2024-2025学年湖南省衡阳市祁东县育贤中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省衡阳市祁东县育贤中学高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)=2xf′(2)+lnx，则f′(1)=(

)A.−1 B.1 C.−2 D.02.根据3对数据A(1,7)，B(3,m)，C(5,16)绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，且线性回归方程为Y=2.25X+4.25，则m=(

)A.11 B.10 C.9 D.83.若随机变量X～N(2,σ2)，且P(X≤1)=0.29，则P(X<3)=A.0.29 B.0.71 C.0.79 D.0.8554.曲线f(x)=ex在x=3处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为(

)A.32e3 B.2e3 5.已知随机变量X～B(n,p)，若E(X)=35，D(X)=1225，则A.15 B.115 C.154 6.某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)=90090,x>390−x3A.150 B.200 C.250 D.3007.研究人员对甲、乙两种药物的临床抗药性进行研究，通过实验数据发现：“对药物甲产生抗药性”的概率为319，“对药物乙产生杭药性”的概率为219，“对甲、乙两种药物均不产生抗药性”的概率为45，则在对药物甲产生杭药性的条件下，对药物乙也产生抗药性的概率为A.319 B.15 C.6198.某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行乒乓球团体赛，赛制采取3局2胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手M对乙队每名队员的胜率均为23，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为12(注：比赛结果没有平局)，则甲队最终2：1获胜且种子选手M上场的概率是A.112 B.16 C.14二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题正确的是(

)A.若f(x)=ln3，则f′(1)=13 B.若f(x)=1x2，则f′(4)=−132

C.若f(x)=cosx，则10.2024年3月，中华人民共和国全国人民代表大会与中国人民政治协商会议在北京召开(以下简称“两会”)，两会结束后，5名人大代表A，B，C，D，E站成一排合影留念，则下列说法正确的是(

)A.若A与B相邻，则有48种不同站法

B.若C与D不相邻，则有24种不同站法

C.若B在E的左边(可以不相邻)，则有60种不同站法

D.若A不在最左边，D不在最中间，则有78种不同站法11.如图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，…，6，用X表示小球落入格子的号码，则(

)A.P(X=1)=P(X=6)=132 B.E(X)=52

C.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线斜率为−2，则a=______．13.(2−x)(1−3x)814.“算两次”是一种重要的数学方法，也称做富比尼(G.Fubini)原理.“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来”(波利亚著《数学的发现》第一卷)，即将一个量“算两次”.由等式(1+x)2n=(1+x)n(x+1)n，n∈N∗四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

若(1−3x)8=a0+a1x+a16.(本小题15分)

唐诗是中国古典文化最灿烂的瑰宝之一.2023年7月8日，电影《长安三万里》上映以来，全国掀起了诗词背诵的狂潮，在电影院背诗成了当下最常见的现象，某诗词协会为了了解观众对影片中出现的48首唐诗的熟悉情况(若会背诵其中40首唐诗为极熟悉，否则为不太熟悉)，在影片放映结束后，随机抽取了200位观众进行调查，得到如下2×2列联表：对48首唐诗极熟悉对48首唐诗不太熟悉总计不超过30岁80120超过30岁40总计附：χ2=n(ad−bc)α=P(0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828(1)补全2×2列联表；

(2)是否有97.5%的把握认为对这48首唐诗的熟悉程度与年龄有关？

(3)按分层随机抽样的方式在极熟悉48首唐诗的观众中抽取6人进行唐诗小调查，随后再从这6人中抽取3人进行唐诗接力赛，记3人中年龄超过30岁的人数为X，求X的分布列与均值．17.(本小题15分)

如图，从左到右有5个空格．

(1)若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法？(用数字作答)

(2)若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有多少不同的涂法？(用数字作答)

(3)若把这5个格子看成5个企业，现安排3名校长与5个企业洽谈，若每名校长与2家企业领导洽谈，每家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有多少种(用数字作答)．18.(本小题17分)

某加盟连锁店总部对旗下600个加盟店中每个店的日销售额(单位：百元)进行了调查，如图是随机抽取的50个加盟店的日销售额的频率分布直方图.若将日销售额在[16,18)的加盟店评定为“四星级”加盟店，日销售额在[18,20]的加盟店评定为“五星级”加盟店．

(1)根据上述调查结果，估计这50个加盟店日销售额的平均数和中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，结果精确到0.1)；

(2)若该加盟连锁店总部旗下所有加盟店的日销售额X～N(μ,6.25)，其中μ近似为(1)中的样本平均数，根据X的分布估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数(结果精确到整数)；(参考数据：若X～N(μ,σ2)，则P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.)

(3)该加盟连锁店总部决定对样本中“四星级”及“五星级”加盟店进一步调研，现从这些加盟店中随机抽取3个，设Y19.(本小题17分)

已知函数f(x)=12ax2+(a−1)x−lnx，a∈R．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当a>0时，证明：f(x)≥2−32a；

(3)若函数F(x)=a答案解析1.【答案】D

【解析】解：由f(x)=2xf′(2)+lnx，得f′(x)=2f′(2)+1x(x>0)，

则f′(2)=2f′(2)+12，解得f′(2)=−12，

所以f′(x)=−1+1x，得f′(1)=0．

故选：D．

求导可得f′(x)=2f′(2)+2.【答案】B

【解析】解：由题意3对数据A(1,7)，B(3,m)，C(5,16)绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，

得x−=3，y−=23+m3，又Y=2.25X+4.25经过点(3,23+m3)，

所以23+m3=2.25×3+4.25，

3.【答案】B

【解析】解：因为X～N(2,σ2)，又P(X≤1)=0.29，

所以P(X≥3)=P(X≤1)=0.29，

所以P(X<3)=1−P(X≥3)=0.71．

故选：B．

4.【答案】B

【解析】解：由f(x)=ex，得f′(x)=ex，所以切线的斜率为f′(3)=e3，

因为f(3)=e3，所以曲线f(x)=ex在x=3处的切线方程为y−e3=e3(x−3)，

即e3x−y−2e3=0，

令x=0，得y=−2e35.【答案】A

【解析】解：因为E(X)=np=35，D(X)=np(1−p)=1225，

所以D(X)E(X)=1−p=45，

即p=15，所以n=3，

所以np6.【答案】D

【解析】解：由题意当年产量为x时，总成本为20000+100x，

又总收入R与年产量x的关系是R(x)=90090,x>390−x3900+400x,0≤x≤390，

∴总利润Q(x)=90090−20000−100x,   x>390−x3900+400x−20000−100x, 0≤x≤390，即Q(x)=−100x+70090,    x>390−x3900+300x−20000,0≤x≤390

①当0≤x≤390时，Q′(x)=−x2300+300，令Q′(x)=0得x=300，

由Q′(x)<0得300<x≤390，此时Q(x)是减函数，

由Q′(x)>0得0<x<300，此时Q(x)是增函数，

∴当0≤x≤390时，Q(x)max=Q(300)=40000(元)；

②当x>390时，Q(x)=−100x+70090是减函数，∴Q(x)<Q(390)=31090(元)；

∴当x=300时，7.【答案】D

【解析】解：根据题意，设“对药物甲产生抗药性”为事件A，“对药物乙产生抗药性”为事件B，“对甲、乙两种药物均不产生抗药性”为事件C，

则P(A)=319,P(B)=219,P(C)=45，且P(C)=P(AB−)=45，

所以P(A+B)=1−P(AB−)=15，又P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)，8.【答案】B

【解析】解：设事件Ai=“种子选手M第i局上场”(i=1,2,3)，事件B=“甲队最终2：1获胜且种子选手M上场”，

由全概率公式知P(B)=P(B|A1)⋅P(A1)+P(B|A2)⋅P(A2)+P(B|A3)⋅P(A3)，

因为每名队员是否上场是随机的，故P(A1)=15，P(A2)=45×14=15，P(A3)=459.【答案】BD

【解析】解：A选项中，f′(x)=0，所以f′(1)=0，故A错误；

B选项中，f′(x)=−2x3，所以f′(4)=−132，故B正确；

C选项中，f′(x)=−sinx，所以f′(π4)=−22，故C错误；

D选项中，f′(x)=1xln210.【答案】ACD

【解析】解：若A与B相邻，

则有A22A44=48种不同站法，

A正确；

若C与D不相邻，

则有A33A42=72种不同站法，

B错误；

若B在E的左边(可以不相邻)，

则有A55A22=60种不同站法，

C正确；

若A11.【答案】AD

【解析】解：根据题意，设A=“向右下落”，则A−=“向左下落”，且P(A)=P(A−)=12，

设Y=X−1，因为小球在下落过程中共碰撞5次，所以Y∼B(5,12)，

于是P(Y=k)=P(X=k+1)=C5k(12)k(1−12)5−k=C5k(12)5(k=0,1,2,3,4,5)．

依次分析选项：

对于A，P(X=1)=P(X=6)=C50(12)5=112.【答案】−3

【解析】解：由题意知y′=aex+(ax+1)ex，

曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线斜率为−2，

可知f′(0)=−2，解得a=−3．

13.【答案】112

【解析】解：根据(1−3x)8的二项展开式的通项Tr+1=C8r18−r(−1)rxr3，

令r=3，得T4=−C83x=−56x，令r=614.【答案】C2n【解析】解：因为(1+x)n(x+1)n=(Cn0+Cn1x+Cn2x2+⋅⋅⋅+Cnnxn15.【答案】解：(1)令x=0得a0=1；

(2)|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|+|a7|+|a8|等于(1+3x)8的展开式的各个项系数的和，

令x=1代入(1+3x)8，

【解析】(1)利用赋值法，令x=0即可求解，

(2)在(1+3x)8中令x=1即可求解，

(3)求导后赋值即可求解．16.【答案】解：(1)根据题意，补全2×2列联表如下：对48首唐诗极熟悉对48首唐诗不太熟悉总计不超过30岁8040120超过30岁404080总计12080200(2)零假设H0：对这48首唐诗的熟悉程度与年龄无关，

χ2=200×(80×40−40×40)2120×80×120×80=5.556>5.024，

依据小概率值α=5.024的独立性检验，我们推断H0不成立，

所以有97.5%的把握认为对这48首唐诗的熟悉程度与年龄有关；

(3)按分层随机抽样的方式在极熟悉48首唐诗的观众中抽取6人进行唐诗小调查，

其中年龄不超过30岁的抽取4人，年龄超过30岁的抽取2人，

由题意，得X的可能取值是0，1，2，

则P(X=0)=CX012P131所以E(X)=0×15【解析】(1)根据题意进行数据分析，完善2×2列联表；

(2)根据公式求出χ2，对照临界值表，即可得出结论；

(3)先求出6人中年龄不超过30岁的抽取4人，年龄超过30岁的抽取2人，再根据古典概型即可得解．

17.【答案】解：(1)本题分2步：①第三个格子不能填0，则0有4种选法；

②将其余的4个数字全排列安排在其他四个格子中有A44种情况，

则一共有4A44=96种不同的填法．

(2)根据题意，第一个格子有3种颜色可选，即有3种情况，

第二个格子与第一个格子的颜色不能相同，有2种颜色可选，即有2种情况，

同理可得：第三、四、五个格子都有2种情况，

则五个格子共有3×2×2×2×2=48种不同的涂法．

(3)根据题意，有一家企业与2位校长谈，其余4家企业只与1位校长谈，

第1步：从5家企业中选一家C51，

第2步：从3位校长中选2位C32，

第3步：从剩下4家企业中选2家安排另外一位校长C42，

【解析】(1)由排列、组合及简单计数问题，结合分步乘法计数原理求解；

(2)由排列、组合及简单计数问题，结合分步乘法计数原理求解；

(3)由排列、组合及简单计数问题，结合分步乘法计数原理求解．

本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理，属中档题．18.【答案】解：(1)由频率分布直方图得样本中日销售额为[6,8]，(8,10]，(10,12]，(12,14]，(14,16]，(16,18]，(18,20]的频率分别为0.08，0.10，0.20，0.24，0.20，0.12，0.06，

∴估计这50个加盟店日销售额的平均数为：7×0.08+9×0.10+11×0.20+13×0.24+15×0.20+17×0.12+19×0.06=12.96≈13.0(百元)，

∵0.08+0.10+0.20<0.5，0.08+0.10+0.20+0.24>0.5，

∴中位数在(12,14]内，

设中位数为x百元，

则0.08+0.10+0.20+0.12(x−12)=0.5，解得x=13，

∴估计中位数为13百元．

(2)由(1)知μ=13，

∵σ2=6.25，σ=2.5，

∴P(X>18)=P(X>μ+2σ)≈1−0.95452≈0.023，

∴估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数为600×0.023≈14．

(3)由(1)得样本中“四星级”加盟店有50×0.12=6(个)，“五星级”加盟店有50×0.06=3(个)，

∴Y的所有可能取值为0，1，2，3，

P(Y=0)=C63C93Y0123P51531∴E(Y)=0×521【解析】(1)由平均数和中位数的计算公式计算即可得出答案；

(2)由(1)知μ=13，σ=2.5，由正态分布的性质求出P(X>18)的概率，即可求出这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数；

(3)求出Y的所有可能取值和每个变量对应的概率，即可求出Y的分布列，再由期望公式求出Y的数学期望．

本题考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．19.【答案】解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，

f′(