只在分母上有变量的形式，再判断值域．6．判别式法：运用方程思想，依据一元二次方程有实根，求出的取值范围．7．反解法：通过反解，用表示，再由的取值范围，通过解不等式(组)，得出的取值范围．(三)判断函数奇偶性的常用方法判断函数奇偶性的方法主要有：(1)定义法：若函数的定义域不关于原点对称，则可直接判断函数既不是奇函数也不是偶函数．若函数的定义域关于原点对称，再判断下列等式(其中一个)是否成立：①；②；③．(2)图像法：作出函数的图像，然后看图像是否关于轴或原点对称，用数形结合的方法确定函数的奇偶性．(3)性质法：对于定义在同一关于原点对称的区间上的几个函数，偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积、商(分母不为零)为奇函数．(4)分段函数的奇偶性要分段进行讨论．(5)抽象函数奇偶性的判断：利用定义法，根据函数的性质和已知条件寻找与的关系，从而得出结论．(四)判断、证明函数的单调性判断、证明函数单调性的常用方法有：(1)定义法：即“取值——作差——变形——定号——判断”．要注意的是，当函数在其定义域上的单调区间是由几个区间组成的，问题又未指明其单调区间而需要探求，这时可从如下两个方面入手：①定义域：若定义域区间是由几个区间组成，则函数的单调区间必是某个区间的子区间．②从极端入手分析：当某个代数式的符号无法确定时，可取，计算得的值，以此为界进行分类讨论．(2)图像法：先做出函数的图像，利用图像直观判断函数的单调性．(3)直接法：就是对于我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．(4)利用复合函数单调性法则“同增异减”进行判断．(5)利用导数判断函数的单调性，设函数在某个区间内可导，若，则在此区间上为增函数，若，则在此区间上为减函数．Ⅲ．易混易错辨析易混易错忽视函数定义域或对函数定义域理解不当致误在求函数解析式、求函数值域与最值、求函数单调区间、作函数图像、判断函数奇偶性、解不等式(组)求参数范围等问题时，常因忽视函数的定义域而导致错误．高考命题研究高考中常以基本初等函数为载体，与不等式(组)结合考查函数的定义域、值域、解析式的求法以及分段函数的求值．函数的奇偶性、周期性等问题，多以选择题、填空题的形式出现，属中低难度题，也常与导数相结合，考查函数单调性的判断．单调区间的求法及函数最值的求法，属中等难度题．在考查函数知识的同时，又考查运用函数与方程的思想、转化思想、数形结合思想和分类讨论思想解决问题的能力．高考热点(一)求函数的定义域求函数的定义域是高考命题的热点，常与解不等式(组)脂数、对数等知识综合考查．(二)求函数的值与值域已知函数求值经常以分段函数的形式出现，函数求值域则与函数的图像和单调性联系密切．(三)求函数的解析式(四)函数的性质函数的单调性、奇偶性、最值问题是高考的必考内容，通常在同一个问题中综合考查函数的多个性质．(五)函数图像及其应用(六)函数的单调性与奇偶性的综合应用附录常用公式定理常用结论(1)函数的最大值与最小值一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：①对于任意的，都有；②存在，使得．那么称是函数在定义域上的最大(小)值，通常记为或(或)．(2)用定义判断函数奇偶性的步骤①首先判断定义域是否关于原点对称，若不对称，则函数不具有奇偶性；②若对称，则由定义法判断．说明：奇、偶函数等式的等价形式：奇函数；偶函数．(3)奇、偶函数在关于坐标原点对称的区间上的单调性①奇函数在对称区间上的单调性相同．②偶函数在对称区间上的单调性相反．说明：定义在上的奇函数的图像必过原点，即．(4)奇、偶函数性质的推广①由定义知，定义在对称区间上的函数，有a．函数的图像关于原点对称；b．函数的图像关于轴对称．可见，函数的奇偶性与对称性是“数形结合”的典范．②函数图像的对称性与恒等式的推广：定义在区间上的函数有以下两种等价形式：a．函数的图像关于点对称．b．函数的图像关于直线对称．其中，是常数，特别地，当时，上述性质分别对应奇函数、偶函数的性质．c．若，则函数的图像关于直线对称．(5)用定义判断函数单调性的步骤①取值；②作差或作商；③变形；④判断值与“0”或“1”的关系；⑤下结论．利用作商法要注意时，；时，．第二讲函数与方程知识能力解读知能解读(一)一次函数1．一次函数的概念函数叫做一次函数，它的定义域为，值域为，其图像是直线，叫做该直线的斜率，叫做该直线在轴上的截距，一次函数又叫线险函数．显然，，若，则成为常数函数；的最高次数为1，否则不是一次函数；的取值范围是．2．一次函数图像的画法因为“两点确定一条直线”，所以画一次函数图像时，一般取和两个特殊点，再连成直线即可．3．一次函数与正比例函数的关系由于正比例函数是一次函数的特例，所以正比例函数的图像和性质除了具有与一次函数相同的性质外，还有其自身的一些特点，为便于系统掌握和记忆，现将其异同点列表归纳如下：正比例函数与一次函数项目相同点不同点图像都是一条直线正比例函数的图像经过原点；当时，一次函数的图像不经过原点画法先描出两个适当的点，再连成直线正比例函数一般取，两点；一次函数一般取，两点函数增减性质当时，增函数；当时，减函数无图像位置既不平行(重合)于轴，又不平行(重合)于轴的直线正比例函数的图像经过两个象限；当时，一次函数的图像经过三个象限奇偶性正比例函数和时的一次函数都是奇函数当时，一次函数为非奇非偶函数(二)二次函数1．二次函数的定义函数叫做二次函数，它的定义域是．如果，则函数变为，我们知道，它的图像是一条顶点为原点的抛物线，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下，它为偶函数，轴为其图像的对称轴．2．二次函数的图像和性质与，，的关系关于，，的代数式作用说明决定开口方向与大小；与决定单调区间开口向上，越小，开口越大，为单调递减区间，为单调递增区间开口向下，越小，开口越大，为单调递增区间，为单调递减区间决定奇偶性偶函数非奇非偶函数决定与轴的交点位置交点在轴上方过原点交点在轴下方决定对称轴位置对称轴在轴左侧对称轴是轴对称轴在轴右侧决定与轴的交点个数有两个交点有一个交点无交点决定顶点位置利用配方法把函数化为决定与轴的两交点间的距离3．二次函数的重要性质二次函数有如下性质：(1)函数的图像是一条抛物线，抛物线的顶点坐标是，抛物线的对称轴是直线；(2)当时，抛物线开口向上，函数在处取最小值，在上是减函数，在上是增函数；(3)当时，抛物线开口向下，函数在处取最大值，在上是增函数，在上是减函数．注意：利用配方法，可将一般式按以下方法转化为顶点式．．故抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．显然，利用配方法将二次函数一般式转化为顶点式，方法是提取二次项的系数．4．利用二次函数的图像和性质求值和比较大小不通过计算求函数值，主要是通过配方找出二次函数图像的对称轴，利用二次函数图像的对称性求解．比较两个函数值的大小，关键在于根据对称性将它们转化到同一增区间或减区间上，然后在同一个单调区间上进行比较．(三)函数的零点与二分法1．函数零点的定义对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点．对于函数零点的定义注意如下三点：(1)函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．(2)函数的零点也就是函数的图像与轴的交点的横坐标．(3)求函数的零点就是求方程的实数根．2．二分法(1)零点存在性定理如果函数在一个区间上的图像连续不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上至少存在一个零点，即存在一点，使得．拓展：如果函数在区间上的图像不间断，并且，则在区间内至少有一个变号零点．言外之意，也可能还有其他的变号零点或者不变号零点，而能够肯定的只是至少有一个变号零点．反之，如果在区间上的图像不间断，且，在区间内是否就没有零点了呢?答案是区间内可能有零点(如图所示)，也可能无零点(如图所示)．也就是说，是在区间上有零点的充分不必要条件．(2)变号零点与不变号零点①变号零点若函数在零点左右两侧函数值异号，则该零点为变号零点．②不变号零点函数在零点左右两侧函数值同号，这样J零点叫做不变号零点．③函数零点具有的性质a．如果函数的图像是连续的，那么当它通过零点(不是二重零点)时，函数值变号．但对于二次函数来说，如果它有一个二重零点，那么它通过这个二重零点时，函数值的符号不改变．b．如果函数的图像是连续的，那么在相邻的两个零点之间的所有函数值同号．如函数的图像在零点的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点时，函数值由正变负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变正．注意：①函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点．②如方程有二重实根，可称函数有二阶零点．③零点存在性定理只能判断函数在某区间上是否存在零点，并不能判断零点的个数，但如果函数在区间上是单调函数，则该函数在区间上至多有一个零点．(3)对于在区间上连续不间断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法．(4)二分法的步骤给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：第一步：确定区间，验证，给定精确度．第二步：求区间的中点．第三步：计算：①若，则就是函数的零点；②若，则令(此时零点；③若，则令(此时零点)．第四步：判断是否达到精确度，即若，则得到零点近似值(或)；否则重复第二步到第四步．解题方法荟萃Ⅰ．数学思想方法思想方法(一)数形结合思想(二)分类讨论思想(三)转化与化归思想(四)待定系数法(五)配方法Ⅱ．解题规律技巧规律技巧(一)构造函数后利用函数性质解题在本讲的学习过程中，经常会遇见利用给定方程的解的情况(存在性、解的个数、解的分布等)逆求所含字母的参数的取值范围等问题．这类问题的常用处理方法是构造函数，利用函数的图像、最值、值域等求解，也会遇见由恒成立求参数的取值范围问题，常采用分离参数的方法，构造函数，利用函数最值寻求出参数的取值范围．(二)特值法Ⅲ．易混易错辨析易混易错忽视题中隐含条件致误高考命题研究函数与方程是高中数学的重要内容，利用函数的零点存在性定理或函数的图像对函数是否存在零点进行判断，或利用零点的存在情况求相关参数的范围是高考的热点．一般以选择题、填空题为主，难度不大，多考查数形结合、函数与方程、分类讨论等思想的应用．高考热点(一)函数零点的判断与求解1．函数零点的存在性判断判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体问题灵活处理．当能直接求出零点时，要直接求出零点进行判断；当不能直接求出零点时，可根据零点的存在性定理进行判断；当用零点存在性定理也无法判断时，可画图像判断．2．求函数的零点函数零点的求法有两种：代数法和几何法．代数法即求方程的实数根；当有些方程无法求实数根时，就要用几何法，即将它与函数的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点．(二)函数零点的应用由于函数的零点与函数的图像以及相应方程的根都有密切关系，因此我们通过研究函数的零点问题，可讨论方程根的分布、解不等式，也可由零点(个数)确定参数的取值范围．(三)二次函数的零点分布问题(四)恒成立问题附录常用公式定理1．常用公式(1)一次函数式：．(2)二次函数一般式：；两点式：；顶点式：．(3)二次函数图像与轴两交点间的距离：．(4)方程：①判别式；②求根公式；③根与系数的关系．2．常用结论(1)的图像关于直线对称．(2)的图像关于直线对称．①当，即时，，由，得，∴．②当，即时，，由，得，∴．③当，即时，．由，得，∴．综上，得．点评：若函数在集合内的最大值为，最小值为，那么使在内恒成立的条件是；使在内恒成立的条件为，这是求解恒成立问题的基本思路．(3)一元二次方程根的分布理论根的分布图像充要条件根的分布在内有且仅有一个根图像充要条件或且或或列不等式组时常从以下四方面考虑：EQ\B\LC\{(\A\AL\CO1\VS4(二次项系数的正负；,判别式“”；,对称轴“”；,特殊点对应的函数值的正负．))(4)方程有实数根函数的图像与轴有交点函数有零点．(5)若在区间上的图像连续，则是在上有零点的充分不必要条件．第三讲基本初等函数(Ⅰ)及其应用知识能力解读知能解读(一)指数与指数函数1．方根(1)方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且．(2)方根的性质：①0的任何次方根都是0，记作．②当是奇数时，实数的次方根记作，并且有：当时，；当时，．③当是偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数．正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示，正数的偶次方根合并写成．负数没有偶次方根．2．根式(1)根式的定义：一般地，式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数，其中，且．(2)根式的性质：①(，且)．②当为奇数时，；当为偶数时，．注意：与的区别．3．整数指数幂的运算法则①； ②；③(且，)； ④；⑤； ⑥．4．有理数指数幂的运算法则设，，，为任意有理数，则有①；②；③．5．分数指数幂的意义(1)的意义：一般地，给定正实数，对于任意给定的正整数，存在唯一的正实数，使得，我们把叫做的次幂，记作，它就是正分数指数幂．有时，我们把分数指数幂写成根式的形式，即．(2)正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，规定：，其中，且．(3)0的指数幂：0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂没有意义．6．指数函数(1)指数函数的定义：一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是．(2)指数函数的图像和性质：图像性质(1)定义域为，值域为(2)图像都过点，即当时，(3)当时，；当时，当时，；当时，(4)在上是增函数；在上是减函数(5)非奇非偶函数(二)对数与对数函数1．对数的定义一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数．2．对数与指数间的关系当，且时，．3．对数的运算法则(1)正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和．用数学式表示即为．(2)两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数．用数学式表示即为．(3)正数幂的对数等于幂指数乘同一底数幂的底数的对数．用数学式表示即为．(4)正数的正的方根的对数等于被开方数的对数除以根指数．用数学式表示即为．4．换底公式．对数换底公式的几个推论及对数恒等式：(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．(6)，．5．常用对数以10为底的对数叫做常用对数．如记为．6．自然对数以无理数为底的对数叫做自然对数．通常记作，其中．7．对数函数(1)定义：一般地，我们把函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是．(2)对数函数的图像和性质：图像性质定义域：值域：当时，，即过定点当时，；当时，，在上是增函数当时，；当时，，在上是减函数补充性质设，，其中，(或，)，当时，“底大图低”，即若，则；当时，“底大图高”，即若，则(三)反函数1．反函数的定义根据指数与对数的关系，将指数式化成对数式可得，这样，对于任意一个，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，也就是说，将看成是自变量，作为的函数，这时我们说是函数的反函数．函数的反函数常用表示．2．互为反函数图像间的关系函数的图像与它的反函数的图像关于直线对称．3．指数函数与对数函数的关系同底数的指数函数与对数函数互为反函数，因此其图像关于直线对称，它们在各自的定义域内增减性是一致的，即当时函数都是增函数，当时函数都是减函数．(四)幂函数1．幂函数的定义一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数．2．幂函数的性质(1)一般地，当时，幂函数有下列性质：①图像都通过点，．②在第一象限内，函数值随的增大而增大．③在第一象限内，当时，图像是向下凸的；当时，图像是向上凸的．④在第一象限内，过点后，图像向右上方无限伸展．(2)一般地，当时，幂函数有下列性质：①图像都通过点．②在第一象限内，函数值随的增大而减小，图像是向下凸的．③在第一象限内，图像向上与轴无限地接近，向右与轴无限地接近．④在第一象限内，过点后，越大，图像下落的速度越快．(3)幂函数，，，，，，1，2，3的图像如图所示．3．形如(其中，，与互质)的幂函数的性质(令)(1)当为偶数时，为偶函数，图像关于轴对称；(2)当，都为奇数时，为奇函数，图像关于原点对称；(3)当为偶数且为奇数时，是非奇非偶函数，图像只在第一象限内(可能包括原点)．解题方法荟萃Ⅰ．数学思想方法思想方法(一)数形结合思想(二)分类讨论思想(三)换元法Ⅱ．解题规律技巧规律技巧(一)关于比较函数值大小的策略1．比较同底数幂的大小此类问题归结为比较指数函数值的大小问题，利用指数函数的单调性(底数，函数为增函数；底数，函数为减函数)进行比较．2．比较底数及幂指数都不相同的两个幂的大小常采用放缩法或引入中间变量法(媒介法)化成同底的指数函数形式，再利用其单调性进行比较．3．对数值大小的比较(1)同底数的两个对数值的大小，利用对数函数的单调性(底数，函数为增函数；底数，函数为减函数)进行比较．(2)底数不同且真数也不相同的两个对数值的大小，常用放缩法和引入中间变量法进行比较．(3)底数不同而真数相同的两个对数值的大小的比较，如与(且；且)的比较．当时，函数的图像比的图像(在第一象限内)上升得慢．当时，；当时，．即在第一象限内，图像越靠近轴的对数函数底数越大．当时，函数的图像比的图像(在第四象限内)下降得快．当时，；当时，．即在第四象限内，图像越靠近轴的对数函数的底数越小．4．其他形式函数值大小的比较可利用函数的取值范围、函数值的正负号、图像法、比较法等进行比较．(二)与指数、对数函数有关的定义域和值域的求法1．求由指数函数(对数函数)构成的复合函数的定义域时，可能涉及解指数(对数)不等式，基本方法是把不等式两边化为同底数幂(对数)的形式，利用指数函数(对数函数)的单调性转化为熟悉的不等式求解．求由对数函数构成的复合函数的定义域，应特别注意真数大于零，底数大于零且不等于1．2．求由指数函数构成的复合函数的值域，一般用换元法，要注意中间变量的值域以及指数函数的单调性．3．求由对数函数构成的复合函数的值域，一方面要抓住对数函数的值域，另一方面要抓住中间变量的取值范围，利用对数函数的单调性来求其值域．Ⅲ．易混易错辨析易混易错判断函数单调性时忽视函数定义域致误高考命题研究本部分内容在高考中处于重要地位，以三类函数的基础知识为主考查数式的运算、函数值的求法、数值的大小比较等．考查形式以客观性命题为主，考查定义与图像，数形结合思想以及分类讨论思想等数学思想，有时也与二次函数、方程(组)、不等式(组)结合，以综合题形式出现，考查字母参数的求法等．高考热点(一)与三类函数相关的运算以计算题形式来体现三类函数的运算性质和法则，是近几年高考的热点之一．(二)函数性质的应用(三)函数图像及其应用(四)与指数函数、对数函数有关的定义域和值域问题(五)指数函数、对数函数与二次函数的综合题三类函数与方程(组)、不等式(组)结合，是这部分内容在高考题中出现的主要形式．附录常用公式定理(1)幂的运算法则，，(其中)．(2)对数恒等式，，，(其中，且)．(3)对数运算法则设且，，，则，，，(且)．推论：(其中且，，，)．(4)换底公式(其中且，且，)．(5)指数函数(且)与对数函数(且)互为反函数．(6)函数与其反函数的图像关于直线对称，其中的定义域、值域分别是它的反函数的值域、定义域．第四讲导数及其应用知识能力解读知能解读(一)导数1．导数的定义对于函数，如果自变量在处有增量，那么函数相应地有增量．比值叫做函数从到的平均变化率，即．如果当时，有极限，我们就说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点处的导数(或瞬时变化率)，记作或，即．2．利用定义求函数在点处的导数的三个步骤(1)求函数的增量；(2)求平均变化率；(3)取极限，得导数．上述三步简称“一差，二比，三极限”．3．导函数如果函数在开区间内每一点都可导，就说在开区间内可导，这时，对于开区间内每个确定的值，都对应一个确定的导数，这样就在开区间内构成一个新函数，我们把这一新函数叫做在开区间内的导函数，简称导数．记作或．提示：函数在处的导数等于函数的导函数在处的函数值．(二)导数的几何意义和物理意义函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处切线的斜率．也就是说，曲线在点处的切线斜率是．相应地，切线方程为．如果把看作是物体的运动方程，那么导数表示运动物体在时刻的瞬时速度，这就是导数的物理意义．拓展：曲线在点“处的切线”与“过点的切线”的区别：曲线在点处的切线是指点为切点，若切线料率存在，则斜率为的切线，是唯一的一条切线；曲线过点的切线，是指切线经过点，点可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．(三)几种常见函数的导数(为常数)；(为常数)；；；；(且)；；(且)．(四)函数的和、差、积、商的导数；；；．(五)复合函数的导数一般地，设函数在点处有导数，函数在点的对应点处有导数，则复合函数在点处也有导数，且或写作．(六)函数的单调性与导数设函数在某区间内可导，在该区间上单调递增；在该区间上单调递减．反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立(但不恒等于0)；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立(但不恒等于0)．利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意(或)仅是在某个区间上为增函数(或减函数)的充分条件，在区间内可导的函数在区间上递增(或递减)的充要条件应是或)，恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0．因此，在已知函数是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令(或)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立理论求解)，然后检验参数的取值能否使恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去．(七)函数的极值与导数1．概念函数点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作；如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．2．求函数极值的三个基本步骤(1)求导数；(2)求方程的所有实数根；(3)利用数轴穿根法检验在方程的根左右的符号，如果是左正右负(左负右正)，则在这个根处取得极大(小)值．说明：①函数的极大值不一定大于极小值．②在给定的一个区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点．③可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．例如函数当时导数等于0，但不是极值点．④函数在一个区间的端点处不可能取得极值，即端点一定不是函数的极值点．(八)函数的最值与导数1．在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值，并且最值必在极值点处或端点处取得．2．求函数最值的步骤：(1)求函数在区间上的极值；(2)将极值与区间端点函数值，比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．3．极值与最值的区别与联系(1)函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大者，最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小者．(2)函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的，是个局部性概念函数的极值可以有多个，但最大(小)值最多只有一个，极值只能在区间内取得，最值却可以在端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值在某一点的极小值也可能大于在另一点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系．(九)定积分1．定义如果函数在区间上连续，用分点将区间等分为个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式，当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作，即，这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式．2．定积分的几何意义设函数在区间上连续，定积分在几何上表示介于轴、曲线及直线，之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正值，在轴下方的面积取负值．3．定积分的性质(1)定积分的线性性质(为常数)，．(2)定积分对区间的可加性．拓展：，与有不同的几何意义．由于被积函数在闭区间上可正可负，也就是的图像可以在轴上方，也可以在轴下方，还可以在轴的上下两侧，所以表示介于轴，曲线及直线，之间各部分