2024-2025学年辽宁省凌源高中高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年辽宁省凌源高中高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|0<x<3}，B={x|x≤2}，则A∩∁RB=A.(2,3) B.[2,3) C.(0,2] D.(−∞,3)2.−1i+1−3i=A.1−2i B.−1−2i C.−1+2i D.1+2i3.已知向量a=(2,x)，b=(−1,3)，a//(a+A.6 B.−6 C.3 D.−34.已知函数f(x)=23sin(2x−φ)，(0<φ<2π)为偶函数，则φA.π2 B.π C.3π2 D.π5.陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成.如图，已知一木制陀螺的圆柱的底面直径为6，圆柱和圆锥的高均为4，则该陀螺的表面积为(

)A.44π

B.46π

C.48π

D.50π6.设0<θ<π2，若tanθsinθ=1，则cosθ=(

)A.3−12 B.5−127.已知甲组数据：1，3，5，7，9，11，乙组数据：2，4，8，16，根据不同组别，用分层抽样的方法随机抽取一个容量为5的样本，则该样本的平均数不可能是(

)A.5 B.7 C.9 D.118.如图，一圆形信号灯分成A，B，C，D四块灯带区域，现有3种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为(

)A.18

B.24

C.30

D.42二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知椭圆C的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为10，短半轴长为4，则椭圆C的标准方程可能为(

)A.x225+y216=1 B.10.已知等差数列{an}的公差d≠0，其前n项和为SnA.{Snn}是等差数列 B.若d<0，则Sn有最大值

C.Sn，S2n，S3n成等差数列11.已知函数f(x)=x−a+1ex的最大值为1，则A.a=0 B.当m2<n2时，f(m2)<f(n2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)满足f(x)=f(2−x)，且f(x)是偶函数，在[0,1]上有f(x)=2x−1，则f(5)=13.已知抛物线C1：y2=4x的焦点为F1，则抛物线C1的准线方程为______；抛物线C2：y2=16x的焦点为F2，若直线y=m(m≠0)分别与C114.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M为CC四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,bsinB=csin2C．

(1)求C；

(2)若16.(本小题15分)

某学校对高三(1)班50名学生第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩统计得到数据如下：数学成绩的方差为s12=10，化学成绩的方差为s22=8,i=150xi2=500500，其中xi，yi(i∈N且1≤i≤50)分别表示这50名学生的数学成绩和化学成绩，y关于x的线性回归方程为y=0.4x+t．

(1)求y与x的样本相关系数r；

(2)从概率统计规律来看，本次考试高三(1)班学生数学成绩η服从正态分布N(μ,σ2)，用样本平均数x−作为μ的估计值，用样本方差s12作为σ2的估计值.试估计该校共800名高三学生中，数学成绩位于区间(96.84,106.32)的人数．

附：17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，△PAB是等边三角形，且平面PAB⊥平面ABCD，点E为棱AD的中点．

(1)求证：PE⊥AC；

(2)若∠ABC=π3，求平面PCD与平面PBE的夹角的余弦值．18.(本小题17分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±33x，且过点(3,−2)．

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)若双曲线C的右焦点为F，点19.(本小题17分)

已知函数f(x)=alnx+x2−ax，定义域为(0,+∞)．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)求当函数f(x)有且只有一个零点时，a参考答案1.A

2.A

3.B

4.D

5.C

6.B

7.D

8.A

9.AC

10.ABD

11.ACD

12.1

13.x=−1

±414.π315.解：(1)因为bsinB=csin2C=c2sinCcosC，

由正弦定理可得sinBsinB=sinC2sinCcosC，则cosC=12，

又C∈(0,π)，所以C=π3；

(2)由余弦定理可得c2=a2+16.解：(1)因为s12=150i=150(xi−x−)2=10,s22=150i=150(yi−y−)2=8，

所以i=150(xi−x−)2=500,i=150(yi−y−)2=400，

又b=i=15017.解：(1)证明：如图，取AB中点O，连接OP，OE，BD，

因为E是AD中点，所以OE//BD，

ABCD是菱形，则AC⊥BD，所以AC⊥OE，

又△PAB是等边三角形，所以PO⊥AB，

因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PO⊂平面PAB，

所以PO⊥平面ABCD，又因为AC⊂平面ABCD，所以PO⊥AC，

因为PO∩OE=O，PO，OE⊂平面POE，所以AC⊥平面POE，

又因为PE⊂平面POE，所以AC⊥PE；

(2)∠ABC=π3，则△ABC和△ACD都是等边三角形，

连接OC，则OC⊥AB，OC=32AB，

以O为原点，OB，OC，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，

设AB=2，则OC=3，OP=3，

因此有B(1,0,0)，A(−1,0,0)，C(0,3,0)，D(−2,3,0)，P(0,0,3)，

E是AD中点，则E(−32,32,0)，

CP=(0,−3,3)，DF=(0,−2,1)CD=(−2,0,0)，PB=(1,0,−3)，PE=(−32,32,−318.(1)解：由题意可得ba=33，9a2−2b2=1，

解得b2=1，a2=3，

所以，双曲线C的标准方程为x23−y2=1；

(2)解：由(1)知双曲线C的右焦点为F(2,0)，

当直线l的斜率不存在时，方程为l：x=2，此时A(2,33),A(2,−33)，|PA|=22+(33+4)2≠|PB|=22+(−33+4)2，

所以，直线l的斜率存在，设方程为y=k(x−2)，

将上式与双曲线方程联立，化简得(1−3k2)x2+12k2x−12k2−3=0，

所以Δ=144k4−4(1−3k2)(−3−12k2)=12k2+12>0，且1−3k2≠0，

19.解：(1)因为f′(x)=ax+2x−a=2x2−ax+ax，

(i)当Δ=a2−8a≤0，即0≤a≤8时，则f′(x)≥0在(0,+∞)内恒成立，

可知f(x)在(0,+∞)内单调递增；

(ii)当Δ=a2−8a>0，即a>8或a<0时，可知2x2−ax+a=0有两个不相等的根x1，x2，

不妨令x1=a−a2−8a4，x2=a+a2−8a4，可知x1<x2，

①若a<0，因为x1+x2=a2<0x1⋅x2=a2<0，可知x1<0<x2，令f′(x)>0，解得x>x2，

令f′(x)<0，解得0<x<x2；可知f(x)在(0,x2)内单调递减，

在(x2,+∞)内单调递增；

②若a>8，