专题32函数的单调性与最值

专题3.2函数的单调性与最值课标要求考情分析核心素养借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义.新高考近3年考题题号考点数学抽象数学运算直观想象2024(Ⅰ)卷6，10分段函数单调性求参/单调性的应用2024(Ⅱ)卷8求最值2023(Ⅰ)卷4已知单调性求参2023(Ⅱ)卷19求函数最值2022(Ⅰ)卷7单调性比较大小2022(Ⅱ)卷//1.单调函数的定义增函数减函数定义若对于函数fx的定义域D内的某个区间I(I⊆D)上的任意两个自变量x当x1<x2时，都有fx1当x1<x2时，都有fx1>fx图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2.单调区间的定义若函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减，则称函数y=f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间I叫做函数3.函数单调性定义的等价形式：(1)若x1,x2∈D且x1≠x2,(2)若x1,x2∈D且x1≠x2,则f【重要结论】=1\*GB2⑴函数单调性研究的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，若函数在单调区间的端点处有意义，则该点处区间可开可闭，否则为开区间．=2\*GB2⑵单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；=3\*GB2⑶若有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”、“或”联结，只能用“和”或“，”连结．=4\*GB2⑷求函数的单调区间必须先求定义域D，单调区间I⊆定义域D.4.单调性性质

（1）函数f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性；

（2）k>0时,函数fx与kfx单调性相同；k<0时,函数fx与kfx单调性相反；

（3）若f(x)恒为正值或恒为负值,则fx与1fx具有相反的单调性；

（4）若当fx<0,g(x)<0时,fx∙gx是减(（6）奇(偶)函数在其对称区间上的单调性相同(相反).

5.函数的最值前提一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M条件（1）任意的x∈D，都有fx（2）存在x0∈D（1）任意的x∈D，都有fx（2）存在x0∈D结论M为最大值m为最小值【重要结论】1.在闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时,最值一定在端点处取到.2.开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.1.【人教A版必修一P100复习参考题T4】已知函数f(x)=x2−2ax+b在区间(−∞,1]是减函数，则实数a的取值范围是(

)A.[1,+∞) B.(−∞,1] C.[−1,+∞) D.(−∞,−1]2.【人教A版必修一P813.2.1练习3】已知函数f(x)=|x|(x+1).完成下面两个问题：

(1)画出函数f(x)的图象，并写出其单调增区间；

(2)求函数f(x)在区间[−1,12]上的最大值．考点一考点一判断函数的单调性(区间)【典例精讲】例1.(2024·福建省厦门市月考)已知函数fx=ax−bx+1a,b∈R，图象经过点2,5(1)求a，b的值；(2)判断并证明函数y=fx在区间−1,+∞例2.(2024·湖北省鄂州市月考)函数y=16−5x−x2的单调增区间为(

)A.−52,+∞ B.−6,−52

例3.(2024·广东省揭阳市月考)已知f(x−2)=lnx−2x，则fx的单调增区间为A.(−2,+∞) B.(−2,0) C.(0,+∞) D.(0,2)【方法储备】函数单调性的判断方法：=1\*GB2⑴定义法：在定义域内的某个区间I上任取x1,x2,并使得x1<=1\*GB3①几何意义：增(减)函数图象上任意两点(x1，f(x=2\*GB3②等价变形：∀x1,x2∈D,=1\*romani.都有fx1−fx2x1−=2\*romanii.都有fx1−fx2x1−=2\*GB2⑵性质法：利用函数单调性的性质判断函数单调性.=3\*GB2⑶复合函数法：对于复合函数y=f(g(x)),先将函数分解为y=f(uu增增减减y增减增减y增减减增=4\*GB2⑷导数法：对于函数y＝f(x)，在区间a,b上f'(x)＞0，那么f(x)在该区间a,b上单调递增；在区间a,b上f'(x)＜0，那么f(x)在该区间上单调递减.=5\*GB2⑸图象法：若已知函数图象或作出函数图象，通过观察函数图象的相关性质来判断函数在各个区间上的单调性.注意：抽象函数的单调性可用定义法判断，或借助其他性质进行判断.【拓展提升】练11(2023·山东省威海市模拟)函数f(x)=x2−3|x|+2的单调递减区间是

．练12(2024·湖南省长沙市联考)函数y=12−练13(2024·安徽省滁州市联考)已知函数f(x)=(x−1)ek x(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在区间(−2,2)内不是单调函数，求k的取值范围．考点二函数单调性的应用考点二函数单调性的应用【典例精讲】

例5.(2024·湖南省衡阳市月考)已知函数f(x)为定义在[0,1]上的单调递减函数，若f(x+2)≤f(12x2)，则A.[1−5,1+5] B.[1−例6.(2023·湖北省宜昌市模拟)已知函数f(x)=ex−e−x(x>0)−xc=log20.9A.f(b)>f(a)>f(c) B.f(a)>f(b)>f(c)

C.f(a)>f(c)>f(b) D.f(c)>f(a)>f(b)例7.(2024·江苏省南通市月考)已知函数fx=log3ax+6x+3在区间−3,3A.−1,2 B.−12,2 C.−2,2【方法储备】1.利用单调性比较a,b,c大小:=1\*GB2⑴若a,b,c可看作函数fx的3个函数值，则判断函数fx的单调性，根据自变量的大小比较函数值的大小；=2\*GB2⑵若a,b,c可看作函数fx的3个函数值，则根据作差、作商、放缩、构造函数等方式，比较a,b,c的大小.2.利用单调性解不等式：思路：=1\*GB3①先利用函数的相关性质将不等式转化为fgx>fℎx的形式；=2\*GB3②判断函数fx的单调性；=3\*GB3③根据函数的单调性及其他性质，进一步得到gx与ℎx的关系，解不等式（组），结合定义域确定解集.3.利用函数单调性求参数的取值范围：=1\*GB2⑴视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，判断函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；=2\*GB2⑵若已知函数fx在区间a,b上单调变化，求函数fx的单调区间，则区间a,b为函数fx的单调区间的子集；或转化为∀x∈a,b注意：=1\*GB3①二次函数的单调性与开口和对称轴（对称轴左右两侧单调性相反）有关；=2\*GB3②若分段函数在定义域上的具有一种单调性，则要求分段函数在每段定义域上的单调性保持一致，还对断点处的函数值的大小有要求,如果是增函数，则在断点处左边的函数值右边的函数值，如果是减函数，则在断点处左边的函数值右边的函数值.注意：区分“单调区间”与“在区间上单调”；【拓展提升】练21(2023·安徽省安庆市模拟)已知函数f(x)=12x+1−x，那么ff(x)+f(1−2x)≤1的解集为

练22(2023·江苏省无锡市月考)设函数y=f(x)和y=f(−x)，若两函数在区间[m,n]上的单调性相同，则把区间[m,n]叫做y=f(x)的“稳定区间”.已知区间[1,2021]为函数y=|(12)x+a|的“稳定区间”，则实数a的取值范围是A.[−2,−1] B.[12,2] C.[−2,−练23(2024·四川省宜宾市期末)若2a+log2a<2A.ln(2b−a+1)<0 B.ln(2b−a+1)>0

C.ln|a−2b|>0考点三函数的最值问题考点三函数的最值问题【典例精讲】例8.(2023·广东省汕头市模拟)下列函数求值域正确的是(

)A.f(x)=x+1+(x−2)2的值域为[2,+∞)

B.g(x)=x2+2x+2x+1的值域为[2,+∞)例9.(2023·河北省石家庄市期末)若实数x，y满足x 2+2cosy=1，则x−cosy例10.(2023·天津市市辖区模拟)已知函数f(x)=|x+1|−1,x≤0sin(πx),x>0，则f(f(32))=

；若f(x)在x∈(a,32【方法储备】1.求函数最值(值域)的常用方法：求函数的最值时，应先确定函数的定义域=1\*GB2⑴图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；=2\*GB2⑵单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；=1\*GB3①若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调，则函数f(x)在区间端点处取最值；=2\*GB3②若函数y＝f(x)有多个单调区间，先求出各单调区间上的最值，再从各单调区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．=3\*GB3③如果函数定义域为开区间，要考虑端点处的函数值或者发展趋势．=3\*GB2⑶换元法：复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值；=4\*GB2⑷基本不等式法：对解析式进行变形，使解析式中出现ax+bxab>0的结构，具备“一正二定三相等”的条件后,用基本不等式求出最值；【拓展提升】练31(2023·山东省烟台市月考)（多选）已知函数f(x)=x2−2x+2，关于f(x)的最值有如下结论，其中正确的是(

)A.f(x)在区间[−1,0]上的最小值为1

B.f(x)在区间[−1,2]上既有最小值，又有最大值

C.f(x)在区间2,3上的最小值为2，最大值为5

D.f(x)在区间[0,a](a>1)上的最大值为f(a)练32(2024·辽宁省朝阳市月考)已知函数ℎx=x2+2−2mx+m2−m+1，若不等式ℎ练33(2023·广东省广州市联考)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a+b<0)在1.(2024·新高考Ⅰ卷T6)已知函数f(x)=−x2−2ax−a,x<0ex+ln (x+1),x≥0在A.(−∞,0] B.[−1,0] C.[−1,1] D.[0,+∞)2.(2024·江西省南昌市联考)已知函数f(x)=x2−|x2−a3x−9|在区间A.0<a≤4 B.0<a≤8 C.0<a≤12 D.0<a≤163.(2024·浙江省杭州市联考)若实数x，y满足(x+x2+4)(y+y2+4)=4，则x

【答案解析】1.【人教A版必修一P100复习参考题T4】解：f(x)=x2−2ax+b对称轴为x=a，开口向上，要想在区间(−∞,1]2.【人教A版必修一P813.2.1练习3】解：(1)f(x)=x2+x,x≥0−x2−x,x<0，其图象如下：

单调增区间为(−∞,−12]和[0,+∞)．

(2)由(1)中的图象可知，函数y=f(x)在[−1,−12]上单调递增，在[−1例1.解：(1)因为

f(x)

的图象经过点

2,53

，且

f所以

2a−b3=53a−b2=1(2)由(1)可知

fx=x−1x+1

，f(x)

在区间理由如下：任取

x1,x2∈−1,+∞f(x1因为

x1,x2∈−1,+∞所以

x1−x2<0

，

x2所以

f(x1)−f(x2)<0所以

f(x)

在区间

−1,+∞

上单调递增．例2.解：设t=−x2−5x+6，则有x≠−6且x≠1所以函数y=16−5x−x2的定义域为：由二次函数的性质可知t的单调递增区间为(−∞,−6)，−6,−5单调递减区间为：−5又因为y=1t在区间(−∞,0)和由复合函数的单调性可知：函数y=16−5x−x故选：C．例3.解：方法一：由f(x−2)=lnx−2x，可得fx=lnx+2−2x+2,x∈−2,+∞,

f′(x)=1x+2+2(x+2)2=x+4(x+2)2，

令f′(x)>0，则x>−4，

∵fx定义域为−2,+∞，

∴f(x)的单调增区间为(−2,+∞)．

故选A．

方法二：由f(x−2)=lnx−2x，可得f练11.解：化简函数为：f(x)=x2−3x+2,x≥0x2+3x+2,x<0,

当x>0时，函数在区间(0,32)为减函数，在区间(32,+∞)上为增函数，

再根据函数为偶函数，由y轴右边的图象，作出图象位于y轴左侧的部分，

练12.解：令t=−x2+x+2，y=12t单调递减，

t=−x2+x+2=−x−2x+1=练13.解：(1)f'(x)=ekx+(x−1)kekx=(kx−k+1)ekx，

∵k≠0，ekx>0，

当k>0时，由f'(x)>0，得x>1−1k，f(x)在(1−1k , +∞)上单调递增，

由f'(x)<0，得x<1−1k，f(x)在(−∞ , 1−1k )上单调递减；

当k<0时，由f'(x)>0，得x<1−1k，f(x)在(−∞ , 1−1k )上单调递增，

由f'(x)<0，得x>1−1k，f(x)在(1−1k , +∞)上单调递减，

综上得：

当k>0时，

f(x)在(1−1k , +∞)上单调递增，在(−∞ , 1−1k )上单调递减；

当k<0时，

f(x)在(−∞ , 1−1k )上单调递增，在(1−1k

例5.解：∵函数f(x)为定义在[0,1]上的单调递减函数，f(x+2)≤f(12x2)，

∴1≥x+2≥12例6.解：易知f(x)在(0,+∞)上是增函数，且x>0时，f(x)>0，x<0时，f(x)<0，

b=32log32=log3232=log3812<log33=1，a=例7.解：令u=ax+6x+3，由题意可知，u=ax+6因为x+3>0，则ax+6>0对任意的x∈−3,3恒成立，

则−3a+6≥03a+6>0，得因为函数fx=log3ax+6故内层函数u=ax+6x+3=所以6−3a>0，可得a<2．综上所述，实数a的取值范围是−2<a<2．故选：C．练21.解：因为f(x)+f(−x)=12x+1−x+12−x+1+x=1，

所以f(12)+f(−12)=1，

由f(x)+f(1−2x)≤1，即f(x)+f(1−2x)≤f(x)+f(−x)，即f(1−2x)≤f(−x)，练22.解：y=f(x)=|(12)x+a|，f(−x)=|2x+a|，

因为f(x)与f(−x)在区间[1,2021]单调性相同，

当a≥0时，f(x)=(12)x+a在[1,2021]单调递减，f(−x)=2x+a在[1,2021]单调递增，不符合题意；

当a<0时，f(x)=|(12)x+a|，f(−x)=|2x+a|，

又f(−x)在(−∞,log2(−a)]上单调递减，在(log2(−a),+∞)上单调递增，

f(x)在(−∞,−log2(−a)]上单调递减，在(−log2(−a),+∞)上单调递增，

若函数练23.解：因为2a+log2a<22b+log2b+1=22b+log2(2b)，

令f(x)=2x+log2x，其中x>0，

因为函数y=2x、y=log2x在(0,+∞)上单调递增，

所以函数f(x)=2x+log2x在(0,+∞)上单调递增，

因为2a+lo例8.解：A选项，原函数化为f(x)=其图像如图，原函数值域为[3,+∞)，A错误，B选项，g(x)=(x+1)2+1x+1=(x+1)+1x+1，当x>−1时，g(x)≥2，当且仅当当且仅当x=−2时等号成立.∴值域为(−∞,−2]∪[2,+∞)，B错误，

C选项，ℎ(x)的定义域为[1,+∞),ℎ(x)=∵y=x+1与y=∴y=x+1+又y=x+1+x−1则y=2x+1则ℎ(x)的最大值为ℎ(1)=2，ℎ(x)的最小值为x最大时，此时ℎ(x)无限接近与∴ℎ(x)的值域为(0,2]，C错误，

D选项，w(x)w(x)==设t=−(x+1)2，则t∈[−4,0]，则则w(x)的值域为[2,22]故选D．例9.解：实数x，y满足x2+2cosy=1，可得cosy=1−x22，

由−1≤cosy≤1，解得−3≤x≤3，

则x−cosy=x−1−x22=12(x+1)2例10.解：由fx=|x+1|−1,x≤0sin(πx),x>0，可得f(32)=sin⁡3π2=−1，

∴ff(32)=f(−1)=|−1+1|−1=−1;

∵当x>0时，sin(πx)∈[−1,1]，

∴若fx在练31.解：函数f(x)=x2−2x+2=(x−1)2+1的图象开口向上，对称轴为直线x=1，

在选项A中，因为f(x)在区间[−1,0]上单调递减，

所以f(x)在区间[−1,0]上的最小值为f(0)=2，A错误；

在选项B中，因为f(x)在区间[−1,1