解析卷广东省信宜市中考数学真题分类（勾股定理）汇编难点解析试卷

广东省信宜市中考数学真题分类（勾股定理）汇编难点解析考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题14分）一、单选题（7小题，每小题2分，共计14分）1、如图，矩形中，的平分线交于点E，，垂足为F，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤若，则．其中正确的结论有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2、在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=（）A．4 B．5 C．6 D．73、如图，在水塔O的东北方向24m处有一抽水站A，在水塔的东南方向18m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管AB的长为（

）A．40m B．45m C．30m D．35m4、已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（m＜n），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（）A．m2+2mn+n2=0 B．m2﹣2mn+n2=0 C．m2+2mn﹣n2=0 D．m2﹣2mn﹣n2=05、《九章算术》是我国古代数学名著，记载着这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度为x尺，则可列方程为（）A．x2+52＝（x+1）2 B．x2+102＝（x+1）2C．x2﹣52＝（x﹣1）2 D．x2﹣102＝（x﹣1）26、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，若AC=3，AB=5，则CE的长为（）A． B． C． D．7、如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接CF，则CF的长为（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题86分）二、填空题（8小题，每小题2分，共计16分）1、在继承和发扬红色学校光荣传统，与时俱进，把育英学校建成一所文明的、受社会尊敬的学校升旗仪式上，如图所示，一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米，若将绳子拉直，则绳端离旗杆底端的距离有5米．则旗杆的高度______．2、有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为_____尺．3、如图，该图形是由直角三角形和正方形构成，其中最大正方形的边长为7，则正方形A、B、C、D的面积之和为__________．4、学习完《勾股定理》后，尹老师要求数学兴趣小组的同学测量学校旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面并多出了一段，但这条绳子的长度未知．如图，经测量，绳子多出的部分长度为1米，将绳子沿地面拉直，绳子底端距离旗杆底端4米，则旗杆的高度为______米．5、勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是________（结果用含m的式子表示）．6、如图，已知，那么数轴上点所表示的数是________．7、《九章算术》中有“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：有一根竹子原来高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？如图，设折断处距离地面x尺，根据题意，可列方程为______．8、《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．则芦苇长_____尺．三、解答题（7小题，每小题10分，共计70分）1、勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，汉代数学家赵爽为证明勾股定理创制的“赵爽弦图”也流传至今．迄今为止已有多种证明勾股定理的方法．下面是数学课上创新小组验证过程的一部分．请认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整：将两张全等的直角三角形纸片按图所示摆放，其中，点在线段上，点在边两侧，试证明：．2、已知：如图，四边形ABCD，∠A＝90°，AD＝12，AB＝16，CD＝15，BC＝25．（1）求BD的长；（2）求四边形ABCD的面积．3、拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？4、我们知道，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．由此，我们可以引入如下新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．（1）如图1，点P在线段BC上，∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，BP＝CD．求证：点P是△APD的准外心；（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，△ABC的准外心P在△ABC的直角边上，试求AP的长．5、如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且，连接DE，DF．(1)求证：；(2)连接EF，取EF中点G，连接DG并延长交BC于H，连接BG．①依题意，补全图形；②求证：；③若，用等式表示线段BG，HG与AE之间的数量关系，请直接写出结论．6、如图所示，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，AC=BC．(1)求证：△ADC≌△BEC．(2)若CD=1，BE=2，求线段AC的长.7、一架梯子长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米．（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了7米到C，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】根据AE平分∠DAE，可得，从而得到AB=BE，进而得到，可得①正确；然后证明△ABE≌△AFD，可得AB=BE=AF=FD，从而得到∠AED=∠CED，故②正确；再证得△DEF≌△DEC，可得③正确；再根据△ABF≌△DCF，可得BF=CF，故④正确；过点F作FG⊥BC于点G，可得，从而得到，进而得到，可得⑤正确；即可求解．【详解】解：在矩形中，∠BAD=∠ADC=∠ABC=90°，AD=BC，AD∥BC，∵AE平分∠DAE，∴，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB=45°，∴∠AEB=∠BAE=45°，∴AB=BE，∴，∵，∴AE=AD，故①正确；在△ABE和△AFD中，∵∠BAE=∠DAE，∠ABE=∠AFD，AE=AD，∴△ABE≌△AFD（AAS），∴BE=DF，∴AB=BE=AF=FD，∴，∴∠AED=∠CED，故②正确；∵∠DAE=45°，DF⊥AE，∴∠ADF=45°，∴∠CDF=45°，∠EDF=∠ADE-∠ADF=22.5°，∴∠CDE=∠FDE=22.5°，∵∠AEB=45°，∠AED=67.5°，∴∠CED=67.5°，∴∠AED=∠CED，∵DE=DE，∴△DEF≌△DEC，∴DF=CD，∴DE⊥CF，故③正确；∵AB=CD，∠BAE=∠CDF=45°，AF=DF，∴△ABF≌△DCF，∴BF=CF，故④正确；如图，过点F作FG⊥BC于点G，∴FG∥AB，∴∠EFG=∠BAE=45°，∴∠EFG=∠FEG，∴FG=GE，∵△DEF≌△DEC，∴CE=EF，∴，∴，∵BF=CF，∴BG=CG，∴，∵AB=1，，∴，，解得：，∴．故⑤正确；∴正确的有5个．故选：D【考点】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．2、A【解析】【详解】解：由勾股定理的几何意义可知：S1+S2=1，S2+S3=2，S3+S4=3，S1+S2+S3+S4=4，故选A．【考点】勾股定理包含几何与数论两个方面，几何方面，一个直角三角形的斜边的平方等于另外两边的平方和．这里，边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积．3、C【解析】【分析】由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可．【详解】解：∵OA是东北方向，OB是东南方向，∴∠AOB=90°，又∵OA=24m，OB=18m，∴30m．故选：C．【考点】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．4、C【解析】【分析】如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得m2+m2=（n-m）2，整理即可求解【详解】m2+m2=（n﹣m）2，2m2=n2﹣2mn+m2，m2+2mn﹣n2=0．故选C.5、C【解析】【分析】首先设芦苇长x尺，则水深为（x−1）尺，根据勾股定理可得方程（x−1）2＋52＝x2．【详解】解：设芦苇长x尺，由题意得：（x−1）2＋52＝x2，即x2﹣52＝（x﹣1）2故选：C．【考点】此题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意，从题中抽象出勾股定理这一数学模型．6、A【解析】【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【详解】过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG，∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△BAC，∴，∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4，∴，∵FC=FG，∴，解得：FC=，即CE的长为．故选A．【考点】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE．7、C【解析】【分析】连接BF，（见详解图），由翻折变换可知，BF⊥AE，BE=EF，由点E是BC的中点，可知BE=3，根据勾股定理即可求得AE；根据三角形的面积公式可求得BH，进而可得到BF的长度；结合题意可知FE=BE=EC，进而可得∠BFC=90°，至此，在Rt△BFC中，利用勾股定理求出CF的长度即可【详解】如图，连接BF．∵△AEF是由△ABE沿AE折叠得到的，∴BF⊥AE，BE=EF．∵BC=6，点E为BC的中点，∴BE=EC=EF=3根据勾股定理有AE=AB+BE代入数据求得AE=5根据三角形的面积公式得BH=即可得BF=由FE=BE=EC，可得∠BFC=90°再由勾股定理有BC-BF=CF代入数据求得CF=故答案为：【考点】此题考查矩形的性质和折叠问题，解题关键在于利用好折叠的性质，对应点的连线被折痕垂直平分．二、填空题1、12米【解析】【分析】设旗杆的高度是x米，绳子长为（x+1）米，旗杆，拉直的绳子和BC构成直角三角形，根据勾股定理可求出x的值，从而求出旗杆的高度．【详解】解：设旗杆的高度为米，根据题意可得：，解得：，答：旗杆的高度为12米．故答案为：12米．【考点】本题考查勾股定理的应用，关键看到旗杆，拉直的绳子和BC构成直角三角形，根据勾股定理可求解．2、13【解析】【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．【详解】解：设水深为尺，则芦苇长为尺，根据勾股定理得：，解得：，芦苇的长度（尺，答：芦苇长13尺．故答案为：13．【考点】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．3、49【解析】【分析】根据正方形A，B，C，D的面积和等于最大的正方形的面积，求解即可求出答案．【详解】如图对所给图形进行标注：因为所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，所以正方形A的面积，正方形B的面积，正方形C的面积，正方形D的面积．因为，，所以正方形A，B，C，D的面积和．故答案为：49．【考点】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质，面积的计算，掌握勾股定理是解本题的关键．4、7.5；【解析】【分析】旗杆、拉直的绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答．【详解】解：如图，设旗杆的长度为xm，则绳子的长度为：（x+1）m，在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+42=（x+1）2，解得：x=7.5，∴旗杆的高度为7.5m，故答案为7.5．【考点】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键．5、m2+1【解析】【分析】2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．【详解】∵2m为偶数，∴设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理得，（2m）2+a2=（a+2）2，解得a=m2-1，∴弦长为m2+1，故答案为：m2+1．【考点】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．6、【解析】【分析】首先根据勾股定理得：OB=．即OA=．又点A在数轴的负半轴上，则点A对应的数是-．【详解】解：由图可知，OC=2，作BC⊥OC，垂足为C，取BC=1，故，∵A在x的负半轴上，∴数轴上点A所表示的数是-．故答案为：-．【考点】此题主要考查了实数与数轴，勾股富士蝗应用，熟练运用勾股定理，同时注意根据点的位置以确定数的符号．7、【解析】【分析】根据勾股定理即可得出结论．【详解】解：设未折断的竹干长为尺，根据题意可列方程为：．故答案为：．【考点】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．8、13【解析】【分析】将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知B'C＝5尺，设水深AC＝x尺，则芦苇长（x+1）尺，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．【详解】解：设水深x尺，则芦苇长（x+1）尺，在Rt△CAB′中，AC2+B′C2＝AB′2，即x2+52＝（x+1）2，解得：x＝12，∴x+1＝13，故芦苇长13尺，故答案为：13【考点】本题考查勾股定理，和列方程解决实际问题，能够在实际问题中找到直角三角形并应用勾股定理是解决本题的关键．三、解答题1、见解析．【解析】【分析】首先连结，作延长线于，则，根据，易证，再根据，，两者相等，整理即可得证．【详解】证明：连结，作延长线于，则即，∴∴即有：∴【考点】本题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形ADFB的面积是解本题的关键．2、（1）BD＝20；（2）S四边形ABCD＝246．【解析】【分析】（1）由∠A＝90°，AD＝12，AB＝16，利用勾股定理：BD2＝AD2+AB2，从而可得答案；（2）利用勾股定理的逆定理证明：∠CDB＝90°，再由四边形的面积等于两个直角三角形的面积之和可得答案．【详解】解：（1）∵∠A＝90°，AD＝12，AB＝16，∴BD2＝AD2+AB2，∴BD2＝122+162，∴BD＝20；（2）∵BD2+CD2＝202+152＝625，CB2＝252＝625，∴BD2+CD2＝CB2，∴∠CDB＝90°，∴S四边形ABCD＝SRt△ABD+SRt△CBD，＝246．【考点】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．3、（1）会受噪声影响，理由见解析；（2）有2分钟；【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出学校C是否会受噪声影响；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出拖拉机噪声影响该学校持续的时间．【详解】解：（1）学校C会受噪声影响．理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴AC×BC＝CD×AB，∴150×200＝250×CD，∴CD＝＝120（m），∵拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域，∴学校C会受噪声影响．（2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校，∵ED＝=50（m），∴EF＝50×2=100（m），∵拖拉机的行驶速度为每分钟50米，∴100÷50＝2（分钟），即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有2分钟．【考点】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答.4、（1）见解析；（2）AP的长为或2或【解析】【分析】（1）利用AAS证明△ABP≌△PCD，得到AP＝PD，由定义可知点P是△APD的准外心；（2）先利用勾股定理计算AC=4，再进行讨论：当P点在AB上，PA＝PB，当P点在AC上，PA＝PC，易得对应AP的值；当P点在AC上，PB＝PC，设AP＝t，则PC＝PB＝4﹣x，利用勾股定理得到32+t2＝(4﹣t)2，然后解方程得到此时AP的长．【详解】（1）证明：∵∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，∴∠APB+∠PAB＝90°，∠APB+∠DPC＝90°，∴∠PAB＝∠DPC，在△ABP和△PCD中，，∴△ABP≌△PCD（AAS），∴AP＝PD，∴点P是△APD的准外心；（2）解：∵∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，∴AC4，当P点在AB上，PA＝PB，则APAB；当P点在AC上，PA＝PC，则APAC＝2，当P点在AC上，PB＝PC，如图2，设AP＝t，则PC＝PB＝4﹣x，在Rt△ABP中，32+t2＝(4﹣t)2，解得t，即此时AP，综上所述，AP的长为或2或．【考点】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理及新定义的运用能力．理解题中给的定义是解题的关键．5、(1)见解析(2)①见解析；②见解析；③BG2＋HG2＝4AE2．【解析】【分析】（1）证△ADE≌△CDF（SAS），得∠ADE＝∠CDF，再证∠EDF＝90°，即可得出结论；（2）①依题意，补全图形即可；②由直角三角形斜边上的中线性质得DG＝EF，BG＝EF，即可得出结论；③先证△DEF是等腰直角三角形，得∠DEG＝45°，再证DG⊥EF，DG＝EF＝EG，BG＝EF＝EG＝FG，得∠GDF＝45°，∠EDG＝∠DEG＝45°，∠GBF＝∠GFB，然后证△CDH≌△CDF（ASA），得CH＝CF，再由勾股定理即可求解．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠A＝∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∴∠DCF＝90°，即∠A＝∠DCF，又∵AE＝CF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴∠ADE＝∠CDF，∵∠ADE＋∠CDE＝90°，∴∠CDF＋∠CDE＝90°，即∠EDF＝90°，∴DE⊥DF；(2)①解：依题意，补全图形如图所示：②证明：由（1）可知，△DEF和△BEF都是直角三角形，∵G是EF的中点，∴DG＝EF，BG＝EF，∴BG＝DG；③BG2＋HG2＝4AE2，证明：由（1）可知，△ADE≌△CDF，DE⊥DF，∴DE＝DF，∴△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEG＝45°，∵G为EF的中点，∴DG⊥EF，DG＝EF＝EG，BG＝EF＝EG＝FG，∴∠EGD＝∠HGF＝∠DGF＝90°，∠GDF＝45°，∠EDG＝∠DEG＝45°，∠GBF＝∠GFB，∵∠EGB＝45°，∴∠GBF＝∠GFB＝22